ALG GEN

Cours de Mathématiques
Algèbre Générale
Sommaire
Algèbre Générale
Sommaire
I
Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Définition, exemples et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Sous-Groupes. Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Action d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Les groupes Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Anneaux et corps commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
Définition, exemples et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Cas d’un anneau euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif . . .
III.1 Polynôme minimal d’un élément d’une algèbre de dimension finie . . .
III.2 Extension algébrique d’un corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . .
2
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3
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6
8
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Partie I : Groupes
I
Groupes
I.1
Définition, exemples et premières propriétés
Un groupe est un couple (G, ×) où G est un ensemble et × est une loi de composition interne
sur G (c’est à dire une application de G × G vers G) associative, admettant un élément neutre
e ∈ G , pour laquelle tout élément a ∈ G admet un symétrique a0 ∈ G : a × a0 = a0 × a = e . Le
groupe (G, ×) est déclaré commutatif (ou abélien) lorsque sa loi × est commutative.
☞ Un élément neutre et un symétrique pour la loi × d’un élément de G sont uniques lorsque
(G, ×) est un groupe.
Dans un groupe (G, ×) tout élément a ∈ G est régulier c’est à dire que
a × x = a × y =⇒ x = y
2
∀ (x , y) ∈ G ,
x × a = y × a =⇒ x = y
Il revient au même de dire que les homothéties de G à gauche et à droite de rapport a ,
a × x et ha : x
x × a , sont injectives. En fait, a h et ha sont des bijections
ah : x
de G sur lui-même et (ha )−1 = ha−1 , (a h)−1 = a−1 h . Le groupe (G, ×) est commutatif si
et seulement si toute homothétie à gauche est une homothétie à droite.
☞ Lorsqu’il n’y a aucune ambiguité sur la loi du groupe (G, ×) on ne la note pas : on dit
simplement que G est un groupe et on écrit ab pour le composé de a par b au lieu de
a × b . Dans ce cas le symétrique d’un élément a ∈ G pour la loi de groupe de G prend
le nom d’inverse de a et se note a−1 . Alors ∀ (a , b) ∈ G2 , (ab)−1 = (b)−1 (a)−1 (attention
à l’ordre des facteurs). L’élément neutre du groupe G est noté 1G et par récurrence sur
l’entier naturel n on définit pour tout a ∈ G : an = 1G si n = 0 et an = aan−1 si n > 1 .
Lorsque n est un entier relatif négatif on pose an = (a−1 )|n| . La famille (an )n∈Z est dite
progression de raison a . On a les propriétés suivantes
∀ (m , n) ∈ Z2 , ∀ a ∈ G ,
am+n = am an
,
(an )m = amn
(1)
☞ Si (G, +) est un groupe on dit souvent que sa loi est additive et les homothéties du groupe
(G, +) sont plutôt qualifiées de translation (à gauche ou à droite si le groupe n’est pas
commutatif). L’élément neutre de G est noté OG , le symétrique d’un élément a de G est
noté −a et la progression de raison a est notée (na)n∈Z .
☞ Voici quelques exemples de groupes
➣ Z , Q , R , C sont des groupes additifs commutatifs mais R+ n’est pas un groupe pour
l’addition. Q∗ , R∗ , Q∗+ , R∗+ sont des groupes pour la multiplication ainsi que le cercle
unité de C .
➣ Tout espace vectoriel est un groupe additif commutatif.
➣ Les translations d’un espace vectoriel ou d’un espace affine constituent un groupe
commutatif pour la loi de composition.
➣ Les rotations d’un espace euclidien de dimension n constituent un groupe pour la
loi de composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si n 6 2 .
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Partie I : Groupes
➣ L’union de l’ensemble des homothéties et des translations d’un espace affine non
vide, non réduit à un point est un groupe pour la loi de composition. Ce groupe
n’est pas commutatif.
➣ L’ensemble S(E) des bijections de E sur lui-même est un groupe pour la loi de
composition. Ce groupe est commutatif si et seulement si Card(E) 6 2 . Un élément
de S(E) est appelé permutation de E . Pour n ∈ N∗ , le groupe des permutations de
[[ 1 , n ]] s’appelle groupe symétrique d’indice n et se note Sn : Card(Sn ) = n! .
➣ L’ensemble des isométries d’un espace affine euclidien E laissant globalement invariant un sous-ensemble E de E est un groupe pour la loi de composition.
I.2
Sous-Groupes. Morphismes de groupes
Une partie H d’un groupe G , qui est stable par la loi de G , et qui est un groupe pour la loi
induite sur H par celle de G , s’appelle sous-groupe de G .
Théorème Caractérisation des sous-groupes
Soit H une partie d’un groupe G . Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) H est un sous-groupe de G
(ii) 1G ∈ H et ∀ (x , y) ∈ H 2 , xy −1 ∈ H
Lorsque G est un groupe additif l’assertion (ii) est à remplacer par OG ∈ H et ∀ (x , y) ∈ H 2 ,
x−y ∈H.
☞ L’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe
de G . En particulier pour toute partie A d’un groupe G , l’intersection H de la famille
des sous-groupes de G contenant la partie A est un sous-groupe de G : H est le plus petit
des sous-groupes de G contenant A . On dit que H est le sous-groupe de G engendré par
A.
☞ Le sous groupe d’un groupe G engendré par la partie vide est {1G } . On déduit de la
formule (1) que le sous-groupe de G engendré par un singleton {a} ⊂ G (on dit engendré
par a) est {an | n ∈ Z}
☞ Lorsque le sous-groupe engendré par une partie de G est G lui-même on dit que la partie
est génératrice de G . Un groupe est dit monogène s’il peut être engendré par un singleton.
Par exemple (Z, +) est un groupe monogène engendré par 1 , et pour tout entier naturel
non nul n le groupe multiplicatif Un = {z ∈ C | z n = 1} des racines n ième de l’unité est
2iπ
un groupe monogène engendré par e n .
☞ Pour tout n ∈ Z l’ensemble nZ = {nk | k ∈ Z} des multiples de n est le sous-groupe du
groupe additif Z engendré par n . Si H est un sous-groupe non réduit à {0} de (Z, +), la
partie non vide H+∗ des éléments strictement positifs de H admet un plus petit élément n .
