MATHÉMATIQUES
PROGRAMME DE KHÔLLE 12 :
ÉNONCÉS ET RÉSOLUTIONS
Arithmétique dans Z
I. Divisibilité et division euclidienne
+ Théorème de division euclidienne.
+ Divisibilité dans Z, diviseurs et multiples : définitions, propriétés de la relation de divisibilité.
+ Congruences : définition, propriétés de la relation de la congruence modulo un entier (somme, produit, multiplication
par un entier non nul).
II.
Divisibilité et division euclidienne
+ Définition du pgcd de deux entiers et premières propriétés.
+ Algorithme d’Euclide. Caractérisation du pgcd, propriétés d’associativité et factorisation par un diviseur commun.
+ Relation de Bézout pour deux entiers. aZ + bZ = (a ∧ b)Z. pgcd d’une famille finie d’entiers.
+ ppcm : définition et premières propriétés. aZ ∩ bZ = ppcm(a, b)Z. Propriétés d’associativité et de factorisation par
un diviseur commun.
III. Entiers premiers entre eux
+ Définitions et propriétés : nombres premiers entre eux, premiers entre eux dans leur ensemble, deux à deux.
+ Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Propriétés. Généralisation des propriétés aux entiers premiers entre eux
et produits d’entiers.
+ Forme irréductible d’un rationnel.
+ Relation entre pgcd et ppcm.
IV. Nombres premiers
+ Définition, existence de la factorisation première, infinité de l’ensemble des nombres premiers.
+ Décomposition et valuation p-adique, additivité des valuations p-adiques, unicité de la décomposition d’un entier entre
produit de facteurs premiers.
+ Divisibilité, décomposition du pgcd et ppcm.
+ Petit théorème de Fermat.
Structures algébriques
V.
Lois de composition interne
+ Associativité, commutativité. Exemples. Élément neutre, inversibilité. Distributivité.
+ Partie stable pour une loi.
VI. Structure de groupe
+ Définition. Exemples. Itéré d’un élément.
+ Sous-groupe, caractérisation. Sous-groupes de (Z, +). Intersection de sous-groupes.
+ Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme.
+ Image et noyau d’un morphisme. Injectivité. Isomorphisme.
VII.
Structure d’anneau, de corps
+ Définition. Exemples. Calculs dans un anneau. Formule du binôme et an − bn si les éléments a et b commutent.
+ Intégrité. Groupe des inversibles d’un anneau. Sous-anneau. Corps, sous-corps.
SIAHAAN–GENSOLLEN Rémy
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MATHÉMATIQUES
Questions / Exercices de cours / Savoir faire
1. Théorème de la division euclidienne : énoncé et démonstration.
Théorème ä Division euclidienne
Soit a ∈ Z et b ∈ N∗ . On a :
∃!(q, r) ∈ Z2 ,
a = bq + r et 0 ≤ r < b
On appelle q le quotient et r le reste de cette division euclidienne de a par b.
Démonstration. Soit a ∈ Z et b ∈ N∗ .
+ Existence : On pose A = {k ∈ Z | kb ≤ a}. Or on a
b ∈ N∗
donc
b≥1
|a| b ≥ |a|
donc
donc
− |a| ≤ − |a| ≤ a
Donc on a toujours k = − |a| ∈ A. De plus, ∀k ∈ A, k ≤ a par définition, donc A est une partie non
vide et majorée de Z, elle admet donc un plus grand élément. On pose donc ce maximum q = max A.
Par définition on a bq ≤ a, et puisque q est le maximum de A on a q + 1 6∈ A donc b(q + 1) > a. On
pose finalement r = a − bq. On a donc bien 0 ≤ r < b. Donc a = bq + r et 0 ≤ r < b.
+ Unicité : On suppose qu’il existe deux couples (q, r) ∈ Z2 et (q 0 , r0 ) ∈ Z2 tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b
a = bq 0 + r0 et 0 ≤ r0 < b
On obtient alors −b < r − r0 < b soit |r − r0 | < b. Or r − r0 = b(q − q 0 ) donc |q − q 0 | < 1.
On a |q − q 0 | ∈ N donc q − q 0 = 0. On a donc q = q 0 , et donc r = r0 . Ainsi (q, r) = (q 0 , r0 ).
