Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] Correction du Bac Session de Juin 2007 Série : TSE Prof : Abdoulaye Drissa Dembélé (ADD) EXERCICE1 : 1)a) ⟹ 4𝑛 + 1 = 𝐴2 + 𝐵 2 ? 2n=𝑎2 + 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑏 4𝑛 + 1 = 2(𝑎2 + 𝑎) + 2(𝑏 2 + 𝑏) + 1 1 2 1 2 =√2 (𝑎 + 2) +√2 (𝑏 + 2) D’où si n est la somme de deux nombres triangulaires, alors 4n+1est la somme de deux. carres b) n=3 vérifions que 4n+1 est la somme deux carres d’entiers. 13=32 + 22 𝑎2 +𝑎 𝑏 2 +𝑏 4n+1=𝐴2 + 𝐵 2 ⟹ 𝑛 = 2 + 2 ? Pour 𝑛 = 3 On a 4𝑛 + 1 = 13 = 32 + 22 Qui est la somme de 2 carres alors 𝑛 = 3 = 2 + 1 Or 2 n’est pas triangulaire par conséquent 𝑛 n’est pas somme de deux nombres triangulaires D’où la réciproque est fausse. 2)a) Précisions les éléments de symétrie 𝑦 2 = 𝑥 2 (1 − 𝑥 2 ) y = 𝑥√1 − 𝑥 2 𝑜𝑢 𝑦 = −𝑥√1 − 𝑥 2 𝐷𝑓 = [−1; 1] 𝑓1 (𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥 2 Ou 𝑓2 (𝑥) = −𝑥√1 − 𝑥 2 On a 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 𝑓1 (𝑥) = −𝑓2 (𝑥) Donc O(0,0) est centre de symétrie et 𝑥 = 0 est axe de symétrie b) construction de 𝐶 𝑓1 (𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥 2 2𝑥 2 1−3𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = √1 − 𝑥 2 − √1−𝑥 2=√1−𝑥 2 ∀xϵR √1 − x 2 ≥ 0 , 1 − 3x 2 = 0 M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 1 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] 1 𝑥 = ±√ 3 𝑥= − √3 3 Ou 𝑥 = √3 3 𝑥 − -1 √3 3 √3 3 1 𝑓′(𝑥) − + − 𝑓(𝑥) M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 2 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] EXERCICE2 : 1 𝑥+1 2 { 1 𝑦′ = 𝑦 − 2 2 𝑥′ = a)Montrons que 𝑓 admet un point seul point invariant 𝑓(𝑀) = 𝑀 1 𝑥+1 2𝑥 = 𝑥 + 2 𝑥=2 2 { ⟹{ ⟹{ 2𝑦 = 𝑦 − 4 𝑦 = −4 1 𝑦 = 𝑦−2 2 𝑥= 𝐽(2; −4) 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ b) Montrons que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑀′ = 2 𝐽𝑀 1 𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑀′ = (𝑦𝑥𝑀′ −𝑥 ) = (12 −𝑦 𝑀′ 𝐽 2 𝑥−1 1 1 𝑥−2 ) = 2 (𝑦+4 )=2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗𝑀 𝑦+2 1 D’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑀′ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽𝑀 1 b)𝑓 est une homothétie de rapport 𝐾 = 2 et de centre 𝐽(2, −4) c)le centre et le rayon du cercle 𝐶′image de 𝐶 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 0 { 𝑥 = 2𝑥 ′ − 2 𝑦 = 