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Chapitre 1
Espaces vectoriels
1. Définition
Soit K un corps commutatif (K = R ou C)
Soit E un ensemble dont les éléments seront appelés des vecteurs. On munit E de :
•
la loi interne « + » (addition vectorielle) : ∀( x , y) ∈ E 2 , ( x + y) ∈ E
•
la loi externe « . » (multiplication par un scalaire) : ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, (λ.x ) ∈ E
(E, +, .) est un espace vectoriel (ev) sur K (K-ev) si :
1) (E,+) est un groupe commutatif
•
l’addition est associative : ∀( x , y, z) ∈ E 3 , ( x + y) + z = x + ( y + z)
•
l’addition est commutative : ∀( x , y) ∈ E 2 , x + y = y + x
•
Il existe un élément neutre 0E ∈ E tq ∀x ∈ E, x + 0E = x
•
∀x ∈ E, ∃ ! x'∈ E tq x + x ' = x '+ x = 0 E (x’ est appelé l’opposé de x et se note (-x))
2) la loi externe doit vérifier :
•
∀λ ∈ K, ∀ ( x, y) ∈ E 2 , λ.(x + y) = λ.x + λ.y
•
∀(λ1 , λ 2 ) ∈ K 2 , ∀ x ∈ E , (λ1 + λ 2 ).x = λ1.x + λ 2 .x
•
∀(λ1 , λ 2 ) ∈ K 2 , ∀ x ∈ E , λ1.(λ 2 .x ) = (λ1.λ 2 ).x
•
∀x ∈ E, 1.x = x
Propriétés :
Si E est un K-ev, on a :
λ = 0
1) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K , λ.x = 0 E ⇔
ou x = 0 E
2) (−λ).x = −(λ.x ) = λ.(− x )
Exemple :
Soit K = R et E = Rn. (Rn,+, . ) est un R-ev
1) loi interne :
∀x ∈ R n , x = (x1 , x 2 , ..., x n ) et ∀y ∈ R n , y = (y1 , y 2 , ..., y n )
x + y = (x1 + y1 , x 2 + y 2 , ..., x n + y n )
2) loi externe :
∀x ∈ R n , ∀λ ∈ R : λ.x = (λx1 , λx 2 , ..., λx n )
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2. Sous espace vectoriel (sev)
Définition :
Soit E un K-ev et F ⊂ E . F est un sev si :
•
F≠∅
•
la loi interne « + » est stable dans F : ∀( x , y) ∈ F2 , ( x + y) ∈ F
•
la loi externe « . » est stable dans F : ∀x ∈ F, ∀λ ∈ K, (λ.x ) ∈ F
Remarque : Si E est un K-ev, {0 E } et E sont 2 sev de E
Exercice 1 :
Soit E l’ensemble défini par E = {( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 / x1 + 2x 2 − x 3 = 0}
Montrer que E est un sev de R3
Exercice 2 :
Soit E un ev sur K et F1 et F2 deux sev de E. Montrer que F1 I F2 est un sev de E
3. Somme de 2 sev
Théorème :
Soit F1 et F2 deux sev de E. On appelle somme des sev F1 et F2 l’ensemble noté (F1 + F2) défini par :
F1 + F2 = {x + y / x ∈ F1 et y ∈ F2 }
On peut montrer que F1 + F2 est un sev de E
Somme directe de sev :
Définition :
On appelle somme directe la somme notée F1 + F2
F = F1 + F2
F = F1 + F2 ⇔
F1 I F2 = {0 E }
Remarque : Si F = E, on dit que F1 et F2 sont supplémentaires
Propriété :
F = F1 + F2 ssi ∀z ∈ F , z s’écrit de manière unique sous la forme z = x + y avec x ∈ F1 et y ∈ F2
Exercice 3 :
{
F1 = {(x1 ,0,0) avec x1 ∈ R} et F2 = (0, x 2 , x 3 ) avec (x 2 , x 3 ) ∈ R 2
}
Montrer que F1 et F2 sont supplémentaires de R3 c’est-à-dire F1 + F2 = R3
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4. Combinaisons linéaires, familles libres, liées et génératrices
Définition :
Soit E un K-ev et {x i }i∈I une famille d’éléments de E. On appelle combinaison linéaire de la famille
{x i }i∈I , l’expression ∑ λ i x i
i∈I
avec λ i ∈ K
Définition :
On dit que la famille {x i }i∈I est libre si ∑ λ i x i = 0 E ⇒ λ i = 0 ∀i ∈ I
i∈I
Définition :
On dit que la famille {x i }i∈I est liée si elle n’est pas libre : ∃(λ1 ,..., λ p ) ≠ (0,...,0) tq ∑ λ i x i = 0 E
i∈I
Définition :
On appelle famille génératrice de E une famille telle que tout élément de E est une combinaison
linéaire de cette famille : ∀x ∈ E, ∃(λ i )i∈I tq x = ∑ λ i x i
i∈I
Définition :
On dit que la famille {x i }i∈I est une base de E si {x i }i∈I est une famille libre et génératrice
Propriété :
On dit que la famille {x i }i∈I est une base de E ssi ∀x ∈ E , x s’écrit de manière unique x = ∑ λ i x i
i∈I
Démonstration (1) ⇒ (2) (D1)
Exercice 4 :
Soit e1 = (1,0) ∈ R 2 et e 2 = (0,1) ∈ R 2 . La famille {e1 , e 2 } est-elle une base ?
Remarque :
La famille {e1 , e 2 ,..., e n } avec e1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1) constitue la base canonique
de Rn
Propriétés :
•
{x} est une famille libre
•
Toute famille contenant une famille génératrice est génératrice
•
Toute sous-famille d’une famille libre est libre
•
Toute famille contenant une famille liée est liée
•
⇔x≠0
Toute famille {v1 , v 2 ,..., v p } dont l’un des vecteurs vi est nul, est liée