2. Description de l’algorithme d’Euclide et démonstration de la propriété ci-dessous. Application à la caractérisation du
pgcd (dernier reste non nul).
Propriété ä Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide
∀(a, b, k) ∈ Z3 ,
a ∧ b = (a + kb) ∧ b
Démonstration. Soit (a, b, k) ∈ Z3 . On a par définition du pgcd l’implication suivante :
D(a) ∩ D(b) = D(a + kb) ∩ D(b) =⇒ a ∧ b = (a + kb) ∧ b
On démontre donc par double inclusion que D(a) ∩ D(b) = D(a + kb) ∩ D(b).
+ Montrons ⊆ : Soit d ∈ Z tel que d ∈ D(a) ∩ D(b), donc d ∈ D(a) et d ∈ D(b).
On a d | a et d | b donc d | a + kb, ainsi d ∈ D(a + kb)
Puisque d ∈ D(b), on a d ∈ D(a + kb) ∩ D(b). Donc D(a) ∩ D(b) ⊆ D(a + kb) ∩ D(b).
+ Montrons ⊇ : Soit d ∈ Z tel que d ∈ D(a + kb) ∩ D(b), donc d ∈ D(a + kb) et d ∈ D(b).
On a d | b donc d | −kb. Or d | a + kb donc d | a + kb − kb, ainsi d | D(a)
Puisque d ∈ D(b), on a d ∈ D(a) ∩ D(b). Donc D(a + kb) ∩ D(b) ⊆ D(a) ∩ D(b).
On a donc D(a) ∩ D(b) = D(a + kb) ∩ D(b) donc a ∧ b = (a + kb) ∧ b.
Lemme ä Lemme d’Euclide (Corollaire)
Soit a ∈ Z et b ∈ N∗ . Soit (q, r) ∈ Z × J0, b − 1K tel que a = bq + r est la division euclidienne de a par b.
On a
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a∧b=b∧r
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Programme de khôlle 12 : Énoncés et résolutions
Démonstration. Soit a ∈ Z, b ∈ N∗ , (q, r) ∈ Z × J0, b − 1K tels que a = bq + r est la division euclidienne de a
par b. La propriété précédente amène directement :
a ∧ b = (bq + r) ∧ b = r ∧ b = b ∧ r
ä Algorithme d’Euclide
∗ 2
Soit (a, b) ∈ (N ) . On présente l’algorithme d’Euclide qui calcule le pgcd de a et b.
+ Avec n ∈ N∗ , on construit une séquence finie d’entiers (rk )k∈J0,nK ∈ Nn × {0} avec r0 = a et r1 = b.
+ Pour un entier k ∈ N∗ , on construit la séquence (rk ) de la façon suivante :
I Si rk = 0, on s’arrête et on revoie rk−1 .
I Si rk > 0, on pose la division euclidienne de rk−1 par rk , et rk+1 est le reste de cette division :
∃(q, rn+1 ) ∈ N2 ,
rn−1 = qrn + rn+1
et
0 ≤ rn+1 < rn
Démonstration. Montrons la terminaison et la correction de l’algorithme d’Euclide.
+ Terminaison : On remarquera que rk > 0 =⇒ rk > rk+1 ≥ 0, donc par récurrence simple :
∀k ∈ J0, n − 1K,
rk > rk+1 ≥ 0
Puisque la séquence (rk )k∈J0,nK est une séquence d’entiers naturels strictement décroissante, il
existe bien un (unique) entier naturel n ∈ N tel que rn = 0, donc l’algorithme s’arrête bien.
+ Correction : On montre par récurrence grâce au lemme d’Euclide que :
a ∧ b = r0 ∧ r1 = r1 ∧ r2 = . . . = rn−1 ∧ rn = rn−1 ∧ 0 = rn−1
Or l’algorithme renvoie rn−1 = a ∧ b, donc l’algorithme renvoie bien le pgcd de a et b.
3. Démonstrations du théorème de Bézout et de celui de Gauss.
Théorème ä Petit théorème de Bézout / Identité de Bézout
Soit (a, b) ∈ Z2 .
∃(u, v) ∈ Z2 ,
au + bv = pgcd(a, b)
Démonstration. Soit (a, b) ∈ Z2 .