Alors nZ ⊂ H puisque H est un sous-groupe de Z auquel n appartient. Inversement, pour
tout élément h de H , la division euclidienne de h par n fournit un quotient q ∈ Z et un
reste r ∈ [[ 0 , n − 1 ]] tels que h − nq = r ∈ H . Or un élément de H+ est nul ou supérieur
ou égal à n . Comme r ∈ H+ et r < n , on a r = 0 et h = nq . Ainsi H ⊂ nZ ⊂ H : H est
un groupe monogène engendré par n . On a ainsi montré le théorème suivant à la base de
l’arithmétique de Z :
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Partie I : Groupes
Théorème Sous-groupes de Z
Tout sous-groupe non réduit à {0} du groupe additif Z est monogène, engendré par son
plus petit élément strictement positif. L’ensemble des sous-groupes de Z est {nZ | n ∈ Z} .
Une application f : G 7−→ G0 où G et G0 sont des groupes est dite morphisme de groupes lorsque
∀ (x , y) ∈ G2 , f (xy) = f (x)f (y) . Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphisme
de G sur G0 . Un endomorphisme du groupe G est un morphisme de groupes de G vers G . Un
automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G .
On vérifie facilement les résultats suivants :
Proposition
➣ Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme
(resp. isomorphisme) de groupes.
➣ L’image directe d’un sous-groupe H de G par un morphisme de groupes f : G 7−→ G0
est un sous-groupe de G0 . En particulier l’image de f , Im f = f hGi = {f (x) | x ∈ G}
est un sous-groupe de G0 .
L’image réciproque d’un sous-groupe H 0 de G par f est un sous-groupe de G. En
particulier le noyau de f , Ker f = f −1 h{1G0 }i = {x ∈ G | f (x) = 1G0 } est un
sous-groupe de G0 .
➣ L’image d’une partie génératrice de G par un morphisme de groupes f de source G est
une partie génératrice du groupe Im f . En particulier l’image d’un groupe monogène
G par un morphisme de groupes est un groupe monogène engendré par l’image de
tout générateur de G .
➣ Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit au
singleton neutre.
Voici quelques exemples de morphismes ou isomorphismes de groupes :
☞ f : G 7−→ G0 étant un isomorphisme du groupe G sur le groupe G0 , l’application f −1 est
un isomorphisme de G0 sur G . On dit alors que les groupes G et G0 sont isomorphes.
☞ Transport de structure : Si f : G 7−→ E est une bijection d’un groupe (G , ·) sur
un ensemble E , la loi de composition interne ? définie sur E par
2
−1
−1
∀ (x , y) ∈ E , x ? y = f f (x) · f (y)
fait de E un groupe et f est un isomorphisme du groupe (G , · ) sur le groupe (E , ? ).
☞ Soit G un groupe et a un élément de G . La formule (1) montre que l’application
ϕa : (Z, +) 7−→ (G, · ) qui à tout n ∈ Z associe ϕa (n) = an est un morphisme de
groupes.
☞ Produit de groupes : Étant donnés deux groupes G1 et G2 la loi de composition
interne définie sur G1 × G2 par (x , y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 ) fait de G1 × G2 un groupe
appelé groupe produit de G1 par G2 . Les groupes G1 × G2 et G2 × G1 sont isomorphes
par l’application (x , y)
(y , x) . Les applications pi : G1 × G2 7−→ Gi , i = 1, 2 , définies
respectivement par (x , y)
x et (x , y)
y sont des morphismes surjectifs de groupes
que l’on appelle première et deuxième projection canonique. Si G est un groupe, G2 est
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Partie I : Groupes
le groupe produit de G par lui-même. Plus généralement pour tout entier naturel n non
nul la loi sur Gn définie par (xi )i∈[[ 1 , n ]] (yi )i∈[[ 1 , n ]] = (xi yi )i∈[[ 1 , n ]] fait de Gn un groupe et
xi sont des morphismes surjectifs de groupes.
les projections canoniques pi : (xi )i∈[[ 1 , n ]]
Gn est canoniquement isomorphe à Gp × Gn−p pour tout p ∈ [[ 1 , n − 1 ]] (n > 2 ).
☞ Lorsque G est un groupe les applications σg : G 7−→ G définies pour chaque g ∈ G par
x
σg (x) = g −1 xg sont des automorphismes du groupe G . L’application σ : G 7−→ S(E)
qui à tout g ∈ G associe σg est un morphisme du groupe (G , · ) vers le groupe (S(E) , ◦ )
des permutations de E . Le noyau de σ est le sous-groupe de G constitué des éléments de
G commutant avec tout autre : c’est le centre de G .
☞ Si E est un ensemble de cardinal n ∈ N∗ et σ : [[ 1 , n ]] 7−→ E une bijection, l’application
f : S(E) 7−→ Sn définie par f (x) = σ −1 ◦ x ◦ σ est un isomorphisme du groupe des
permutations de E sur le groupe symétrique d’indice n .
☞ Si (G , · ) est un groupe, son groupe opposé est le groupe G0 = (G , ? ) où la loi ? est
définie par x ? y = y · x . Ces groupes sont isomorphes par l’application f : x
x−1 .
I.3
Action d’un groupe sur un ensemble
Une action d’un groupe G sur un ensemble E est la donnée d’une application ϕ : G × E 7−→ E
telle que
(2)
∀ (g , g 0 , x) ∈ G × G × E , ϕ g, ϕ(g 0 , x) = ϕ(gg 0 , x) et ϕ(1G , x) = x
On convient de poser ϕ(g, x) = gx de sorte que (2) s’écrit simplement :
g(g 0 x) = (gg 0 )x et 1G x = x .
L’équation gx = y admet alors l’unique solution x = g −1 y pour tout g ∈ G et y ∈ E .
σg (x) = gx est donc une bijection de E sur E . En outre (2) montre
L’application σg : x
0
2
que ∀ (g , g ) ∈ G , σgg0 = σg ◦ σg0 si bien que l’application σ : G 7−→ S(E) qui à g associe
σ(g) = σg est un morphisme de groupes. Réciproquement, la donnée d’un morphisme de groupes
σ : G 7−→ S(E) définit une action ϕ du groupe G sur E par la formule ϕ(g, x) = gx = σ(g)(x) .
On dit que G opère (à gauche) sur E au moyen de l’action ϕ . Lorsque le groupe opposé G0 de G
opère à gauche sur E au moyen d’une action ϕ0 on dit que G opère à droite sur E et on convient
(xg 0 )g = x(g 0 g) et x 1G = x .
de poser ϕ0 (g, x) = xg de sorte que (2) s’écrit simplement :
L’orbite d’un élément x de E , sous l’action ϕ du groupe G sur l’ensemble E , est l’ensemble
O(x) = {gx | g ∈ G} .
☞ Un sous-groupe H d’un groupe G opère à gauche sur l’ensemble des éléments de G au
moyen de l’action ϕ définie par restriction à H × G de la loi de G :
∀ (h , g) ∈ H × G ,
ϕ(h, g) = hg .