2𝑦 ′ + 4 (2𝑥 ′ − 2)2 + (2𝑦 ′ + 4)2 − 2(2𝑦 ′ + 4) = 0 M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 3 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) 2 ′ : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] 2 ′ 4𝑥′ − 8𝑥 + 4𝑦′ + 12𝑦 + 12 = 0 3 1 (𝑥 ′ − 1)2 + (𝑦 ′ + )2 − = 0 2 4 3 Donc 𝐶 ′ (1; − 2) 1 et de rayon 𝑅 = 2 2)𝑎) (E) :𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 8𝑥 2 − 24𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑔′′ (𝑥) − 3𝑔′ (𝑥) + 2𝑔(𝑥) = 8𝑥 2 + 24𝑥 2𝑎𝑥 2 + (−6𝑎 + 2𝑏)𝑥 + 2𝑎 − 3𝑏 + 2𝑐 = 8𝑥 2 + 24𝑥 Par identification 2𝑎 = 8 𝑎=4 { −6𝑎 + 2𝑏 = 24 ⟺ {𝑏 = 0 ⟺ 𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 2𝑎 − 3𝑏 + 2𝑐 = 0 𝑐=0 b)𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 Son équation caractéristique 𝑟 2 − 3𝑟 + 2𝑟 = 0 𝑟1 = 1 Et 𝑦1 = 𝑘1 𝑒 𝑥 + 𝑘2 𝑒 2𝑥 𝑟2 = 2 Déduisons les solutions de l’équation (E) : 𝑌 = 𝑦1 + 4𝑥 2 = 𝑘1 𝑒 𝑥 + 𝑘2 𝑒 2𝑥 + 4𝑥 2 PROBLEME A) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + ln 𝑥 𝐷𝑓 = ]0, +∞[ 1) a)lim 𝑓(𝑥) = −∞ lim 𝑓(𝑥) = +∞ 𝑥→0 𝑓 ′ (𝑥) 𝑥→+∞ 1 2𝑥 2 + 1 = 2𝑥 + = 𝑥 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑥 > 0; 2𝑥 2 + 1 > 0 D’ou 𝑓 ′ (𝑥) > 0; 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓(𝑥) est croissante 𝑥 0 𝑓′(𝑥) +∞ + M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 4 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ (LYMG) [email protected] 𝑓(𝑥) +∞ −∞ 𝑓Continue, bijective de ]0, +∞[ → ℝ, appliquons le théorème des valeurs intermédiaire 𝑓(𝑜. 5) = −0.44 𝑓(1) = 1 𝑓(0.5) ∗ 𝑓(1) < 0, Donc il existe un réel unique 𝛼 ∈ ]0.5 ; 1[ tel que 𝑓(𝛼) = 0 b) signe de 𝑓(𝑥) D’après le tableau de variation on a : Si 𝑥 ∈ ]0, 𝛼[ 𝑓(𝑥) < 0 Si 𝑥 ∈ ]𝛼, +∞[ 𝑓(𝑥) > 0 2) 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + (ln 𝑥)2 2 Calculons 𝑔′ (𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 2 Vérifions que 𝑔′ (𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) 2 2 𝑔′ (𝑥) = 𝑥 (𝑥 2 + ln 𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) CQFD Déduisons le tableau de variation de 𝑔 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑥 > 0, Le signe dépens de 𝑓(𝑥) 𝑥 0 +∞ 𝛼 − 𝑔′(𝑥) + 0 𝑔(𝑥) +∞ +∞ 𝑔(𝑥) B)1) Montrons que 𝛼 ∈ ]0.5,1[ est solution de l’équation ℎ(𝑥) = 𝑥 M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 5 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] 𝑡(𝑥) = ℎ(𝑥) − 𝑥 Posons 