DERIVEES

CHAPITRE 1 (suite)
Produit vectoriel
Soient et
noté
.
et
deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vectoriel des vecteurs
Calcul des produits vectoriels


Si

Dans une base orthonormale ( , , ), pour tout vecteur,
et
sont colinéaires alors
.
.Sin ( )
=0
(x, y, z) et
(x’, y’,z’),
on a
Application
1
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les trois points suivants : A 2 ;
1
1
2
B 6 ;C 2
1
2
Calcule le produit vectoriel
Eléments de réponse :
Calculons le produit vectoriel
0
4 ;
0
0
= 4
0
1
0
1
1
4
0 = 0
1
0
0
0 =
4
4
0
4
CHAPITRE 2 : RAPPEL D’ANALYSE

Dérivées simples
Elle est la limite du rapport de l’accroissement d’une variable lorsque celle-ci tend vers zéro.
Rappel des formules des dérivées étudiées dans les classes antérieures.
Fonction f
Dérivée f’
f(x) =k
f (x) = x
f(x)=
f(x) = xn
f(x) =
f’(x)= 0
f'(x) = 1
f’(x)= 2x
f’(x)= nxn-1
f'(x) = -
f(x) =
f'(x) = -
f(x) =
f'(x) =
fu+v
f= k u
f= u x v
F=
f' u’+v’
f' = ku’
f' = u’v + v’u
f' = -
f=
f'=
f=√
f'=
f=
f'=
√
validité
K est un nombre réel, x IR
x IR
x IR
x IR et n un entier naturel tel que n
X
∞; 0 ou 0; ∞
X
X
√
2
∞; 0 ou 0; ∞
0; ∞
Dérivable sur I
Dérivable sur I
Dérivable sur I
Dérivable sur toute valeur x de I tel que u(x) est
positif
Dérivable en toute valeur x de l’intervalle ou
v(n) est non nul
Dérivable sur toute valeur de x de I tel que u(x)
est positif.
Dérivable sur toute valeur x de I
.
Dérivée d’une fonction a plusieurs variables
Une dérivée partielle de f par rapport à xi est obtenue en dérivant f par rapport à xi en maintenant les
autres constants.
Application N° 1 :
On considère une fonction f :
IR
IR
f (x,y) = 3x2 + 4xy + 7y2
Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et par rapport à y.
Eléments de réponse.
- Calculons la dérivée partielle de f
* par rapport à x
x f (x, y) = x + 4y
* par rapport à y
y f(x,y) = 4x + 14y
Application N°2
On considère une fonction f :
IR
IR
f (x,y,z) = 5xz ln 1
7
Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et z
Eléments de réponse
Calculons la dérivée partielle de f :
- par rapport à x
x f (x, y,z) = 5z ln 1
7
- par rapport à z
z f (x,y,z) = 5x ln 1
Application :
7
On considère une fonction f :
IR
IR
f (x,y) = 3x2 + 4xy + 7y2
Calcule la dérivée partielle de f par rapport à x et par rapport à y.
Eléments de réponses.
- Calculons la dérivée partielle de f
* par rapport à x
x f (x, y) = x + 4y
* par rapport à y
y f(x,y) = 4x + 14y