Cours de Terminale S - Nombres remarquables dont les nombres premiers E. Dostal juin 2015 Table des matières 2 Nombres remarquables dont les nombres premiers 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . 2.4 Nombres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 5 Chapitre 2 Nombres remarquables dont les nombres premiers 2.1 Introduction Qu’est-ce qu’un nombre premier ? C’est un entier naturel strictement supérieur à 1, n’admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts : 1 et lui-même. A quoi servent-ils ? Ces nombres ont une importance centrale en mathématiques : on peut montrer que tout entier naturel peut se décomposer en produit d’un ou de plusieurs facteurs premiers. Les nombres premiers peuvent donc être vu comme les composantes de base des nombres entiers. La simplicité de cette définition ainsi que l’apparente importance de ce concept ont amené les mathématiciens à s’y intéresser dès l’antiquité. Les os d’Ishango, également appelés bâtons d’Ishango, sont des artéfacts archéologiques découverts dans l’ancien Congo belge et datés de peut-être 20 000 ans. Ils sont recouvert d’en tailles marquant les nombres premiers 11, 13, 17 et 19. Est-ce ici l’ébauche d’une table de nombres premiers ou cette correspondance est-elle due au hasard ? Aujourd’hui, les nombres premiers sont à la base de tous les problèmes de chiffrement qui régissent notre vie de tous les jours (cartes à puces, site internet sécurisé, ...). Combien y en a-t-il ? Une infinité ! (Cf. démonstration faite par Euclide) Y a t-il une régle gouvernant la succession des nombres premiers ? Cette question est reliée à l’hypothèse de Riemann. Les plus grands mathématiciens se sont confrontés à cette conjecture depuis plus d’un siècle ...sans succès ! Quel est le plus grand nombre premier connu ? Découvert le 25 janvier 2013, le plus grand nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne 257885161 − 1, qui comporte 17 425 170 chiffres en écriture décimale. On le doit à l’équipe de Curtis Cooper, à l’université du Central Missouri, dans le cadre de la grande chasse aux nombres premiers de Mersenne (GIMPS). Puis-je participer à la recherche du prochain nombre premier ? Oui, en utilisant votre ordinateur ! ! ! (http ://www.mersenne.org/) Et ensuite ? La résolution de l’hypothèse de Riemann est dotée d’un prix de 1 000 000 $ américains offert par le Clay Mathematical Institute. (Les problèmes du prix du millénaire comptent sept défis mathématiques réputés 2 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS insurmontables posés en l’an 2000. A ce jour, six des sept problèmes demeurent non résolus.) 2.2 Les nombres premiers Définition 1 Un nombre entier naturel est premier si il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Proposition 1 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Le plus petit diviseur de n compris entre 2 et n est premier. démonstration : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit p le plus petit des diviseurs de n compris entre 2 et n. Supposons que p n’est pas premier, alors il admet un diviseur d tel que 1 < d < p. d est un diviseur de p donc de n et est plus petit que p, ce qui est impossible. Donc p est premier. Théorème 2 L’ensemble des nombres premiers est infini. (raisonnement par l’absurde en utilisant la proposition 1) On sait qu’il y en a une infinité, mais on ne les connait pas tous et on les cherche encore à l’heure actuelle ! ! ! Proposition 3 Tout entier naturel n supérieur à 2 qui n’est pas premier, admet un diviseur √ premier au plus égal à n Conséquence : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. √ Si aucun des entiers compris entre 2 et n ne divise n, alors n est premier. Exemple : 149 est-il premier ? Il existe différents cribles permettant de trouver les nombres premiers inférieurs à un entier N choisi : Crible d’Eratosthène, Crible de Matiassevitch, ... 