filtre 1 ordre1

AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL :
REALISATION DE FILTRES DU PREMIER ORDRE 1
L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal. La résistance R3 sur les schémas (qui
a pour but de limiter la tension d’offset de l’amplificateur réel) ne sera pas prise en compte : sa tension
aux bornes est nulle. On supposera de plus que la courbe de réponse de l’amplificateur est idéale : gain
en tension constant quelle que soit la fréquence.
1 - FILTRE PASSE-HAUT INVERSEUR
10k"
1!F
R1
C1
1k"
R2
_
e
+
ve
vs
R3
1k"
Figure 1 : filtre passe-haut inverseur
1. Le montage de la figure 1constitue un amplificateur inverseur de gain A(ω) :
v
R
1
A(! ) = s = ! 2 avec : Z 1 = R1 +
ve
Z1
j!C1
On obtient alors :
A(! ) =
2. Déterminons le module du gain : A(! ) =
vs
R
1
=! 2
ve
R1 1+ 1
j! R1C1
vs R2
=
ve R1
1
1
1+
2
(! R1C1 )
soit en décibels :
!R $
1
A(! ) dB = 20 log # 2 & '10 log(1+
)
2
!
R
C
" R1 %
( 1 1)
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
!R $
fréquences moyennes {soit : 20 log # 2 & = 20dB )} a chuté de -3dB.
" R1 %
Dans ces conditions : ! c R1C1 = 1 .
1
Philippe ROUX © 2012
http://philippe.roux.7.perso.neuf.fr/
1
On en déduit la fréquence de coupure à -3 dB par rapport aux fréquences moyennes :
1
soit fc = 159 Hz.
fc =
2! R1C1
Le déphasage (en degrés) de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
! = "180 " Arc tan(! R1C1 )
A la fréquence de coupure fc le déphasage Φ (fc) est de -225°.
4. Déterminons le Graphe asymptotique de Bode du module du gain en tension exprimé en dB.
!R $
1
A(! ) dB = 20 log # 2 & '10 log(1+
)
2
" R1 %
(! R1C1 )
Le graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 2 :
!R $
Composante (1) : 20 log # 2 & = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
" R1 %
droite horizontale.
1
Composante (2) : !10 log(1+
) dont les asymptotes correspondent respectivement :
2
(! R1C1 )
•
•
à 0 dB pour une fréquence tendant vers l’infini.
à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur 20 dB/ décade (pour f
tendant vers zéro).
La somme (3) des deux composantes précédentes constitue le graphe asymptotique de Bode
du module du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
40
dB
1
20
A
3
0
!
2
20 dB/décade
20
10
100
fc
159
f (Hz)
1 103
Figure 2 : Graphe asymptotique de Bode du module du gain
2
1 104
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée :
! = "180 " Arc tan(! R1C1 ) .
Le graphe asymptotique de Bode a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 3 :
Composante (1) : -180° indépendante de la fréquence et représentée par une droite
horizontale.
Composante (2) : !Arc tan(! R1C1 ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
• à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini.
• à 0° pour f tendant vers zéro.
• à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du
déphasage Φ.
0
0
159
20
2
40
-45°/décade
60
80
"
degrés
100
120
!
3
140
160
1
180
200
10
f (Hz)
100
3
4
1 10
1 10
Figure 3 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est
l'angle et le module la distance du point à l'origine).
120
150
180
90
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
60
30
0
210
330
240
300
270
Figure 4 : Graphe de Nyquist
3
2 - FILTRE PASSE-BAS INVERSEUR
C2
0,5nF
10k!
R2
R1
1k!
_
e
+
ve
vs
1k!
R3
Figure 5 : Filtre passe-bas inverseur
1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(! ) =
Z2 =
vs
Z
=! 2
ve
R1
R2
v
R
1
. On obtient alors : A(! ) = s = ! 2
1+ j!C2 R2
ve
R1 1+ j! R2C2
2. Déterminons le module du gain en décibels ainsi que la déphasage Φ de la sortie par rapport à
l’entrée.