Bien sûr, H opère à droite sur G par l’action ϕ0 définie sur H 0 × G par ϕ0 (h, g) = gh .
L’orbite à gauche et l’orbite à droite d’un élément x de G sont Hx = {hx | h ∈ H} et
xH = {xh | h ∈ H} .
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Partie I : Groupes
☞ Tout sous-groupe H du groupe S(E) des permutations d’un ensemble E opère sur E au
moyen de l’action naturelle ϕ définie par
∀ (h , x) ∈ H × E , ϕ(h, x) = h(x) .
L’orbite d’un élément x de E est l’ensemble de toutes ses images par les permutations de
E appartenant à H .
☞ Voici un exemple venant de l’algèbre linéaire : Le groupe GLn (K) des matrices carrées
inversibles d’ordre n à coefficients dans un corps commutatif K opère sur l’ensemble
Mn (K) des matrices carrées d’ordre n par l’action ϕ : GLn (K) × Mn (K) 7−→ Mn (K)
définie par ϕ(P, M ) = P M P −1 . L’orbite d’une matrice M ∈ Mn (K) sous l’action
de GLn (K) est l’ensemble des matrices relativement à toutes les bases de K n de
l’endomorphisme de K n canoniquement associé à M .
☞ Un sous-groupe H d’un groupe G opère sur G au moyen du morphisme de groupes
σ : H 7−→ S(G) défini par σ(h)(g) = h ? g = hgh−1 .
D’une façon générale sur les actions de groupe on a le résultat suivant :
Théorème Partition des orbites
Soit G un groupe opérant sur un ensemble E . L’ensemble {O(x) | x ∈ G} des orbites des
éléments de E sous l’action de G est une partition de E , c’est à dire que toute orbite est
non vide, que deux orbites distinctes sont disjointes et que l’union des orbites est E .
On vérifie en effet facilement, grâce à (2), les points suivants assurant le théorème :
∀x ∈ E ,
x ∈ O(x) et z ∈ O(x) ∩ O(y) =⇒ O(x) = O(y) = O(z) .
Corollaire Théorème de Lagrange
Soit G un groupe fini. Le cardinal de tout sous-groupe de G est un diviseur de Card (G) .
On a vu en effet (premier exemple) qu’un sous-groupe H de G opère sur G et dans cette action
l’ensemble des orbites est {Hx | x ∈ G} . L’homothétie (à droite) de rapport x étant injective,
le cardinal de tout orbite Hx est indépendant de x égal au cardinal de H . Par le théorème de
partition des orbites {Hx | x ∈ G} est une partition de G , donc
Card (G) = Card {Hx | x ∈ G} Card(H) .
Card(G)
· C’est pour rappeler cette
Donc Card(H) divise Card(G) et Card {Hx | x ∈ G} =
Card(H)
égalité que l’on note G/H l’ensemble des orbites des éléments de G dans l’action (à gauche)
de H sur G . On dit que G/H est l’ensemble quotient du groupe G par son sous-groupe H ,
et ainsi le cardinal de l’ensemble quotient d’un groupe fini par l’un de ses sous-groupes est le
quotient de leurs cardinaux.
I.4
Les groupes Z/nZ
Soit H un sous-groupe non nul de (Z, +) . D’après le théorème caractérisant les sous-groupes
de Z , on peut écrire H = nZ où n est le plus petit élément strictement positif de H . Dans
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Partie I : Groupes
l’action naturelle de H sur Z , définie par restriction à H × Z de l’addition de Z , l’orbite de
tout élément x de Z est On (x) = H + x = {mn + x | m ∈ Z} . On dispose ainsi de l’ensemble
quotient Z/nZ = {On (x) | x ∈ Z} , qui est une partition de Z , et d’une application surjective
On : Z 7−→ Z/nZ . La relation d’équivalence associée à On définie sur Z par On (x) = On (x0 )
s’appelle congruence modulo n et se note x ≡ x0 [n] :
x ≡ x0 [n] ⇐⇒ x − x0 ∈ nZ ⇐⇒ x − x0 est divisible par n
On confond ainsi en un même élément de Z/nZ tous les entiers relatifs dont la différence est
divisible par n .
La commutativité du groupe (Z, +) et le fait que H = nZ soit un sous-groupe de Z montrent
que x ≡ x0 [n] et y ≡ y 0 [n] =⇒ x + y ≡ x0 + y 0 [n] . Cela s’écrit aussi
On (x) = On (x0 ) et On (y) = On (y 0 ) =⇒ On (x + y) = On (x0 + y 0 ) .
On définit donc bien une loi de composition interne + sur l’ensemble Z/nZ par la formule
∀ (X , Y ) ∈ Z/nZ , ∀ (x , y) ∈ X × Y , X + Y = On (x) + On (y) = On (x + y) .
☞ (Z/nZ, +) est un groupe commutatif fini de cardinal n et l’application On : Z 7−→ Z/nZ
est un morphisme surjectif de groupes qui induit une bijection de [[ 1 , n ]] sur Z/nZ . Le
noyau de On est nZ = On (0) : C’est l’élément neutre du groupe Z/nZ .
☞ Soit G un groupe fini, a un élément de G et Ga le sous-groupe de G engendré par a .
L’application ϕa : Z 7−→ Ga définie par x
ϕa (x) = ax est un morphisme surjectif
x
de groupes dont le noyau {x ∈ Z | a = 1G } est de la forme nZ = Ker On , où n est
le plus petit entier naturel non nul tel que an = 1G . Alors la relation d’équivalence
définie sur Z par ϕa (x) = ϕa (x0 ) est la même que x ≡ x0 [n] , si bien que l’on définit
un morphisme surjectif ϕa : Z/nZ 7−→ Ga par la relation ∀ X ∈ Z/nZ , ∀ x ∈ X ,
ϕa (X) = ϕa (x) = ax . Par construction Ker ϕa = {nZ} est réduit à l’élément neutre de
Z/nZ donc le morphisme surjectif ϕa est aussi injectif : c’est un isomorphisme du groupe
Z/nZ sur le groupe monogène Ga engendré par a , qui est ainsi de cardinal n . L’entier
n = Card (Ga ) s’appelle ordre de a : D’après le théorème de Lagrange n est un diviseur
de Card (G) si bien que aCard(G) = 1G . On a donc montré le
Théorème
Pour tout groupe fini G et tout élément a de G , aCard(G) = 1G .
☞ Un groupe fini monogène est dit cyclique : Tout groupe cyclique G est isomorphe au
groupe additif Z/nZ où n = Card (G) . En particulier un groupe cyclique est commutatif.