+ Si a = 0 et b = 0, on a a ∧ b = 0. Dès lors on a que tout couple (u, v) ∈ Z2 est solution.
+ Sinon, considérons a 6= 0. On a alors |a| + |b| ∈ (aZ + bZ) ∩ N∗ donc l’ensemble (aZ + bZ) ∩ N∗ est
une partie non vide de N∗ . Il possède donc un plus petit élément, qu’on note d. Ainsi :
∃(u, v) ∈ Z2 ,
d = au + bv
I Montrons alors que d = a ∧ b. On a a ∧ b | a et a ∧ b | b donc a ∧ b | (au + bv) soit a ∧ b | d.
I Réciproquement, on veut montrer que d | a ∧ b, donc que d | a et d | b. On pose :
∃!(q, r) ∈ Z × N,
a = dq + r
∧
0≤r<d
Donc r = a − dq = a − (au + bv)q = (1 − uq)a − (vq)b ∈ aZ + bZ.
I De même, on montre que d | b donc d | a ∧ b. Or d ∈ N et a ∧ b ∈ N, donc d = a ∧ b.
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MATHÉMATIQUES
Théorème ä Théorème de Bézout
Soit (a, b) ∈ Z2 . a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe (u, v) ∈ Z2 tels que au + bv = 1.
a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃(u, v) ∈ Z2 ,
au + bv = 1
Démonstration. Soit (a, b) ∈ Z2 . Le petit théorème de Bézout livre :
a ∧ b = 1 =⇒ ∃(u, v) ∈ Z2 ,
au + bv = a ∧ b = 1
Réciproquement, on a a ∧ b | a et a ∧ b | b donc ∀(u, v) ∈ Z2 , a ∧ b | au + bv. Donc :
∃(u, v) ∈ Z2 ,
Donc
au + bv = 1 =⇒ a ∧ b | au + bv =⇒ a ∧ b = 1
a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃(u, v) ∈ Z2 ,
au + bv = 1.
Lemme ä Lemme de Gauss
Soit (a, b, c) ∈ Z3 . Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
a | bc et a ∧ b = 1 =⇒ a | c
Démonstration. Soit (a, b, c) ∈ Z3 , tels que a | bc et a ∧ b = 1.
Puisque a ∧ b = 1, on a ∃(u, v) ∈ Z2 , au + bv = 1. De plus a | bc donc ∃q ∈ Z, bc = aq. Ainsi :
auc + bvc = c donc auc + aqv = c donc a(uc + qv) = c
Donc a | c.
4. Énoncé et démonstration du petit théorème de Fermat, avec la démonstration du lemme.
Lemme
Soit p un nombre premier. Pour tout entier k dans J1, p − 1K, p divise
∀p ∈ P,
∀k ∈ J1, p − 1K,
Démonstration. Soit p ∈ P et k ∈ J1, p − 1K. On a :
p
p−1
k
=p
donc
k
k−1
p
k .
p
p|
k
p
p|k
k
Or p > k donc p ne divise pas k. Donc p ∧ k = 1. Le lemme de Gauss livre alors p |
p
k
.
Théorème
Soit p ∈ P et a ∈ Z. On a ap ≡ a [p]. De plus si p - a, alors ap−1 ≡ 1 [p].
∀(p, a) ∈ P × Z,
ap ≡ a [p]
et
p - a =⇒ ap−1 ≡ 1 [p]
Démonstration. Soit p ∈ P. Pour a ∈ J0, p − 1K, on pose H(a) : ap ≡ a [p].
+ On a 0p = 0 donc 0p ≡ 0 [p] donc H(0) est vrai.
+ Soit a ∈ J0, p − 2K tel que H(a) est vrai. On a alors :
(a + 1)p =
p X
p
k=0
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k
ak = a0 + ap +
p−1 X
p
k=1
k
ak
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Programme de khôlle 12 : Énoncés et résolutions
Or pour k ∈ J1, p − 1K, p |
p
k
. Donc p |
p−1 p−1 X
X
p k
p k
a d’où
a ≡ 0 [p].
k
k
k=1
k=1
Donc (a + 1)p ≡ ap + 1 ≡ a + 1 [p]. Donc H(a + 1) est vrai.