1 1 𝑡(𝑥) = − 4 (𝑥 2 + ln 𝑥) = − 4 𝑓(𝑥) On a 1 1 𝑡(𝑥) = − 4 𝑓(𝑥) Donc 𝑡(𝛼) = − 4 𝑓(𝛼) = 0 ; ℎ(𝛼) − 𝛼 = 0 ⟺ ℎ(𝛼) = 𝛼 D’où 𝛼 est solution de l’équation ℎ(𝑥) = 𝑥 1 1 2)a) Calculons ℎ′ (𝑥) = 1 − 4 (2𝑥 + 𝑥) = −2𝑥 2 +4𝑥−1 4𝑥 1 ∀𝑥 ∈ [2 , 1] 4𝑥 > 0 −2𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0 𝑥= 2+√𝑥 Ou 𝑥 = 2 2−√2 2 1 𝑥 2 1 ℎ′(𝑥) + 1 1 Prouvons que ℎ ([2 , 1]) ⊂ [2 , 1] ℎ′(𝑥) > 0,Donc ℎ(𝑥)est croissant 1 1 ℎ ([2 , 1]) = [ℎ(2), ℎ(1)]=[0.39; 0.75] ⊂ [0.5; 1] d’où 1 1 ℎ ([2 , 1]) ⊂ [2 , 1] 1 1 1 − 2𝑥 2 ℎ′′ (𝑥) = − (2 − 2 ) = 2 𝑥 4𝑥 2 Etudions son signe 1 ∀𝑥 ∈ [ , 1] , 4𝑥 2 > 0,1 − 2𝑥 2 = 0 2 𝑥 1 √2 2 2 1 + ℎ′′(𝑥) 1 √2 [ 2 0 − Si 𝑥 ∈ [2 , ℎ′′ (𝑥) > 0 M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 6 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ (LYMG) [email protected] √2 Si 𝑥 ∈ [ 2 , 1] ℎ′′(𝑥) ≤ 0 1 d) Déduisons que ∀𝑥 ∈ [2 , 1] on a :0 ≤ ℎ′(𝑥) ≤ 0.3 𝑥 1 √2 2 2 ℎ′′(𝑥) + 1 0 ℎ′(𝑥) − 0.29 1 4 1 4 D’après le tableau de variation de 𝑓′ 1 ∀𝑥 ∈ [2 , 1] 0≤ ℎ′(𝑥) ≤ 0.29 ≤ 0.3 3){ 𝑢0 = 1 𝑢𝑛+1 = ℎ(𝑥) 1 a)Montrons que 2 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 1 1 Pour 𝑛 = 0 Supposons vraie a l’ordre 𝑛 𝑐𝑒𝑠𝑡 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒 2 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 Démontrons vraie l’ordre 𝑛 + 1 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒 2 ≤ 𝑢0 ≤ 1 ⟺ ≤ 1 ≤ 1 vraie 2 1 1 2 ≤ 𝑢𝑛+1 ≤ 1 D’après l’hypothèse de récurrence 1 2 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 ⟺ ℎ(2) ≤ h(𝑢𝑛 ) ≤ ℎ(1) D’ou 1 ⟺ 2 ≤ 𝑢𝑛+1 ≤ 1 1 ⟺ 2 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1 1 𝑢𝑛 Décroissante 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛 − 4 (𝑢𝑛 2 + ln(𝑢𝑛 )) − 𝑢𝑛 1 = − 4 (𝑢𝑛 2 + ln( 𝑢𝑛 )) < 0 Donc 𝑢𝑛 est décroissante b) en utilisant l’inégalité des accroissements finis, MTQ l’on a : M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 7 Lycée Yana Maïga de Gao Chargé du cours (LYMG) : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ [email protected] |𝑢𝑛+1 − 𝛼| ≤ (0.3)|𝑢𝑛 −𝛼| puis que 1 |𝑢𝑛 − 𝛼| ≤ (0.3)2 2 |𝑓(𝑎) −𝑓(𝑏)| ≤ 𝐾|𝑏 −𝑎| Dans[𝑎, 𝑏] = [𝛼, 𝑢𝑛 ] K= 0,3 |ℎ(𝑢𝑛 ) − ℎ(𝛼)| ≤ 0,3|𝑢𝑛 − 𝛼| D’ou |𝑢𝑛+1 − 𝛼| ≤ 0,3|𝑢𝑛 − 𝛼| Si n=0 |𝑢𝑛 − 𝛼| ≤ 0,3|𝑢0 − 𝛼| Si n=1 |𝑢2 − 𝛼| ≤ 0,3|𝑢1 − 𝛼| Si / / / / / / / |𝑢𝑛 − 𝛼| ≤ 0,3|𝑢0 − 𝛼| |𝑢𝑛 − 𝛼| ≤ (0,3)𝑛 M. ADD « Le savoir que l’on ne complète pas chaque jour diminue ! » Page 8