Par exemple le groupe Un des racines nième de l’unité est un groupe cyclique engendré par
2iπ
ω=e n
☞ Soit G un groupe fini et a ∈ G un élément d’ordre n . Pour tout x ∈ Z l’ordre m de b = ax
est le plus petit des entiers y ∈ N∗ tels que xy soit multiple de n . Donc xm est le plus
petit commun multiple n ∨ x de x et de n . Le plus grand commun diviseur n ∧ x de x et
n
de n vérifie (n ∨ x)(n ∧ x) = xn si bien que m =
·
(n ∧ x)
☞ Il résulte de la formule ci-dessus que le nombre de générateurs d’un groupe cyclique de
cardinal n est le nombre d’entiers relatifs x premiers avec n .
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Algèbre Générale
Partie II : Anneaux et corps commutatifs
II
II.1
Anneaux et corps commutatifs
Définition, exemples et premières propriétés
Un anneau est un triple (A, +, · ) où A est un ensemble et + et · sont deux lois de composition
interne sur A telles que (A, +) soit un groupe commutatif et · soit associative, distributive (à
gauche et à droite) par rapport à + et admette un élément neutre 1A . Un corps (K, +, · ) est
un anneau tel que (K r {0K }, · ) soit un groupe. Un anneau (ou un corps) est dit commutatif
lorsque sa seconde loi · est commutative.
☞ Un anneau (A, +, · ) est dit intègre lorsqu’il est commutatif et que la nullité d’un produit
de deux éléments de A implique la nullité de l’un d’entre eux.
➣ Dans un anneau A les homothéties de rapport a ∈ A , ha : A 7−→ A , définies par
x
ha (x) = ax , sont des endomorphismes du groupe (A, +) . Dire qu’un anneau
commutatif est intègre est donc équivalent à dire que ses homothéties de rapport a
non nul sont injectives.
➣ Dans un corps commutatif K tout élément non nul k de K est inversible : toute
homothétie hk de rapport non nul k est un automorphisme du groupe (K, +) ,
d’inverse h−1
k = hk−1 . En particulier, tout corps commutatif est un anneau intègre.
➣ Dans un anneau intègre A qui est fini, toute homothétie de rapport non nul a est
injective et donc aussi bijective : Tout élément non nul a de A est alors inversible,
d’inverse a−1 = h−1
a (1A ) . Ainsi Tout anneau intègre fini est un corps.
➣ On montre qu’il existe un plus petit corps commutatif parmi ceux qui contiennent
un anneau intègre donné A : On l’appelle corps des fractions de A : Ses éléments
sont de la forme ab−1 (que l’on note aussi ab ).
☞ Quelques exemples d’anneaux :
➣ L’ensemble Z muni de ses lois d’addition et de multiplication usuelles est un anneau
intègre. Son corps des fractions est le corps Q des nombres rationnels.
➣ Si A est un anneau et I est un ensemble non vide, l’ensemble AI des applications de I
vers A est un anneau pour les lois naturelles (somme et produit de deux applications).
Même si l’anneau A est intègre, l’aneau AI ne l’est pas dès que I admet au moins
deux éléments.
➣ Soit A un sous-anneau d’un anneau commutatif B et x un élément de B : Il existe
un plus petit sous-anneau de B parmi ceux qui contiennent A ∪ {x} : On le note
A[x] , ses éléments sont polynômiaux en x à coefficients dans A , c’est à dire de la
n
X
forme
ak xk où (ak )k∈N ∈ AN est une suite nulle au delà d’un certain rang n .
k=0
➣ Anneaux de polynômes : Soit A un anneau commutatif. Il existe un anneau
commutatif B = A[X] où X est un élément de B dit transcendant sur A , c’est à
n
X
dire tel que toute relation de la forme
ak X k = 0 (n ∈ N et (ak )k∈[[ 0 , n ]] ∈ An+1 )
k=0
implique que les ak soient tous nuls.
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Algèbre Générale
Partie II : Anneaux et corps commutatifs
– Les éléments de A[X] s’appellent polynômes à une indéterminée sur A .
– Tout polynôme P de A[X] se décompose de manière unique sous la forme
n
X
P =
ak X k n ∈ N et (ak )k∈[[ 0 , n ]] ∈ An+1
k=0
Lorsque A est un anneau intègre l’anneau A[X] des polynômes à une indéterminée
sur A est lui-même un anneau intègre : Le corps des fractions de cet anneau intègre
s’appelle corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur A et se note A(X) .
☞ Lorsque A est un anneau commutatif et n ∈ N∗ , l’ensemble Mn (A) des matrices carrées
d’ordre n à coefficients dans A (c’est à dire des applications U = (uij )ij∈[[ 1 , n ]]2 de [[ 1 , n ]]2
dans A) est muni de son addition naturelle (celle des applications) et d’une multiplication
n
X
(dite produit matriciel) définie par U.V = (wij )ij∈[[ 1 , n ]]2 où wij =
uik vkj . Pour ces lois
k=0
Mn (A) est un anneau qui n’est pas commutatif dès que n > 2 .
☞ Les anneaux Z/nZ , (n ∈ N∗ ) :
La commutativité de l’anneau Z assure que le sous-groupe additif nZ est stable par
multiplication par tout élément de Z . Il en résulte que dans Z ,
x ≡ x0 [n] et y ≡ y 0 [n] =⇒ xy ≡ x0 y 0 [n] .
En notant On la surjection canonique de Z sur Z/nZ cela s’écrit aussi
On (x) = On (x0 ) et On (y) = On (y 0 ) =⇒ On (xy) = On (x0 y 0 ) .
On définit donc bien une loi de composition interne notée · sur l’ensemble Z/nZ , par la
formule
∀ (X , Y ) ∈ (Z/nZ)2 , ∀ (x , y) ∈ X × Y , X · Y = On (xy) .
le groupe additif Z/nZ muni de cette loi multiplicative devient un anneau commutatif
pour lequel la surjection canonique On : Z 7−→ Z/nZ est un morphisme d’anneaux :
On (x + y) = On (x) + On (y)
2
∀ (x , y) ∈ Z
On (xy) = On (x) · On (y)
➣ application : critère de divisibilité par 3 ou 9
∀ k ∈ N , O3 (10k ) = O3 (10)k = O3 (1)k = 1Z/nZ donc si l’on considère l’écriture
n
X
décimale d’un entier naturel x =
ak 10k (les ak dans [[ 0 , 9 ]]) on peut écrire
k=0
O3 (x) =
n
X
O3 (ak ) · O3 (10k ) =
k=0
ce qui est équivalent à x ≡
n
X
O3 (ak ) = O3
k=0
n
X
k=0
ak [3] . De même x ≡
n
X
!
ak
k=0
n
X
ak [9] . On en déduit
k=0
le critère de divisibilité par 3 ou par 9 : Pour qu’un entier soit divisible par 3
(respectivement par 9) il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible
par 3 (respectivement par 9)
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Algèbre Générale
Partie II : Anneaux et corps commutatifs
➣ critère de divisibilité par 11
∀ k ∈ N , O11 (10k ) = O11 (10)k = O11 (−1)k . On en déduit comme ci-dessus que
pour qu’un entier soit divisible par 11 il faut et il suffit que la somme alternée de
ses chiffres soit divisible par 11. Par exemple l’entier 4 002 009 est divisible par 11
(4 − 2 + 9 ≡ 0 [11]).