A(! ) =
vs R2
1
=
ve R1 1+ (! R C )2
2 2
!R $
2
Soit en décibels : A(! ) dB = 20 log # 2 & '10 log(1+ (! R2C2 ) )
" R1 %
Le déphasage Φ de la sortie par rapport à l’entrée est tel que :
! = 180 " Arc tan(! R2C2 )
3. La fréquence de coupure fc à -3dB du montage est obtenue lorsque le gain par rapport aux
!R $
fréquences moyennes { 20 log # 2 & = 20dB )} a chuté de -3dB.
" R1 %
Dans ces conditions : ! c R2C2 = 1
Le déphasage est alors : !( fc ) = 180 " 45 = 135°
4
fc =
1
= 31,8kHz
2! R2C2
4. Graphes asymptotiques de Bode du module du gain en tension.
!R $
2
A(! ) dB = 20 log # 2 & '10 log(1+ (! R2C2 ) )
" R1 %
Ce graphe de Bode possède deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 6 :
!R $
Composante (1) : 20 log # 2 & = 20 dB indépendante de la fréquence et représentée par une
" R1 %
droite horizontale.
2
Composante (2) : !10 log(1+ (! R2C2 ) ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
•
•
à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro.
à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur -20 dB/ décade (pour
f tendant vers l’infini).
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du module
du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
dB 40
4
3.183 . 10
30
1
20
10
A 0
2
3
10
!
-20/décade
20
1 103
1 104
fc
1 105
f (Hz)
1 106
Figure 6 : Graphe asymptotique du module du gain
5. Graphe asymptotique de Bode du déphasage ! = 180 " Arc tan(! R2C2 )
Le graphe de Bode du déphasage a deux composantes notées (1) et (2) sur la figure 7 :
Composante (1) : 180°
horizontale.
indépendante de la fréquence et représentée par une droite
Composante (2) : !Arc tan(! R2C2 ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
5
•
•
•
à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini.
à 0° pour f tendant vers zéro.
à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
La somme de ces deux composantes (3) constitue le graphe asymptotique de Bode du
déphasage Φ.
180
3.183 . 10
1
4
135
3
90
"
45
degrés
!
0
2
45
-45°/décade
90
1 103
1 104
1 105
f (Hz)
1 106
Figure 7 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents est rassemblé sous la forme de Nyquist (la phase est
l'angle et le module la distance du point à l'origine).
90
10
120
9
60
8
7
6
150
30
5
4
3
2
1
180
0
0
210
330
240
300
270
Figure 8 : Graphe de Nyquist
6
3 - FILTRE PASSE-BANDE INVERSEUR
L'association des deux montages précédents conduit à la réalisation d'un filtre passe-bande.
On se place dans la situation particulière (figure 9) où les deux constantes de temps sont égales:
R1 C1 = R2 C2 = τ.
C2
1nF
10k!
10nF
R1
C1
1k!
R2
_
e
+
ve
vs
R3
1k!
Figure 9 : Filtre passe-bande inverseur
1. Le montage constitue un amplificateur inverseur de gain : A(! ) =
Avec : Z 1 = R1 +
vs
Z
=! 2
ve
Z1
1
R2
Soit :
Z2 =
j!C1
1+ j! R2C2
A(! ) = !
j! R2C1
(1+ j! R1C1 )(1+ j! R2C2 )
2. Graphe asymptotique de Bode du module du gain exprimé en décibels (figure 10).
2
2
A(! ) dB = 20 log (! R2C1 ) !10 log(1+ (! R1C1 ) ) !10 log(1+ (! R2C2 ) )
Ce graphe de Bode possède trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure 10 :
Composante (1) : 20 log (! R2C1 ) représentée par une droite de coefficient directeur
20dB/décade passant par la fréquence :
1
= 1, 59kHz
2! R2C1
2
Composante (2) : !10 log(1+ (! R1C1 ) ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
•
•
à 0 dB pour une fréquence tendant vers zéro.
1
à un segment de droite passant par
= 15, 9kHz et de coefficient directeur -20
2! R1C1
dB/ décade (pour f tendant vers l’infini).
7
2
Composante (3) : !10 log(1+ (! R2C2 ) ) identique à la composante (2) sachant que les
constantes de temps sont égales.
