Corrigé Exercice 1
1. Quelques caractéristiques de Titan :
1.1.1. Système : {Titan}
Référentiel : saturnocentrique supposé galiléen
Bilan des forces extérieures :
force gravitationnelle de Saturne sur Titan FS/T
1.1.2.
MS × MT
1.1.3. FS/T = − G ×
RT
2
t
FS/T
u
⋅u
Saturne
1.2.1. D’après la deuxième loi de Newton on a :
∑F
ext
n
a
Titan
MT
MS
= MT ⋅ a
FS/T = M T ⋅ a = − G ×
MS × MT
RT
2
⋅ u soit a = − G ×
MS
RT
2
⋅ u , l’accélération est radiale et centripète.
G
G
G
v2
dv
1.2.2. Dans l’expression a = at t + an n on a a t =
et a n =
RT
dt
G
G
G
M
M
1.2.3. On sait que a = at t + an n et que a = − G × S2 ⋅ u = G × S2 ⋅ n donc par identification on a :
RT
MS
at = 0 et a n = G ×
RT
2
RT
G G
. L’accélération vectorielle de Titan dans la base orthonormée ( t , n ) se réduit donc
uniquement à la composante normale.
dv
ste
= 0 donc c’est que v = C donc le mouvement est
dt
1.3.1.La vitesse est constante car le terme a t =
uniforme.
1.3.2. a n = G ×
MS
RT
2
=
M
M
v2
donc v 2 = G × S soit v = G × S
RT
RT
RT
2. D’autres satellites de Saturne :
2
2.1.1. Comme T =
T2
RE
3
2.1.2. R E =
3
M
2π ⋅ R E
2π ⋅ R E
4π 2 ⋅ R E
4π 2 ⋅ R E
et v = G × S alors T =
soit T 2 =
d’où T 2 =
soit
MS
v
RE
G × MS
MS
G×
G×
RE
RE
G × MS × T 2
4π 2
donc R E = 3
3
G × MS × T2
4π 2
=
4π 2
G × MS
⎛ G × MS × T2
= ⎜⎜
4π 2
⎝
⎛ 6,67 ⋅ 10 −11 × 5,69 ⋅ 10 26 × (1,37 × 24 × 60 × 60) 2
A.N. : R E = ⎜⎜
4π 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
⎞
⎟
⎟
⎠
1
3
= 2,38 ⋅ 10 8 m = 2,38 ⋅ 10 5 km
3. Sonde saturno-stationnaire :
3.1. Pour que la sonde soit saturno-stationnaire il faut que Ts = Tc
3.2.1. En utilisant la troisième loi de Kepler donnée à la question 2.1.1. on peut écrire
car RC = RS + h donc (R S + h )3 =
3.2.2. A.N. : h = 3
G × M S × TS
4π 2
2
soit R S + h = 3
G × M S × TS
4π 2
2
donc h = 3
TS
2
(R S + h )3
=
4π 2
G × MS
G × M S × TS
4π 2
2
− RS
6,67 ⋅ 10 −11 × 5,69 ⋅ 10 26 × (10 × 60 × 60 + 39 × 60) 2
− 6,0 ⋅ 10 4 ⋅ 10 3 = 5,2 ⋅ 10 7 m = 5,2 ⋅ 10 4 km
2
4π
Corrigé Exercice 2
1.1. Planètes en orbite elliptique.
1.1.1. D’après la 1ère loi de Kepler (loi des orbites), dans le référentiel héliocentrique la trajectoire des
planètes est une ellipse dont l’un des foyers est occupé par le Soleil, donc le Soleil est sur le foyer F1.
1.1.2. D’après la 2ème loi de Kepler (loi des aires), le segment de droite reliant le Soleil, S, à la planète, M,
(le segment [SM]) balaie des aires A égales pendant des durées Δt égales donc A1 = A2.
1.1.3. D’après la question précédente pour un intervalle de temps identique Δt les aires sont identiques mais
pas les distances parcourues : la distance M2M’2 est supérieure à M1M’1 soit M2M’2 > M1M’1
Comme v1 =
M 1 M 1'
M M'
et v 2 = 2 2 alors v1 < v2.
Δt
Δt
1.2. Planètes en orbite circulaire.
1.2.1.
1.2.2. Système : {planète} Référentiel : héliocentrique (galiléen)
F3 = − G ×
MS × m
OM 3
2
⋅u = − G ×
MS × m
r2
⋅u
1.2.3. D’après la deuxième loi de Newton on a :
∑F
ext
F3 = m ⋅ a = − G ×
r2
⋅ u soit a = − G ×
u
M3
F3
O
a4
= m⋅a
MS × m
a3
MS
r2
M4
⋅u
1.2.4.
1.2.5. L’accélération est radiale et centripète et la force F3 a une norme constante donc l’accélération a une
valeur constante : le mouvement est donc circulaire et uniforme.
1.2.6. La troisième loi de Kepler (loi des périodes) dit que :
4π 2
T2
4π 2
2
T
=
soit
=
× r 3 ainsi le
3
G × MS
G × MS
r
graphe T2 = f (r3) doit être une fonction linéaire ce qui est le cas. La pente a pour expression :
1.2.7.
T2
représente la pente de la fonction linéaire, en prenant 1 point du graphique on en déduit la valeur
r3
de la pente :
T 2 0,60 ⋅ 1017
=
= 3,0 ⋅ 10 −19 s 2 ⋅ m − 3
35
3
r
2,0 ⋅ 10
1.2.8. D’après l’article on sait que T = 6,521 ans et d’après la question précédente on a : r 3 =
r=3
4π 2
G × MS
T2
soit
3,0 ⋅ 10 −19
(6,521 × 365 × 24 × 60 × 60) 2
T2
3
=
= 5,2 ⋅ 10 11 m = 5,2 ⋅ 10 8 km
3,0 ⋅ 10 −19
3,0 ⋅ 10 −19
2. La troisième loi de Kepler comme balance cosmique…
2.1. T (s) : période de révolution du satellite
r (m) : rayon de l’orbite du satellite
M (kg) : Masse de Rhea Sylvia
G : constante de gravitation universelle
G=
2.2. M =
4π 2
3
–1 –2
× r 3 donc G a pour unités : m ·kg ·s .
2
T ×M
4π 2
4π 2
3
×
r
or
T
=
87,6
h
donc
M
=
× (1360 ⋅ 10 3 ) 3 = 1,5 ⋅ 10 19 kg
2
2
−11
T ×G
(87,6 × 60 × 60) × 6,67 ⋅ 10