☞ Morphismes d’anneaux :
➣ Un morphisme d’anneaux est
une application f d’un anneau A vers un anneau B
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)
L’image de f est alors une
telle que ∀ (x , y) ∈ A × B ,

f (1A ) = 1B
partie de B , contenant 1B , stable par les lois de B : Im f = f hAi est un sous-anneau
de B .
Le noyau de f est un sous-groupe de (A, +) stable par multiplication (à gauche et à
droite) par les éléments de A .
➣ L’application ϕ : Z 7−→ A de Z vers un anneau A définie par n
n1A est un
morphisme d’anneaux.
– Si Ker ϕ = {0} alors Im ϕ , qui est le plus petit sous-anneau de A contenant 1A ,
est isomorphe à Z .
– Si Ker ϕ 6= {0} alors il existe un unique générateur p ∈ N∗ au sous-groupe Ker ϕ de
(Z, +) : Ker ϕ = pZ où p est le plus petit entier naturel non nul tel que p1A = OA .
On dit que p est la caractéristique de l’anneau A . L’application ϕ : Z/pZ 7−→ A
qui à tout X ∈ Z/pZ associe ϕ(X) = ϕ(x) pour tout x ∈ X est bien définie
puisque deux entiers relatifs x et x0 éléments de X sont congrus modulo p et
donnent alors la même image par ϕ . On vérifie dans ces conditions que ϕ est un
morphisme d’anneaux dont le noyau est réduit à {OZ/pZ } et dont l’image est Im ϕ .
Ainsi, lorsque A est un anneau de caractéristique p ∈ N∗ , le plus petit sous-anneau
de A contenant 1A , est isomorphe à l’anneau Z/pZ .
II.2
Cas d’un anneau euclidien
On dit qu’un anneau A est euclidien lorsqu’il est intègre et muni d’une application d :
A{OA } 7−→ N telle que
∃ (q , r) ∈ A2 , a = bq + r
(3)
∀ (a, b) ∈ A × A{OA } ,
avec r = OA ou d(r) < d(b)
☞ Par exemple Z est un anneau euclidien . En effet l’application d désignant la valeur absolue,
à tout couple (a , b) ∈ Z2 tel que b 6= 0 on peut associer le qotient q et le reste r dans la
division euclidienne de a par b : a = bq + r et 0 6 r = d(r) < |b| = d(b) .
De même l’anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K est
euclidien pour l’application d◦ qui à tout polynôme non nul de K[X] associe son degré :
à tout couple (a , b) ∈ K[X]2 tel que b 6= 0 on peut associer le quotient q et le reste r
dans la division euclidienne du polynôme a par le polynôme b : a = bq + r et r = 0 ou
d◦ (r) < d◦ (b) .
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Partie II : Anneaux et corps commutatifs
On dit qu’une partie I d’un anneau commutatif A est un idéal de A lorsque c’est un sous-groupe
de (A, +) stable par multiplication par les éléments de A :
OA ∈ I , ∀ (a , b) ∈ A2 , a + b ∈ I et ∀ (a , b) ∈ A × I , ab ∈ I .
☞ Par exemple dans un anneau commutatif A le plus petit idéal contenant un élément a de
A est Aa = {λa | λ ∈ A} . Le plus petit idéal contenant une paire {a , b} d’éléments de
A est Aa + Ab = {λa + µb | (λ , µ) ∈ A2 } .
☞ Les idéaux de Z sont exactement les sous-groupes de Z . En conséquence les idéaux non
nuls de Z sont de la forme pZ où p est le plus petit élément strictement positif de l’idéal.
Cela se généralise dans un anneau euclidien par le théorème suivant :
Théorème
Tout idéal I d’un anneau euclidien A est engendré par l’un de ses éléments, c’est à dire
qu’il existe a ∈ I tel que I = Aa . On dit que les idéaux de A sont principaux.
En effet, soit A un anneau euclidien, muni d’une application d : A{OAn} 7−→ N vérifiant (3)o.
Si I est l’idéal nul, I = AOA . Et si I est un idéal non nul de A la partie d (x) | x ∈ I{OA }
non vide de N admet un plus petit élément d(a) pour a convenable dans I{OA } . Alors pour
tout x ∈ I , il existe (q , r) ∈ A2 tel que x = aq + r avec r = OA ou d (r) < d (a) . Or
r = x − aq ∈ I puisque (x , a) ∈ I2 et que I est un idéal de A . Le cas r ∈ I{OA } est
irrecevable puisqu’il provoquerait d (r) > d (a) . Donc x = aq et I ⊂ aA = Aa . L’inclusion
réciproque est directe puisque a ∈ I et que I est un idéal de A .
Divisibilité dans un anneau euclidien
☞ La relation de divisibilité dans un anneau intègre A : On dit qu’ un élément a de A divise
un élément b de A (ce que l’on écrit a | b) lorsqu’il existe c ∈ A tel que b = ac . L’anneau
A étant commutatif, on a les équivalences :
a | b ⇐⇒ ∃ c ∈ A , b = ac ⇐⇒ Ab ⊂ Aa .
☞ La relation de divisibilité est réflexive et transitive sur les éléments de A . Cette relation
est presqu’un ordre sur A mais il lui manque l’antisymétrie. Elle induit de fait un ordre sur
l’ensemble des idéaux principaux de A . L’intégrité de l’anneau A assure que deux éléments
de A engendrent le même idéal (c’est à dire se divisent l’un l’autre) si et seulement si l’un
se déduit de l’autre par multiplication par un élément inversible de A .
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Partie II : Anneaux et corps commutatifs
Théorème de Bézout
Soit A un anneau euclidien et (a, b) ∈ A2 . L’ensemble des diviseurs communs dans A à a
et à b admet un élément maximal c pour la relation de divisibilité (tout diviseur commun
à a et b divise c). On dit que c est un plus grand commun diviseur de a et de b : c est un
générateur de l’idéal engendré par a et b : Aa + Ab = Ac .
