Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra Mathématiques générales Enseignant: Mr. Bouasabah Mohammed ( ) بوعصابة ﳏمد ECOLE NATIONALE DE COMMERCE ET DE GESTION -KENITRA- Année universitaire: 2022/2023 Plan du cours. Chapitre 1: Les suites de nombres réels. Chapitre 2: Les séries numériques. Chapitre 3: Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes. Chapitre 4: Les fonctions à une seule variable réelle. Chapitre 5: Intégrales. Chapitre 6: Les fonctions à deux variables réelles. Chapitre 7: Le calcul matriciel. 2 Chapitre: 1 Les suites numériques 3 Chapitre 1: LES SUITES NUMERIQUES L’utilisation des suites pour un gestionnaire est très fréquente notamment pour modéliser quelques phénomènes financiers (calcul des intérêts simples et composés…) 1) Notion de suites numériques, notations et définitions 1-1) Définition 1 Intuitivement, une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres. Il y a un premier nombre, noté U1 (lire "u indice 1" ou "u un"), un deuxième U2 ,….un nième, Un. On note ( Un) la suite de ces nombres. 1-2) Définition 2 Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel noté U(n) ou Un : (Notation fonctionnelle) Remarques 4 a) Ne pas confondre la suite U et le terme Un d'indice n. b) ATTENTION au premier terme ! Si UO est le premier terme ,alors U4 est le 5ème terme. Ne pas confondre l’indice n et le rang du terme, qui est son numéro d’ordre. ! ! c) Généralement ,une suite numérique peut être définie de deux manières différentes : C-1) La donnée d'une formule permettant de calculer un terme en fonction de son indice [forme explicite]. Exemple: On définit la suite ( Un) ou peut prendre l'indice) pour tout (notation plus lourde mais qui précise les valeurs que par la formule Un = 2n + 3 C-2) La définition récurrente: On peut définir une suite par la donnée de son premier terme ( Uo, U1 ou autre) et d'une relation entre deux termes consécutifs de la suite Exemple: (représente la suite des nombres impairs) Cette définition est appelée définition par récurrence et la relation relation de récurrence. 5 est appelée Remarques: a) ATTENTION aux changements d'indice, ainsi les suites définies par: sont identiques. b) ATTENTION à ne pas confondre: 2) Propriétés des suites: 2-1) La monotonie 2-1-1) Définition 1: Soit (Un) une suite de nombres réels: On dit que (Un) est croissante si et seulement si pour tout n ℕ on a : On dit qu’elle est strictement croissante si et seulement si pour tout n ℕ on a: On dit que (Un) est décroissante si et seulement si pour tout n ℕ on a: On dit qu’elle est strictement décroissante si et seulement si pour tout n ℕ on a: On dit que (Un) est monotone si et seulement si elle est soit croissante soit décroissante. Cette monotonie peut-être stricte. 6 Exemples : Les suites sont strictement croissantes tandis que les suites (n≠0) sont strictement décroissantes. Remarque : Une suite peut posséder une certaine propriété de monotonie à partir d'un certain indice. 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout n no On a: On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à partir de l’indice no ℕ 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ℕ on a: 2-1-4) Définition 4: 7 On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ℕ on a: On dit que (Un) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que pour tout n ℕ on a: On dit que (Un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Remarque : Une suite peut être minorée/majorée/bornée à partir d'un certain rang. Exemples: 2- 8 2-1-5) Propriétés 1) Une suite croissante est minorée par son 1er terme. 2) Une suite décroissante est majorée par son 1er terme. 2-1-6) Remarques Il existe des suites non monotones : Exemple : Un= . Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante. La somme de deux suites monotones de même nature est une suite monotone. Le produit de deux suites croissantes et positives est une suite croissante. 9 3) Suites arithmétiques 3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n tel que pour tout n ℕ on a .Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un) Exemple: La série: qui représente la suite des nombres impairs, est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1. Il en est de même pour la suite des nombres pairs. 3-2) Propriétés 1) Si r = 0, la suite est constante, ce qui est sans intérêt. 2) Une suite de nombres (Un) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante, indépendante de n.Cette constante est égale à la raison. 3) Une suite de nombres est arithmétique si et seulement pour tout n et de manière générale, pour tout 10 3-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite arithmétique): Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo Alors pour tout : Remarque: ! (relation entre deux termes d’une suite arithmétique) Si p est le rang du terme Up et si on note r la raison de la suite, alors : 3-4) Propriété : Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo . Alors la somme Sn vaut: Pour retenir : 11 Exercice d’application: Calculer la somme des n premiers nombres impairs de deux manières différentes . Exemple: (utilisation des suites arithmétiques pour la finance) Calculer la valeur acquise par le placement à intérêt simple d’un capital de : 10 000 DH pendant 6 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% . 12 4 ) Suites géométriques 4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n tel que pour tout n ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de la suite ( Un). Exemple: La suite Un+1 = 2 Un est une suite géométrique de raison 2 et de 1er terme 1 Uo= 1 4-2) Remarque et Propriétés : 1) Si q = 0, la suite est nulle, ce qui est sans intérêt. De même si q = 1, la suite est constante, ce qui est sans intérêt. Dans toute la suite on suppose que q ≠ 1. 2) Une suite de nombres ( Un) tous non nuls est géométrique si et seulement le quotient entre deux termes consécutifs quelconques est constant, égale à la raison. 3) Une suite de nombres ( Un) à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si pour tout n ℕ et de manière générale, pour tout 13 4-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite géométrique): Soit pour tout une suite géométrique de raison q et de premier terme Uo Alors Remarque: ! (relation entre deux termes d’une suite géométrique) Si p est le rang du terme Up et si on note q la raison de la suite, alors : 4-4) Propriété 14 Exemple L'histoire du jeu du roi Un jeune roi était fanatique de jeux et avait un maître qui avait un penchant mathématique. Le roi lui demanda un jour: "Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuie pas ?" Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'appelait, en honneur du jeune souverain, le jeu du roi. Le roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il dit au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande et qu'il la lui accorderait, quelle qu'en soit la nature. Maître à part entière, il décida de donner une petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de l'échiquier, tout en doublant la mise en passant d'une case à la prochaine. Le roi lui demandait: "C'est déjà tout?". Expliquez pourquoi la promesse du roi était impossible à tenir. Exemple: (utilisation des suites géométriques pour la finance) Calculer la valeur acquise par le placement à intérêt composé d’un capital 15de 15 000 DH pendant 7 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% . 5) Suites arithmético-géométriques 5-1) L'étude d'une suite arithmético-géométrique. Exemple: 16
