Fascicule electrostatique42-46

Exercice 42 : On considère le regroupement de 3 condensateurs (voir figure ci contre) de capacités C 1 = C2
= 2C et C3 = 3C. On maintient entre A et B une tension VAB.
1°) Calculer en fonction de C et VAB les charges q1, q2, q3 portées par
chacun des condensateurs à l’équilibre. Faire l’application numérique
pour C=1µF et VAB = 1000V.
2°) On place entre A et M en parallèle au condensateur de capacité C1
un autre condensateur de capacité C4 = C et initialement chargé sous une
tension U. L’armature de C4 chargée positivement est reliée à M, la
même tension VAB étant maintenue entre A et B. Calculer la nouvelle
charge q’4 du condensateur C4 lorsque l’état d’équilibre électrostatique est atteint.
Solution :
1°)Principe de conservation des charges sur les armatures isolées (// loi aux nœuds)
(1)
(état final) : -q1 +q2 +q3 = 0 (état initial).
q
q
Equation à la maille extérieure : (2) 1  2  VAB
C1 C 2
q
q
Equation à la maille (C2, C3) : (3) 2  3  0
C2 C3
Système de 3 équations à 3 inconnues :




1 1
1   q1   0 

 1
   
1
1
0    q 2    VAB 
   Q  V  , soit : 
C C2
C

 1
   
1
1   q3   0 
 0
Etat Initial (S)


C2
C 3 

ce qui conduit à la solution : (substitution, déterminant,…)
C  C 2  C3 
10
10 2
q1  1
 VAB  q1  C  VAB 
Coulomb
C1  C 2  C3
7
7
q 2  C2
C1
4
4  10 3
 VAB  q 2  C  VAB 
Coulomb
C1  C 2  C3
7
7
C1
6
6  10 3
 VAB  q 3  C  VAB 
Coulomb
C1  C 2  C3
7
7
2°) Conservation des charges dans le système isolé (pointillés) S’ et S :
 Qinitiale  Qfinale
q 3  C3
q 2 '  q 3 'q1 '  q 4 '  q 2  q 3  q 4  q1 avec q4 =C4Uarmature + reliée à M
Equation à la maille (grande) :
q1 ' q 2 '

 VAB
C1 C 2
Equation à la maille (C1, C4) :
q' q '
 1  4 0
C1 C 4
Equation à la maille (C2, C3) :
q2 ' q3 '

0
C2 C3
c’est un système de 4 équations à 4 inconnues dont la résolution donne :
C  C3   VAB  q 4  q'  3 C  V  3  10 3 coulomb
q' 4  2
4
AB
C1 C 2 C 3
8
8


1
C4 C4 C4
Etat Final (S’)
Exercice 43 : On considère le regroupement ci-contre de 4 condensateurs où C1 =3C, C2 = C, C3 = 2C et
C4 = 3C.
1°) calculer en fonction de C la capacité équivalente entre A et B.
2°) On applique une différence de potentiel VAB, calculer les charges et
les tensions de chaque condensateur.
3°) On remplace C2 et C3 par un condensateur unique de capacité x. Pour
quelle valeur de x, la capacité équivalente entre A et B est égale à x ?
Calculer alors les charges et tensions de chaque condensateur
4°) On place entre A et M un condensateur Cy initialement chargé sous
une ddp V0.Calculer les nouvelles charges Q’y, Q’4, et Q’1(Attention, il y a 2 sens de branchement pour Cy)
Solution :
V2 
Q2
3
 VAB
C 2 10
V3 
C 2,3 
C2 C3
2
 C
C2  C3 3
Q3
3

VAB
C3 20
Q 4  C 4 VAB 
27
VAB
20
Q 2,3  Q 2  Q 3 (serie)
 C 2,3 VMB 
C 2,3, 4  C 4 
C2 C3
C 2  C3
3
CVAB
10
Q2  QAB  Q MB (serie)

C2C3 
C1 C 4 
C 2  C 3 
33

C eq 

C

C 2 C 3  20
C1  C 4 
C 2  C 3 

Q1 11
9
VAB ; Q AB  Ceq VAB  Q1

VAB ; VMB  VAB  V1 
20
C1 20
Autre méthode :
conservation des charges sur un système isolé (loi aux
 Q1  Q2  Q4  0 (1)
charge initiale = charge finale
Q Q
Q
Q
- Equation aux mailles : VAB  1  4  1  2 (2)
C1 C 4 C1 C 2,3
maille AMB
Q4
Q
 2 (3) maille MB,C4
C 4 C 2,3
Résolution du système (1,2,3).
VAB 
nœuds) :
C1 C 4  X
3
, X 2  3C  X  9C2  0 d’où X 
2
C1  C 4  X
Q
1
5  1 VAB
QAB  X  VAB  Q1 ; V1  1 
C1 2
Q
1
VMB  VAB  V1  1  3  5 VAB ;
C1 2
3
Q 4  C 4 VMB  3  5 C  VAB
2
3°) C2 et C3 remplacés par X : Ceq  X 