➣ En particulier deux éléments a et b de A sont dits étrangers (ou premiers entre
eux) lorsque leur plus grand diviseur commun est 1A . Les conditions suivantes sont
équivalentes
(i) a et b sont étrangers
(ii) Aa + Ab = A
(iii) ∃ (u , v)) ∈ A2 , ua + vb = 1 .
Ce théorème résulte directement du théorème assurant que tout idéal d’un anneau euclidien
est principal : ici l’idéal I = Aa + Ab de A est principal, c’est à dire qu’il existe c ∈ I tel que
I = Ac . Alors Ac ⊃ Aa et Ac ⊃ Ab donc c | a et c | b . Et si d | a et d | b , alors a et b sont
éléments de Ad donc I = Ac ⊂ Ad et d | c .
Théorème de Gauß
Soit A un anneau euclidien et (a, b, c) ∈ A3 . Si a divise bc et est étranger avec b alors a
divise c .
Cela résulte du théorème de Bézout, car si a et b sont étrangers, on peut choisir (u, v) ∈ A2
tels que ua + vb = 1A et alors uac + vbc = c . Donc si a divise bc , a divise aussi c (A est un
anneau commutatif).
On peut appliquer notamment ces théorèmes dans les anneaux euclidiens Z et K[X] (K corps
commutatif ).
☞ Éléments inversibles de Z/nZ (n ∈ N∗ ) :
Pour qu’un entier relatif m soit tel que sa classe modulo n , soit inversible dans l’anneau
Z/nZ il faut et il suffit qu’il existe un entier relatif u tel que mu ≡ 1 [n] , c’est à dire qu’il
existe un couple (u, v) ∈ Z2 tel que mu + nv = 1 . On déduit du théorème de Bézout
que les éléments inversibles de Z/nZ sont les classes des entiers relatifs étrangers avec n .
Ce sont aussi les générateurs du groupe additif Z/nZ .
☞ Si Z/pZ est un anneau intègre non nul, sa caractéristique p est, par définition, un nombre
premier c’est à dire n’admettant pour seuls diviseurs distincts, dans Z , que ±1 et ±p .
Si p un entier naturel premier, alors tout entier naturel de [[ 1 , p − 1 ]] est par définition
étranger avec p et admet ainsi une classe modulo p qui est inversible dans Z/pZ . Les
éléments non nuls de l’anneau Z/pZ étant inversibles cet anneau est un corps.
Comme tout corps commutatif est un anneau intègre, on en déduit le
Théorème
Il y a équivalence, pour tout entier p > 2 , entre les trois assertions :
(i) Z/pZ est un anneau intègre
(ii) p est un nombre premier
(iii) Z/pZ est un corps
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Partie II : Anneaux et corps commutatifs
☞ Soit p un entier naturel premier. Puisque Z/pZ est un corps, l’ensemble Gp de ses éléments
non nuls est un groupe multiplicatif de cardinal p − 1 . Il résulte du théorème du §I.4 que
pour tout a ∈ Gp , ap−1 = 1Z/pZ . Cela équivaut à dire que ap = a puisque Z/pZ est un
anneau intègre. Ce résultat est connu sous le nom de
Théorème de Fermat
Pour tout entier naturel premier p et tout entier relatif x , xp − x est divisible par p .
On peut également partitionner Gp en les paires {a , a−1 } (a 6= a−1 ) et les deux singletons
{1Z/pZ } , {−1Z/pZ } : En effet, Z/pZ étant intègre, les seules solutions dans Z/pZ de
l’équation (x − 1)(x + 1) = OZ/pZ sont ±1Z/pZ et cette équation est équivalente à
Y
Y
l’équation x = x−1 . Il en résulte que
a = −1Z/pZ . Or
a est la classe modulo
a∈Gp
p de
Y
a∈Gp
k = (p − 1)! . On a donc obtenu le résultat connu sous le nom de
k∈[[ 1 , p−1 ]]
Théorème de Wilson
Pour tout entier naturel premier, (p − 1)! + 1 est divisible par p .
Décomposition en produit de facteurs premiers
Définition
On dit qu’un élément a de A est premier (ou extrémal) s’il engendre un idéal maximal parmi
les idéaux de A distincts de A , c’est à dire si tout idéal de A distinct de A et contenant Aa
est égal à Aa .
On sait que tous les idéaux de l’anneau euclidien A sont de la forme Ab . Il revient donc au
même de dire que a est un élément premier de A ou que tout diviseur de a non inversible dans
A est multiple de a par un élément inversible dans A .
Proposition
Dans un anneau euclidien, tout élément non inversible admet un diviseur premier .
En effet, s’il n’en était pas ainsi, il existerait un élément a0 non inversible de l’anneau euclidien
A sans diviseur premier : On pourrait construire par récurrence sur n ∈ N une suite strictement
(pour la relation d’inclusion) d’idéaux de A tous strictement contenus dans
croissante (Aan )n∈N[
A . Mais alors I =
Aan est un idéal de A par croissance de la suite (Aan )n∈N et, comme A
n∈N
est euclidien, il existe b ∈ I tel que I = Ab . En notant N un entier tel que b ∈ AaN on aurait
∀ n > N , I = Ab = Aan ce qui contredit la stricte croissance de la suite (Aan )n∈N .
☞ En conséquence, l’ensemble des éléments premiers d’un anneau euclidien est infini.
En effet siY
l’ensemble P des éléments premiers de l’anneau euclidien A était fini, l’élément
p n’aurait aucun diviseur premier dans A .
a = 1A +
p∈P
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Algèbre Générale
Partie II : Anneaux et corps commutatifs
☞ Existence d’une décomposition en produit de facteurs premiers :
Soit a un élément non inversible de l’anneau euclidien A : D’après ce qui précède, il
existe un diviseur premier p1 de a dans A : Soit α1 le quotient de a par p1 . Si α1 est
inversible, on stoppe le procédé. Sinon on choisit un diviseur premier p2 de α1 et on note
α2 le quotient de α1 par p2 . Si α2 est non inversible on peut poursuivre le procédé. On
crée ainsi par récurrence sur n une suite (pi )i∈[[ 1 , n ]] de diviseurs premiers de a et une suite
strictement croissante (Aαi )i∈[[ 1 , n ]] d’idéaux de A tels que ∀ i ∈ [[ 1 , n ]] αi−1 = pi αi (on
pose α0 = a). Cette construction récurrente doit s’arrêter à un rang n où αn est inversible,
sinon elle se poursuit indéfiniment avec une suite strictement croissante (Aαn )n∈N d’idéaux
de A : Or on a vu à la fin du point précédent qu’une suite croissante d’idéaux de A était
nécessairement stationnaire à partir d’un certain rang.