3 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS 2.3 Décomposition en produit de facteurs premiers Théorème 4 Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. On écrira n = pα1 1 pα2 2 pα3 3 ...pαk k où p1 , p2 , ..., pk sont des nombres premiers et α1 , α2 ,... αk sont des entiers naturels non nuls. démonstration de l’existence. (pour l’unicité, nous attendrons le théorème de Gauss (du chapitre 3)) Exemple : Décomposer en produit de facteurs premiers 360, puis 1001. Algorithme 1 Un test de primalité est un algorithme permettant de savoir si un nombre entier est premier. Le test le plus simple est le suivant : pour tester N, on vérifie s’il est divisible par l’un des entiers compris entre 2 et N (2 compris). Si la réponse est négative, alors N est premier, sinon il est composé. Plusieurs changements permettent d’améliorer les performances de cet algorithme : √ • il suffit de tester tous les nombres de 2 à N • on peut encore diviser par deux le travail en ne testant que les nombres impairs, une fois que la divisibilité par deux a échoué, • de façon générale, on peut calculer à l’avance une liste des nombres premiers inférieurs à une limite (avec un crible), pour ne tester que ceux-ci. Par exemple, pour tester les nombres inférieurs à 39 000, il suffit de tester les nombres premiers inférieurs à 198 (car 1982 > 39000), soit 45 nombres premiers. 4 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS 2.4 Nombres remarquables 2.4.1 Nombres de Fermat Histoire : Pierre Simon de FERMAT, français, 16011665. Philologue, administrateur puis Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse (l’équivalent d’une cour de justice), cet érudit restera dans la mémoire des hommes comme un des plus grands mathématiciens du 17 è siècle. Il fut un des artisans fondateurs de l’Académie des sciences qui vit officiellement le jour un an après sa mort. Définition 2 Nombres de Fermat n Un nombre entier de Fermat est un nombre de la forme 22 + 1 avec n entier naturel. Une conjecture (fausse) de Fermat est que ces nombres sont premiers (Cf Activité). 2.4.2 Nombres de Mersenne Histoire : MERSENNE Marin, français, 1588-1648 Philosophe, abbé, ordonné en 1611, après des études de théologie à la Sorbonne, Marin Mersenne compléta ses études au collège royal de la Flèche en compagnie de Descartes avec lequel il nouera une grande amitié. C’est ainsi qu’il se passionna (1625) pour les sciences physiques et mathématiques. Définition 3 Nombres de Mersenne Un nombre entier de Mersenne est un nombre de la forme Mp = 2p − 1 avec p entier naturel. Les nombres de Mersenne sont très utile pour chercher les nombres premiers énormes. Notons d’abord que Mp est composé si p est composé. Mais si p est premier, il arrive parfois que Mp soit lui aussi premier. On ne connait actuellement que 48 cas où cela arrive (Cf Activité) Le plus grand nombre premier connu à ce jour est M57 885 161 découvert le 25 janvier 2013 (http ://www.mersenne.org) 5 E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS 2.4.3 Nombres de Carmichael Histoire : CARMICHAEL Robert Daniel, américain, 1879-1967 Physicien au début de sa carrière (il étudia la théorie de la relativité initiée par Albert Einstein), philosophe et mathématicien (il obtint son doctorat à l’université de Princeton sous la houlette de Birkhoff en 1911), Carmichael se consacra tout particulièrement, dès les années 1910, à la théorie des nombres et aux nombres premiers en particulier. Il enseigna à l’université de l’Illinois. Définition 4 Nombres de Carmichael Un nombre de Carmichael est un nombre entier non premier n qui vérifie la congruence an−1 ≡ 1 [n] pour a entier premier avec n. Il revient au même de dire que pour tout entier a tel que 1 < a < n tel que a et n sont premiers entre eux, on a an et a qui ont le même reste dans la division euclidienne par n. Ces nombres sont ”peu nombreux”, c’est un euphémisme ! C’est dire que leur recherche peut prendre un certain temps, même au moyen de l’ordinateur... Les premiers sont les suivants : 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, ... Théorème 5 Petit théorème de Fermat (HORS PROGRAMME) Si p est un nombre premier, alors pour tout entier a, l’entier ap aura le même reste que a dans la division euclidienne par p. On comprend alors pourquoi les nombres de Carmichael sont appelés aussi les ”menteurs de Fermat”. 6