La somme (4) de ces trois composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du module
du gain (les croix sur le graphe représentent les points calculés).
20
1
.
dB 16
12
8
4
4
4
A
0
4
!
2
3
8
12
20 dB/décade
-20 dB/décade
16
20
100
1 103
1 104
3
1.592 10
1 105
f (Hz)
1 106
4
1.59 10
Figure 10 : Graphe de Bode du module du gain
3. Graphe asymptotique de Bode du déphasage de la sortie par rapport à l’entrée (figure 11).
! = "Arc tan(#) " Arc tan(! R1C1 ) " Arc tan(! R2C2 )
Le graphe de Bode du déphasage a trois composantes notées (1), (2) et (3) sur la figure :
Composante (1) : -90° indépendant de la fréquence et représenté par une droite horizontale.
Composante (2) : !Arc tan(! R1C1 ) dont les asymptotes correspondent respectivement :
•
•
•
à -90° pour une fréquence tendant vers l’infini.
à 0° pour f tendant vers zéro.
à un segment de droite passant par fc et de coefficient directeur – 45°/ décade.
Composante (3) : !Arc tan(! R2C2 ) identique à la précédente.
8
La somme de toutes les composantes constitue le graphe asymptotique de Bode du déphasage
Φ. La discontinuité sur le graphe a été introduite par le logiciel de calcul et ne doit pas être
prise en compte.
180
1.59 . 10
135
-90°/décade
4
90
45
2
"
degrés
3
-45°/décade
45
!
1
90
135
-90°/décade
180
100
10
3
10
4
10
5
f (Hz)
10
6
Figure 11 : Graphe asymptotique de Bode du déphasage
L’ensemble des deux graphes précédents sont rassemblés sous la forme de Nyquist (la phase
est l'angle et le module la distance du point à l'origine). Vous noterez l’absence de
discontinuité.
120
150
180
90
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
60
30
0
210
330
240
300
270
Figure 12 : Graphe de Nyquist
9
4. On se propose maintenant de déterminer le gain en tension maximal Amax ainsi que les
fréquences de coupures à -3 dB du montage. Si l’expression précédente du gain était appropriée
pour obtenir les graphes de Bode, elle est peu pratique pour la suite. A cet effet, exprimons le
gain en tension sous une autre forme :
ve
= !Z 1Y 2
vs
On obtient alors l’expression :
[ A(! )]
!1
=
avec : Y 2 = G2 + j!C2 .
A(! ) = !
1
R1 C2
1
+ + j(! R1C2 !
)
R2 C1
! R2C1
Le gain en tension sera maximal lorsque la partie imaginaire sera nulle. Soit :
1
Amax =
= 5 (14 dB)
R1 C2
+
R2 C1
Pour obtenir les fréquences de coupure à –3dB fb et fh du filtre, nous allons écrire le gain sous
Amax
la forme : A(! ) =
1+ jF(! )
1
1
Amax
->
A(! ) = !
A(! ) = !
R1 C2
1
1
+
(! R1C2 !
)
1+ jAmax (! R1C2 !
)
R2 C1
! R2C1
! R2C1
1+ j
R1 C2
+
R2 C1
Le module du gain est alors :
Amax
A(! ) =
1 2
1+ A 2max (! R1C2 !
)
! R2C1
1 2
Les fréquences de coupure à -3 dB sont obtenues lorsque : A 2max (! R1C2 !
) =1
! R2C1
1
Ceci conduit à résoudre l’équation : Amax (! R1C2 !
) = ±1
! R2C1
Les racines réelles des deux équations du 2° degré précédentes conduisent à :
•
•
10
Fréquence de coupure basse : fb = 6,6 kHz.
Fréquence de coupure haute : fh = 38 kHz.
4- FILTRE PASSE-BAS NON INVERSEUR
a. Montage 1 : on place un circuit RC intégrateur à l’entrée du montage amplificateur non
inverseur.
R2
10k!
1k!