On a donc montré l’existence d’un entier n ∈ N∗ et d’une suite (pi )i∈[[ 1 , n ]] de diviseurs
n
Y
premiers de a et d’un élément inversible λ dans A tels que a = λ
pi .
i=1
☞ Unicité :
On vient de voir l’existence d’une décomposition de a en produit de facteurs premiers
qui, si on regroupe les facteurs premiers identiques (l’anneau A est commutatif), prend
r
Y
la forme a = λ
pαi i où λ est inversible et les pi sont des diviseurs premiers de a deux à
i=1
deux distincts et les αi sont des entiers naturels non nuls.
Si maintenant pαi est un diviseur de a tel que α soit un entier strictement supérieur à αi ,
r
Y
α
alors, par intégrité de A , pi serait un diviseur du produit
pj j étranger avec chacun
j=1
j6=i
des facteurs de ce produit : cela est contraire au théorème de Gauß. Il en résulte que αi
est l’unique entier maximum parmi les entiers α tels que pα divise a .
De plus si p est un diviseur premier de a il doit être, à un facteur multiplicatif inversible
près, l’un des pi : en effet si tel n’était pas le cas, l’élément premier p serait étranger avec
chacun des pi et alors p ne pourrait diviser aucun produit des pi (par le théorème de
r
Y
−1
Gauß), en particulier p ne pourrait diviser λ a =
pαi i . Il en résulte le
i=1
Théorème
Tout élément non inversible a d’un anneau euclidien admet une décomposition en
r
Y
produit de facteurs premiers distincts de la forme a = λ
pαi i où λ est inversible.
i=1
Dans cette décomposition les entiers r et αi sont uniques, et les éléments premiers pi
sont définis à un élément multiplicatif inversible près.
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Algèbre Générale
Partie III : Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif
III
III.1
Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps
commutatif
Polynôme minimal d’un élément d’une algèbre de dimension
finie
Soit K un corps commutatif et E une K-algèbre. Pour un élément donné a de E on considère
l’application Φa : K[X] 7−→ E de l’anneau des polynômes à une indéterminée sur K vers E ,
n
X
qui à tout polynôme P =
ak X k associe l’élément de E obtenu en remplaçant l’indéterminée
k=0
n
X
X par a : Φa (P ) = Pe(a) =
ak ak . On vérifie que Φa est un morphisme de K-algèbres.
k=0
☞ L’image de Φa est la plus petite sous-algèbre de E contenant K ∪ {a} : elle est notée
K[a] . C’est aussi le sous-K-espace vectoriel de E engendré par (ak )k∈N .
☞ Le noyau de Φa est l’idéal de l’anneau K[X] constitué des polynômes P annulant a .
Lorsqu’il existe un polynôme non nul P ∈ K[X] annulant a on dit que a est algébrique
sur K , sinon on dit que a est transcendant sur K . On a donc les équivalences
a est transcendant sur K ⇐⇒ Ker Φa = {0} ⇐⇒ Φa est injectif .
☞ Si K[a] (ou E) est de dimension finie en tant que K-espace vectoriel, alors Φa n’est pas
injectif (puisque K[X] est de dimension infinie) et a est algébrique sur K .
Inversement, si a est algébrique sur K , il existe un polynôme non nul P de K[X] de
degré d tel que Φa (P ) = Pe(a) = 0 . Pour tout b ∈ K[a] il existe Q ∈ K[X] tel
e . En effectuant la division euclidienne de Q par le polynôme non nul
que b = Q(a)
P , on peut écrire Q = DP + R où D et R sont dans K[X] et do R < d . Alors
e
e Pe(a) + R(a)
e
e . Ainsi b appartient au K-espace Kd−1 [a] engendré
b = Q(a)
= D(a)
= R(a)
0
d−1
par a = 1E , a , · · · , a . Dès lors K[a] = Kd−1 [a] est de dimension finie au plus d . On
a donc la caractérisation suivante des éléments algébriques :
Théorème
Pour tout élément a d’une K-algèbre :
a est algébrique sur K ⇐⇒ la K-algèbre Im Φa = K[a] est de dimension finie.
Lorsque a est algébrique sur K , l’idéal non nul Ker Φa de l’anneau euclidien K[X] est de
la forme K[X]Pa où Pa est l’unique polynôme unitaire de degré minimum parmi ceux des
polynômes unitaires annulant a . On dit que Pa est le polynôme minimal de a . La preuve
précédente montre que le degré da de Pa est la dimension de K[a] et plus précisément la famille
(ak )k∈[[ 0 , da −1 ]] est une base de K[a] .
➣ Si a est un élément algébrique d’une algèbre intègre E , le polynôme minimal Pa de a est
irréductible en produit de polynômes de degré strictement inférieur à da = do Pa , si bien
que Pa est premier dans l’anneau euclidien K[X] .
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Algèbre Générale
Partie III : Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif
➣ Si P ∈ Ker Φa est premier, alors il existe λ ∈ K tel que P = λPa et pour tout Q ∈ K[X] tel
e
que Q(a)
6= 0 , les polynômes P et Q sont étrangers (sinon leur pgcd serait Pa et Q serait
e
divisible par Pa ce qui exigerait Q(a)
= 0). Le théorème de Bézout assure l’existence d’un
2
e Ve (a) = 1 .
couple (U , V ) ∈ K[X] tel que Pa U +QV = 1 si bien que Φa (Pa U +QV ) = Q(a)
e
Tout élément non nul Q(a)
de l’anneau K[a] est ainsi inversible et K[a] est un corps.
e
➣ Si K[a] est un corps, lorsque a 6= 0 il existe Q ∈ K[X] tel que aQ(a)
= 1 et alors
P = XQ − 1 est un polynôme non nul de K[X] annulateur de a . Donc a est algébrique
sur K et K[a] est une algèbre intègre de dimension finie sur K .
On a donc montré le théorème suivant :
Théorème
Soit a un élément d’une K-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes
(i) K[a] est une algèbre intègre de dimension finie sur K
(ii) Il existe un polynôme premier (i.e irréductible) dans K[X] annulant a
(iii) K[a] est un corps .
III.2
Extension algébrique d’un corps commutatif
Définition
Soit K un corps commutatif et L un corps commutatif contenant K . On dit que L est une
extension algébrique de K lorsque tout élément de L est algébrique sur K . On dit que cette
extension est finie lorsque L est un K-espace vectoriel de dimension finie. On note alors
[L : K] la dimension du K-espace vectoriel L et on dit que c’est le degré de L sur K .
