Travaux dirigés de Statistique Descriptive 1 Exercice 1 : Une population est composée de 7 individus pour lesquels la variable x prend les valeurs suivantes : i 1 2 3 4 xi 5 7 3 12 17 0 10 5 6 7 Calculer ou exprimer en fonction des constantes a et b , les sommes suivantes : 7 7 a) : ( xi a ) 2 b) : (axi b) 2 7 c) : i 1 i 1 axi2 i 1 7 d) : (axi b) 2 i 1 Exercice2 : Le tableau ci-dessous reprend les valeurs correspondant aux résultats de 5 sujets à un test d’économie générale coté sur 10 points (X) et à un test d’évaluation du stress (Y). i X Y 1 X1 3 Y1 9 2 X2 8 Y2 3 3 X3 4 Y3 5 4 X4 5 Y4 2 5 X5 5 Y5 1 X2 X Y Y2 XY Calculez les sommes suivantes et placez les formules et les réponses dans le tableau ci-dessus : Exercice 3 : Soit la répartition suivante de 200 salariés d’une entreprise selon la catégorie sociaux professionnels Modalités Effectifs Fréquence fi % Cadres Supérieurs 10 5 Cadres 40 20 Employés 50 25 Ouvriers 100 50 Total 200 100 Travail à faire : 1- Faite la représentation par un graphique à tuyaux d’orgue 2- Faite la représentation par un graphique circulaire (ou par secteurs) p. 1 Exercice 4 : Soit la série suivante : Soit les séries suivantes: 5, 50, 50, 50 Calculer : 1- La moyenne arithmétique 2- La moyenne géométrique 3- La moyenne harmonique Exercice 5 : Chiffre d’affaires Nombre d’entreprises (millions de FCFA) Moins de 0,25 13 712 0,25 à moins de 0,50 10 674 0,50 à moins de 1,00 11 221 1,00 à moins de 2,50 15 496 2,50 à moins de 5,00 10 043 5,00 à moins de 10,00 3 347 10,00 et plus 3 147 Total 67 640 1) Déterminer le mode de la distribution. 2) Déterminer le chiffre d’affaires médian par interpolation linéaire. Exercice 5 : Pour son tableau de bord statistique, le directeur d’un office de logements sociaux fait calculer régulièrement la moyenne arithmétique et l’écart-type de la distribution selon le nombre d’enfants et des familles qui attendent l’attribution d’un logement. Ces valeurs sont longtemps restées stables avec une moyenne de 2 enfants et un écart-type de 1,9 enfant. Actuellement, la distribution des 110 familles inscrites sur la liste d’attente est la suivante : Nombre d’enfants Nombre de familles 0 18 1 27 2 27 3 18 4 15 5 5 p. 2 Total 110 1) Calculer l’écart-type de la distribution selon le nombre d’enfants et des familles inscrites sur la liste : a) en appliquant la formule de définition. b) en appliquant la formule développée. 2) Expliquer la signification du résultat obtenu. Exercice 6 : Dans la série statistique ci-dessous, deux valeurs ont été effacées : xi 8,2 7,4 yi 15 6,1 9 12,1 16,3 12 On connaît par contre, le point moyen G par ses coordonnées : xG 7,5 et yG 12,6 Pouvez-vous retrouver les valeurs manquantes ? Exercice 7 : Lors d’une étude statistique sur une série double portant sur 12 points, on a obtenu : xi 117 ; yi 22,2 ; xi yi 255,8 ; xi2 1421 ; yi2 46,74 1) Calculez les coordonnées du point moyen 2) Calculez la variance de x , celle de y , et la covariance de x et y Exercice 8 : Déterminez les lois marginale et conditionnelle, les espérances et les variances marginales et conditionnelles de l’âge et du salaire de la distribution suivante : Année d’âge X Tranche de salaire Y 3 à 4 F 4 à 5 F 5 à 6 F Total 14 3 2 1 6 15 15 7 3 25 16 29 25 15 69 Total 47 34 19 100 p. 3 Exercice 9 : le coût de la vie à Douala, Yaoundé et Bafoussam Pour comparer le coût de la vie dans certaines villes camerounaises, on se fonde sur le budget type d’un individu. Les prix ( p ) et les quantités (q ) consommées de certains biens (exprimés avec des unités convenables) dans ces villes sont indiqués dans le tableau ci – dessous : Douala Yaoundé Bafoussam q p q p q p 2 4 3 2 3 3 Nourriture 4 2 5 2 3 4 Santé 1 9 1 1 2 Logement 2 1) Calculer les indices de Laspeyres et de Paasche du coût de la vie : - A Douala en prenant Yaoundé pour base ; - A Yaoundé en prenant Douala pour Base. Ces indices sont – ils réversibles ? 