5 1 C,



Q X  X  VMB
Autre méthode : remplacer dans (1) Q2 par QX , dans (2) et (3) remplacer C2,3 par X et résoudre.
4°) Recherchons Qy’, Q1’, QX’ et Q4’
Q'
Q' y
Q'
Q'
Q' X
Q'
Loi à la maille : VAB  y  4 (1),
  1 (2),
 4
Cy
C4
Cy
C1
CX
C4
(3)
Conservation des charges :  Q' y Q'1   Q' X Q' 4  Q y  Q1  QX  Q4 avec
Q y  C y Vy , Q1, QX , Q4 calculés à la question 3°)
On obtient Q' y   .... l’étudiant pourra résoudre ce système d’équations en
tenant compte du signe de Qy et conclure
Exercice 44 : 1°) Un condensateur plan AB d’épaisseur d, de surface s est chargé sous une ddp V. Calculer la
charge Q, la force F qui s’exerce sur chaque armature et l’énergie du condensateur.
2°) Les armatures sont écartées d’une distance d’. Cette opération peut s’effectuer à Q ou à V constant. Calculer
dans chaque cas la nouvelle tension ou charge.
Calculer l’énergie du condensateur dans ce nouvel état ; faire le bilan énergétique.
Solution :
1°)

Charge Q  CV avec C 
εo  S
: condensateur plan
d

La force sur chaque armature : se trouvant chacun dans un champ E  
2o
ε S
Principe de Coulomb : F  Q  E , avec E : champ créé par un plan infini avec   Q , Q  C V et C  o
d
S
2
2
2
2
2
2
2
  S V
 S V
Q
Q
F Q  Q

 C V  o
soit F  o 2
2d
2S  o 2S  o 2S  o 2d 2  S  o
2o

2
 S
 S
Energie du système : u  1  Q  1 C V 2  1  o V 2 , ainsi : u  1  o V 2
2 d
2 C
2
2 d
2°) Ecartement des armatures :
 A Q  cte conservation des charges Q et Q ':
Q '  C 'V ' (final ) et Q  C  V (initial )

ε0  S
ε S

C 0
C'  d' ;
d

V'  V  V'  d'  V
d' d
d
2
Energie de l’état final: u'  1 / 2C' V' 
1  o S d' 2

 2  V2
2 d' d
'
'
S
u  1 o  d'  V 2  1 C  d'  V 2  1 CV 2  d  d  u ; ainsi : u'  d'  u
d
2 d d
2
d
2
d
d

A
V  cte :
Q'  C'V' (final)
et Q  C  V (initial) : V=V’ 
Q' C'

d’où Q'  d  Q
Q C
d'


 2 
1 Q'
1  d   Q  1 d 2 Q2
1 d
Q2
1 d Q2 d
Energie de l’état final : u'  
   
 

  
  
 u
2 C' 2  d'   ε 0  S  2 d' ε 0  S 2 d' ε 0  S d 2 d' C d'


 d 
on a : u'  d  u
d'
2
2
Bilan énergétique :
'
'
Q  cte : u  1/ 2C [d 1]V 2  1/ 2C V 2 [d 1]
d
d
Q2 d
V  cte
u  1/ 2 [ 1]
C d'
Faire les remarques sur u  f(d ') et faire attention au signe du [ ].
- à V  cte u  0 , le condensateur fourni de l’énergie à l’extérieur (effet joule)
- à Q  cte u  0 , il reçoit de l’énergie.
Exercice 45 : Calculer la capacité d’un condensateur plan formé de
deux plaques rectangulaires de dimensions d et l distantes de a,
lorsque celles ci forment un petit angle  ; leur distance minimale
restant égale à a (voir figure ci-contre).
Solution :
On dégage un condensateur élémentaire dC, à
l’abscisse x, d’épaisseur a  x  tg , de surface
ds  dx  l . Ce condensateur élémentaire est plan
  dx  l 0  s
dC  0

a  x  tg
e
Le condensateur équivalent sera la somme des
condensateurs élémentaires en parallèle :
 l
dx
 0  ln a  xtg
0 a  x  tg
tg
 
d
C   dC  0  l  
D’où : C 
0d

0 l  d
ln1 tg 
tg  a

Remarque : Si  est très petit, tg ~  d’où C 
0 l  d 
 l  d 0  s
ln1    C  0

 C0

a
a
 a 
Condensateur plan
Exercice 46 : Calculer la capacité d’un condensateur cylindrique, constitué par 2 cylindres coaxiaux de
rayons R1 et R2 (R1<R2). L’espace entre les deux cylindres est e.
Solution :
-Théorème de Gauss :
 




  E d S  E  2 x  h
Q
E 1
 Q
2 0 x  h

  0

- Circulation du vecteur E de l’armature interne à la surface interne de



l’armature externe : E   grad V   V  i
x
R 
1 Q   dV
Q
2
ln 2 
par intégration : 1 dV  V2 V1  
20 x  h
dx
2 0  h  R1 
R 
2 0  h
ln 2   C 
R 
2 0  h  R1 
ln 2 
R 
 1
R 


2 0  h
Si R2=R1+e, alors : ln 2   ln1 e   e d’où C 
e
R 
 R R
1
1
 1

R1
 s
s  2R1  h surface latérale C  0  condensateur plan
e
V1 V2 
Q