+ H(0) est vrai, et pour tout a ∈ J0, p − 2K, H(a) =⇒ H(a + 1), donc par principe de récurrence,
∀a ∈ J0, p − 1K, ap ≡ a [p]. Puisque qu’on raisonne modulo p, le résultat se généralise pour a ∈ Z.
+ On a :
ap ≡ a [p] donc
ap − a ≡ 0 [p] donc
p | ap − a
donc p | a(ap−1 − 1)
Si p - a, alors a ∧ p = 1 donc le lemme de Gauss livre p | ap−1 − 1, d’où ap−1 ≡ 1 [p].
5. Déterminer les sous-groupes de (Z, +).
Montrons que les sous-groupes de (Z, +) sont exactement les nZ. Soit nN.
+ Montrons d’abord que tout nZ est un sous-groupe de (Z, +).
On a nZ ⊂ Z et 0 = 0 × n ∈ nZ donc nZ 6= ∅.
Pour (a, b) ∈ (nZ)2 , on a a ≡ 0 [n] et b ≡ 0 [n] donc a − b ≡ 0 [n] donc a − b ∈ nZ.
Par caractérisation, nZ est un sous-groupe de (Z, +).
+ Montrons maintenant que tout sous-groupe de (Z, +) est un nZ avec n ∈ N.
Soit H une partie de Z tel que (H, +) est un sous-groupe de (Z, +).
Si H = {0}, alors H = 0Z. Sinon si H 6= {0}, alors ∃n ∈ H tel que n 6= 0. Or H est un groupe donc
−n ∈ H, donc |n| ∈ H ∩ N∗ .
On a H ∩ N∗ une partie non vide de N∗ , donc on peut prendre n = min (N∗ ∩ H).
Vérifions maintenant que H = nZ :
I Montrons ⊇ : n ∈ H, donc tous les itérés de n sont aussi dans H, donc kn ∈ H avec k ∈ Z.
I Montrons ⊆ : Soit h ∈ H. On pose la division euclidienne de h par n.
∃(q, r) ∈ Z2 ,
k = nq + r
et
0≤r<n
Or h ∈ H et nq ∈ nZ ⊂ H donc h − nq ∈ H donc r ∈ H.
Ainsi, r ∈ H ∩ N et r < n = min (H ∩ N∗ ). Donc r = 0. Donc, h = nq donc h ∈ nZ, donc
H ⊂ nZ.
Donc H = nZ.
6. Montrer qu’une intersection de sous-groupes d’un groupe (G, ?) est un sous-groupe de (G, ?).
Soit (G, ?) un groupe de neutre eG et (Hi )i∈I une famille de sous-groupes de (G, ?)∗. Posons :
\
H=
Hi
i∈I
T
Tout Hi étant un sous-groupe de G, ∀i ∈ I, eG ∈ I. Ainsi :
eG ∈ i∈I Hi
donc
eG ∈ H.
Soit (x, y) ∈ H 2 , donc ∀i ∈ I, x ∈ Hi et y ∈ Hi . Or chaque Hi étant un sous-groupe, on a que :
\
∀i ∈ I, x ? y −1 ∈ Hi
donc
x ? y −1 ∈
Hi
i∈I
On a donc montré que x ?
yi−1 nH.
Par caractérisation
\
Hi est un sous-groupe de G.
i∈I
7. Montrer que l’image directe d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
Soit deux groupes (G, ?) et (H, ♦) de neutre eG et eH , et f : G → H un morphisme de groupes.
Soit G0 ≤ (G, ?) un sous-groupe de G et H 0 ≤ (H, ♦) un sous-groupe de H.
+ On a f (G0 ) = {f (x) | x ∈ G0 }. Puisque f : G → H et G0 ⊂ G on a déjà f (G0 ) ⊂ H.
Or G0 est un sous-groupe de G donc eG ∈ G0 . Puisque f (eG ) = eH , on a eH ∈ f (G0 ), donc f (G0 ) 6= ∅.
Soient (a, b) ∈ f (G0 )2 . Donc ∃(x, y) ∈ G02 , a = f (x) et b = f (y). Donc :
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a ♦ b−1 = f (x) ♦ f (y)−1 = f (x) ♦ f (y −1 ) = f (x ? y −1 )
Or x ∈ G0 , y ∈ G0 , et G0 est un groupe donc x ? y −1 ∈ G0 . Donc f (x ? y −1 ) ∈ f (G0 ) donc
a ♦ b−1 ∈ f (G0 ).