2) Calculer les indices du coût de la vie de Laspeyres : - A Yaoundé en prenant Bafoussam pour base ; - A Bafoussam en prenant Douala pour base. L’indice de Laspeyres est – il transférable ? Exercice 10 : Trafic automobile Sur une nationale, on a relevé le nombre de véhicules passant dans le sens Douala – Yaoundé au cours des quatre dernières années. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Trimestres 1er trimestre 1994 1995 1996 1997 455000 438000 513000 539000 2 e trimestre 578000 665000 681000 685000 3e trimestre 763000 820000 864000 876000 4 e trimestre 563000 565000 605000 650000 1) Représenter graphiquement la série statistique donnée. 2) Calculer les moyennes mobiles d’ordre 5 et les coefficients trimestriels en considérant qu’il s’agit d’un modèle additif (on choisira les coefficients saisonniers avec la moyenne), à partir du troisième trimestre de l’année 1994. p. 4 3) Calculer la série dessaisonalisée. Exercice 11 : Prévision de chiffre d’affaires L’entreprise Félicité a enregistré ses ventes pendant les années N 2 , N 1 et N . Désireuse de lancer un nouveau produit au début de l’année N 2 , elle a besoin de connaître sa prévision de chiffre d’affaires pour l’année N 1. Les ventes trimestrielles (en milliers de francs) sont les suivantes : N 2 N 1 N Trimestre 1 2840 3020 3290 Trimestre 2 2570 2630 2480 Trimestre 3 2400 2420 2620 Trimestre 4 4640 4260 3730 1) Représenter graphiquement la série statistique donnée. 2) Calculer, pour chaque année, la moyenne et l’écart – type correspondant. Représenter l’écart – type en fonction de la moyenne. Quel modèle de décomposition doit – on utiliser : additif ou multiplicatif ? Pourquoi ? 3) Déterminer la tendance de la série en utilisant la méthode des moindres carrés (droite d’ajustement linéaire). 4) Considérer que le modèle est multiplicatif et calculer les coefficients saisonniers trimestriels par la méthode des rapports à la tendance. 5) Désaisonnaliser la série. 6) Si la même tendance se poursuit, effectuer les prévisions trimestrielles de l’année N 1 7) Indiquer et décrire brièvement les autres méthodes qui permettent de déterminer la tendance d’une série chronologique. 8) Y a – t – il un autre modèle que le modèle multiplicatif ? Quel est – il ? Comment sont alors déterminés les coefficients saisonniers ? Exercice 12 Dans une première maternité, l’observation du poids de 130 bébés une semaine après la naissance, a donné le tableau ci-dessous : Poids en kg Nombre de bébés 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4 ; 5 25 55 30 20 1) Déterminer le mode. Interpréter. 2) Déterminer la médiane. Interpréter. p. 5 3) Déterminer la moyenne. Interpréter. 4) Construire le polygone de fréquences. 5) Dans une deuxième maternité, il y a eu 300 bébés dans la même semaine. Le poids moyen de l’ensemble des 300 bébés est 3 kg. Calculer le poids dans l’ensemble des deux maternités. Exercice 13 Sur un axe routier, on enregistre sur une période de 5 jours, le nombre d’accidents. Les résultats suivants ont été obtenus Nombre de jours 1 2 3 4 5 Nombre d’accidents 0 4 1 6 8 1) Représenter le diagramme en bâtons 2) Déterminer le mode et la médiane 3) Quelle est la proportion d’accidents dont le nombre de jours est au moins égal à 3. 4) Déterminer la moyenne des accidents par jour, ainsi que l’écart-type de la série. Exercice 14 L’agence nationale de protection des végétaux vient d’autoriser la mise en vente d’un produit afin d’améliorer son évolution. Avant l’utilisation de ce produit, la plante avait une hauteur moyenne de 1,5 mètre Après traitement de 170 plantes, les résultats donnant leur taille au bout de 3 mois figurent dans le tableau ci-dessus : Taille en mètres 1,25 ; 1,50 1,50 ; 1,75 1,75 ; 2 2 ; 2,25 2,25 ; 2,50 Nombre de plantes 20 30 50 40 30 1) Construire le polygone de fréquences 2) Déterminer le mode 3) Déterminer la médiane. Interpréter. 4) Déterminer la taille moyenne après traitement. Le traitement est-il efficace ? p. 6