☞ Par exemple le corps C = R[i] = R ⊕ R i est une extension algébrique finie de R
de degré 2 puisque tout complexe z est racine du polynôme Pz ∈ R[X] défini par
Pz = X 2 − (z + z)X + |z|2 .
☞ D’une façon générale, considérons un élément algébrique a d’une K-algèbre intègre. Le
théorème précédent montre que K[a] est un corps. De plus, puisque a est algébrique
sur K , K[a] est de dimension finie, si bien que pour tout b ∈ K[a] , K[b] est une sousalgèbre de dimension finie de K[a] et ainsi par le théorème de caractérisation des éléments
algébriques, b est algébrique sur K . Alors le corps K[a] est une extension algébrique finie
du corps K et, d’après le paragraphe précédent, son degré est celui du polynôme minimal
annulateur de a .
☞ On montre que l’ensemble des nombres réels algébriques sur Q est dénombrable. Le corps
R étant indénombrable n’est pas une extension algébrique de Q .
Proposition
Lorsque les corps K ⊂ K1 ⊂ K2 sont tels que K1 soit une extension algébrique finie de K
et K2 une extension algébrique finie de K1 , alors K2 est une extension algébrique finie de
K et [K2 : K] = [K2 : K1 ][K1 : K] .
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Algèbre Générale
Partie III : Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif
En effet, si a ∈ K2 , K1 [a] est un K1 -espace vectoriel de dimension finie, et comme K1 est un
K-espace de dimension finie, K1 [a] est de dimension finie sur K et a est algébrique sur K .
K2 est donc bien une extension algébrique de K . En outre, K2 est isomorphe, en tant que
[K :K ]
K1 espace vectoriel à K1 2 1 et K1 est isomorphe en tant que K-espace vectoriel à K [K1 :K] .
Comme une application K1 -linéaire est aussi K-linéaire, on en déduit que K2 est isomorphe (en
[K2 :K1 ]
. Le degré de K2 sur K est la dimension de ce K-espace,
tant que K-espace) à K [K1 :K]
c’est à dire [K2 : K1 ][K1 : K] .
√
☞ Par exemple √
K1 = Q[ 2] est une extension
algébrique de Q de degré 2 (le polynôme
√
2
2
est
X
−
2).
Le
réel
3
n’est
pas élément de K1 (car √
une égalité
minimal
de
√
√
2
3 = a + b 2 avec (a , b) ∈ Q exigerait, par élévation au carré, que ab 2 ∈ Q et
√
3
/ Q on aurait ab = 0 et alors 3 ou serait carré d’un rationnel ce qui est
comme 2 ∈
2
√
exclu).
Donc
K
[
3]
est
une
extension
algébrique
1
√
√ de√K1 de degré 2 (le polynôme minimal
√
2
3] est une extension algébrique de
de 3 est X − 3). Ainsi K2 = K1 [ 3] = Q[√ 2][ √
Q de degré 2.2 = 4 . En outre, le réel α = 2 + 3 ∈ K2 est racine du polynôme
P = (X 2 − α2 )(X 2 − α−2 ) = X 4 − 10X 2 + 1 qui est irréductible sur Q . Il en résulte que
Q[α] est une extension algébrique
√ √ de Q de degré 4, incluse dans l’extension K2 elle aussi
de degré 4, donc K2 = Q[ 2][ 3] = Q[α] .
☞ Lorsque K1 est une extension algébrique finie de K de base (αi )i∈[[ 1 , p ]] et K2 une
extension algébrique finie de K1 de base (βj )j∈[[ 1 , q ]] on vérifie sans difficulté que
(αi βj )(i,j)∈[[ 1 , p ]] × [[ 1 , q ]] est une base de K2 sur K .
☞ Soient K et L deux corps commutatifs tels que K ⊂ L . Lorsque x et y sont deux éléments
de L algébriques sur K , la sous-K-algèbre K[x][y] de L engendrée par x, y est un corps
d’après le second théorème du §III.1. Il en résulte que l’ensemble CK (L) des éléments de
L qui sont algébriques sur K est un sous-corps de L qui est le plus grand des sous-corps
de L qui soit une extension algébrique de K : On dit que CK (L) est la clôture algébrique
de K dans L . La clôture algébrique de CK (L) dans L est CK (L) : en effet si a ∈ L est
n
X
n
λi X n−i ∈ CK (L)[X] alors a est algébrique sur le
annulé par le polynôme P = X +
i=1
corps K 0 = K[λ1 ] · · · [λn ] qui est une extension algébrique finie de K et il en résulte que
K 0 [a] est une extension algébrique finie de K et donc a ∈ CK (L) .
☞ Par exemple la clôture algébrique de Q dans C est une extension algébrique de Q qui
n’est pas finie : c’est ce que l’on appelle le corps des nombres algébriques. C est la clôture
algébrique de R dans C et c’est une extension finie de R de degré 2.
Théorème de d’Alembert-Gauss
C est algébriquement clos, c’est à dire que toute extension algébrique de C est égale à C ou
encore, tout polynôme de C[X] de degré au moins 1 a toutes ses racines dans C .
Pour obtenir ce résultat, il suffit de montrer qu’un polynôme P ∈ C[X] qui n’a aucune racine
dans C est nécessairement constant. Considérons un polynôme
P ∈ C[X] sans racine dans C :
Z 2π
1
1
alors la fonction f : R+ 7−→ C définie par f (r) =
dθ est de classe C ∞ sur R+
iθ
e
2π 0 P (r e )
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Cours de Mathématiques
Algèbre Générale
Partie III : Éléments algébriques d’une algèbre sur un corps commutatif
et, en dérivant par rapport à r sous le signe d’intégration,
∗
∀ r ∈ R+ ,
1
f (r) = −
2π
0
2π
Z
0
θ=2π
1
1
Pe0
iθ
iθ
iθ
= 0.
(r e ) e dθ = −
(r e )
2iπr Pe
Pe2
θ=0
La fonction continue f sur R+ , ayant une dérivée nulle sur l’intervalle R∗+ , est constante de
1
valeur non nulle f (0) =
· Or si le polynôme P est non constant, il existe une constante
e
P (0)
1
M
6 d où d = do P > 1 . Ceci exigerait que
M ∈ R+ telle que ∀ z ∈ C ,
|z|
|Pe(z)|
∀ r ∈ R+ ,
1
1
|f (r)| =
6
2π
|Pe(0)|
Z
0
2π
1
|Pe(r eiθ )|
dθ 6
M
−−−−−→ 0 ce qui est impossible .
rd r→+∞
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