Par caractérisation f (G0 ) ≤ (H, ♦) est un sous-groupe de H
On a bien montré que ∀G0 ≤ (G, ?), f (G0 ) ≤ (H, ♦) et ∀H 0 ≤ (H, ♦), f −1 (H 0 ) ≤ (G, ?).
8. Montrer que l’image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.
Soit deux groupes (G, ?) et (H, ♦) de neutre eG et eH , et f : G → H un morphisme de groupes.
Soit G0 ≤ (G, ?) un sous-groupe de G et H 0 ≤ (H, ♦) un sous-groupe de H.
+ On a f −1 (H 0 ) = {x ∈ G | f (x) ∈ H 0 }. De même, par définition de f , on a déjà f −1 (H 0 ) ⊂ G.
H 0 est un sous-groupe de H donc eH ∈ H 0 . Or f (eG ) = eH donc f (eG ) ∈ H 0 donc eG ∈ f −1 (H 0 ) 6= ∅.
Soient (x, y) ∈ f −1 (H 0 )2 . On a x ∈ f −1 (H 0 ) et y ∈ f −1 (H 0 ), donc f (x) ∈ H 0 et f (y) ∈ H 0 .
Or H 0 est un sous-groupe, donc f (x) ♦ f (y)−1 ∈ H 0 . Or
f (x) ♦ f (y)−1 = f (x) ♦ f (y −1 ) = f (x ? y −1 )
donc
f (x ? y −1 ) ∈ H 0
donc
Donc par définition, on a bien x ? y −1 ∈ f −1 (H 0 ).
Par caractérisation f −1 (H 0 ) ≤ (G, ?) est un sous-groupe de G
9. Montrer qu’un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre.
Soit deux groupes (G, ?) de neutre eG et (H, ♦) de neutre eH et f : G → H un morphisme de groupes.
Montrons que f est injective si et seulement si Ker(f ) = {eG }.
+ Montrons =⇒ : Si f est injective.
Comme f est un morphisme, f (eG ) = eH donc eG ∈ Ker f . Donc {eG } ⊂ Ker f .
Soit x ∈ Ker f . Alors, f (x) = eH = f (eG ). Par injectivité de f , x = eG . Donc Ker f ⊂ {eG }. Ainsi
Ker f = {eG }.
+ Montrons ⇐= : Si Ker f = {eG }. Montrons que f est injective.
Soient (a, b) ∈ G2 tels que f (a) = f (b). On a f (b) ∈ H et H un groupe de f (b)−1 ∈ H et
f (a) ♦ f (b)−1 = eH .
Puisque f est un morphisme, f (a ? b−1 ) = eH donc a ? b−1 ∈ Ker f = {eG } d’où a ? b−1 = eG donc
a = b.
10. Montrer que la composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes, et que la réciproque d’un
isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupe.
+ Soit (G, ?), (H, ♦) et (K, ⊗) trois groupes et f : G → H et g : H → K deux morphismes de groupes.
Soient (x, y) ∈ G2 . On a :
(g ◦ f )(x ? y) = g(f (x ? y)) = g (f (x) ♦f (y)) = g(f (x)) ⊗ g(f (y)) = (g ◦ f )(x) ⊗ (g ◦ f )(y)
Donc (g ◦ f ) : G → K est un morphisme de groupes.
+ Soit (G, ?) et (H, ♦) deux groupes. Soit f : G → H un isomorphisme de groupes.
On sait déjà que f : G → H est bijective, et admet donc une bijection réciproque f −1 : H → G.
Soient (a, b) ∈ H 2 . On a f −1 (a) ∈ G et f −1 (b) ∈ G donc f −1 (a)?f −1 (b) ∈ G. Or f est un morphisme
donc :
f f −1 (a) ? f −1 (b) = f f −1 (a) ♦ f f −1 (b) a ♦ b ∈ H
Donc en appliquant f −1 :
f (a ♦ b) = f −1 f f −1 (a) ? f −1 (b) = f −1 (a) ? f −1 (b)
Donc f −1 est un morphisme de groupes, donc un isomorphisme de groupes.
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