R1
_
A0
+
R
1k!
ve
vc
vs
C
5nF
Figure 13 : Filtre passe-bas non inverseur
1
! R + R1 $
R1
1
j!C
ve vc = vs
Gain en tension du montage : vc =
A(! ) = # 2
&
1
R1 + R2
" R1 %1+ j! RC
R+
j!C
On en déduit le module (en dB) et l’argument :
!R + R $
2
A(! ) dB = 20 log # 2 1 & '10 log !"1+ (! RC ) $%
" R1 %
! = "Arc tan (! RC )
Gain aux fréquences moyennes : A = 11
1
• Fréquence de coupure haute fc =
= 31,8kHz où Φ (fc) = -45°.
2! RC
Les points calculés des courbes de réponse en fréquences : A dB et ! en degrés sont données en
figures 14 et 15 (en s’inspirant des graphes exposés précédemment, il sera facile de tracer les
graphes de Bode asymptotiques).
•
40
4
3.183 . 10
30
20
10
|A| dB 0
10
20
1 103
1 104
1 105
f (Hz)
1 106
Figure 14 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
11
0
4
3.183 . 10
15
30
!
(degrés)
45
60
75
90
1 103
1 104
1 105
f (Hz)
1 106
Figure 15 : Graphe de Bode du déphasage avec points calculés
b. Montage 2 : on place un condensateur C2 en parallèle avec la résistance R2.
1nF
C2
R2
10k!
1k!
_
R1
A0
+
ve
vs
Figure 16 : : Filtre passe-bas non inverseur
! R + R $1+ j! ( R1 / /R2 ) C2
Gain en tension du montage : A(! ) = # 2 1 &
" R1 % 1+ j! R2C2
On en déduit le module du gain en dB et le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée :
!R + R $
2
2
A(! ) dB = 20 log # 2 1 & +10 log !#1+ (! ( R1 / /R2 ) C2 ) $& '10 log !"1+ (! R2C2 ) $%
"
%
" R1 %
! = Arc tan "#! ( R1 / /R2 ) C2 $% & Arc tan [! R2C2 ]
•
•
12
Gain aux fréquences moyennes : A = 11
1
Fréquence de coupure haute fh =
= 159kHz
2! R2C2
On remarquera que l’expression du gain fait apparaître une autre fréquence de coupure fc
1
supérieure à fh à savoir : fc =
= 1, 75MHz dont l’influence apparaît nettement
2! (R1 / /R2 )C2
sur la graphe du déphasage.
Les courbe de réponse en fréquences : A dB et ! en degrés sont données en figures 17 et 18.
40
4
1.59 . 10
30
5
1.75 . 10
20
10
|A| dB 0
10
20
1 103
1 104
1 105
1 106
Figure 17 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
90
90
70
4
5
1.59 . 10
1.75 . 10
50
30
10
!
(degrés)
0
10
30
50
70
90
1 103
1 104
1 105
f (Hz)
1 106
Figure 18 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée
13
5- FILTRE PASSE-HAUT NON INVERSEUR
On place un circuit RC différentiateur à l’entrée du montage amplificateur non inverseur.
R2
10k!
1k!
R1
_
A0
C
+
ve
10nF
vc
R 10k!
vs
Figure 19 : Filtre passe-haut non inverseur
R
Déterminons le gain en tension du montage : vc =
on en déduit :
v
1 e
R+
j!C
v ! R + R1 $
1
A(! ) = s = # 2
&
ve " R1 %1+ 1
j! RC
!
!R + R $
1 $
&
A(! ) dB = 20 log # 2 1 & '10 log #1+
2
#" (! RC ) &%
" R1 %
# 1 &
! = "Arc tan %
$! RC ('
Gain aux fréquences moyennes : A = 11
1
Fréquence de coupure à -3 dB : fb =
= 1, 59kHZ où Φ (fc) = +45°.
2! RC
Les points calculés des courbe de réponse en fréquences : A dB et ! en degrés sont données en
figures 20 et 21.
40
3
1.592 . 10
30
20
10
|A| dB 0
10
20
100
1 103
1 104
f (Hz)
Figure 20 : Graphe de Bode du module du gain avec points calculés
14
1 105
90
3
1.592 . 10
75
60
45
!
en degrés
30
15
0
100
1 103
1 104
f (Hz)
1 105
Figure 21 : Déphasage de la sortie par rapport à l’entrée
15