Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-1 Introduction Le Moteur Asynchrone, ou Moteur à Induction, est actuellement le moteur électrique dont l’usage est le plus répandu dans l’industrie. Son principal avantage réside dans l’absence de contacts électriques glissants, ce qui conduit à une structure simple, robuste et facile à construire. Relié directement au réseau industriel à tension et fréquence constantes, il tourne à vitesse peu différente de la vitesse synchrone; c’est lui qui est utilisé pour la réalisation de la quasi-totalité des entraînements à vitesse constante. Il permet aussi la réalisation d’entraînements à vitesse variable et la place qu’il occupe dans ce domaine ne cesse de croître. Le moteur asynchrone est utilisé dans l’ensemble des applications industrielles, du fait de sa facilité de mise en œuvre, de son faible encombrement, de son bon rendement et de son excellente fiabilité. Dans ce chapitre, nous présenterons le modèle mathématique triphasé de la Machine Asynchrone et de sa transformation dans le système diphasé. Ensuite, nous donnerons la modélisation de la Machine Asynchrone dans le système diphasé. I-2 Définition de la MAS : La machine asynchrone est une machine électrique à courant alternatif dont la vitesse de rotation du rotor du champ magnétique du stator est dépond de la charge. Le moteur asynchrone couplé à un variateur de fréquence est de loin le type de moteur le plus utilisé pour les applications où il est nécessaire de contrôler de la vitesse et le déplacement d'une charge. Fig (І-01) : Schéma d’un Moteur asynchrone 1 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-3 Constitution de la Machine Asynchrone On se propose dans cette partie, de donner quelques précisions sur les éléments de constitution de la machine asynchrone. Cette description va nous permettre de comprendre de quelle façon le système est réalisé physiquement. Les machines asynchrones triphasées peuvent se décomposer, du point de vu mécanique en deux parties distinctes: Le stator, partie fixe de la machine où est connectée l’alimentation électrique Le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge mécanique. Fig (І-02) : Schéma de constitution de la MAS I-3-1 Rotor (induit) : Le rotor est la partie mobile du moteur asynchrone. Couplé mécaniquement à un treuil d'ascenseur par exemple, il va créer un couple moteur capable de fournir un travail de montée et de descente de la cabine d'ascenseur. Il se compose essentiellement : - D'un empilage de disques minces isolés entre eux et Fig (І-03) : Schéma d’un Rotor clavetés sur l'arbre du rotor afin de canaliser et de faciliter le passage du flux magnétique. - D'une cage d'écureuil en aluminium coulé dont les barreaux sont de forme trapézoïdale pour les moteurs asynchrones standards et fermés latéralement par deux "flasques" conductrices. 2 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-3-2 Stator (inducteur) : Les différents types de moteurs asynchrones ne se distinguent que par le rotor ; dans tous les cas le stator reste, au moins dans son principe, Le stator d'un moteur est la partie statique (fixe) du moteur asynchrone. Le stators est compose principalement : de la carcasse. des paliers. des flasques de palier. du le ventilateur refroidissant le moteur. capot protégeant le ventilateur. Fig (І-04) : Schéma d’un Stator I-4 Vues en coupe : Fig (І-05) : Schéma de vue en coupe de la MAS 3 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-5 Utilisation : I-5-1 Moteur asynchrone: Le moteur asynchrone est le moteur industriel par excellence, les moteurs asynchrones ont pour leur grande majorité, un rotor à cage. Les progrès accomplis ces dernières années dans l'alimentation et la commande des machines n'ont fait que réduire la part des moteurs asynchrone à rotor bobiné par rapport à leurs homologues à cage d'écureuil. I-5-2 Générateur asynchrone: Le générateur asynchrone est beaucoup plus rare que l'alternateur ,mais on le trouve dans quelques applications de puissance limitée comme les microcentrales hydrauliques ,il occupe surtout la plus grande part du marché des éoliennes , le plus souvent avec des machines à cage d'écureuil pour les puissances modestes ,mais aussi avec des machines à rotor bobiné pour les installations plus importantes I-6 Principe de fonctionnement : Création d'un champ tournant Les 3 enroulements du stator sont orientés à 120˚ l'un par rapport à l'autre. Alimentés en courant triphasé (chaque courant est déphasé de période), ces enroulements créent un champ magnétique tournant. Sa vitesse de rotation s'appelle vitesse de synchronisme. Sa valeur en tours par secondes (tr/s) vaut la fréquence du réseau qui alimente les bobines en hertz (50 Hz pour l'Europe). La vitesse de synchronisme est nommée Ώ en rad/s ou ns en (tr/s). On a : (І-01) 4 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone En pratique Sur les moteurs asynchrones, la vitesse de synchronisme dépend de la fréquence d'alimentation et du nombre de paires de pôles (P) : (І-02) avec en . Fig (І-06) : Champ tournant de la MAS I-7 Glissement: Le glissement représente la différence de vitesse de rotation entre l'arbre du moteur et le champ tournant du stator; il s'exprime par la relation suivante : (І-03) Le glissement est généralement exprimé en pourcentage de la vitesse de synchronisme . (І-04) 5 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone La vitesse de synchronisme, quant à elle, est fonction de la fréquence du réseau et du nombre de paires de pôles. Elle s'exprime par la relation suivante : (І-05) Avec : - = vitesse du champ tournant. - nn = vitesse de rotation de l'arbre. - f = la fréquence du réseau (en général 50 Hz). - p = le nombre de paires de pôles. I-8 Advantages et Inconvenients: I-8-1 Les avantages du MAS : Comparé au moteur shunt, le moteur asynchrone a l’avantage d’être alimenté directement par le réseau triphasé. Son prix d’achat est moins élevé, il est beaucoup plus robuste car il ne nécessite pratiquement pas d’entretien, peu de parasite, très puissant. Ces deux qualités fondamentales (prix et solidité) résultent du fait qu’il n’a pas de collecteur. En effet, le collecteur est un organe coûteux et fragile qui nécessite un entretien fréquent : changement des balais. I-8-2 Les inconvénients du MAS : A l’exception du démarrage et de l’inversion du sens de marche que l’on peut résoudre de façon satisfaisante, le moteur asynchrone a des performances très médiocres, procédure de démarrage complexe, nécessite une alimentation alternative, destine a travailler avec une seul vitesse. I-9 Modélisation de la MAS: La machine asynchrone n'est pas un système simple à modéliser car de nombreux phénomènes compliqués interviennent dans son fonctionnement comme la saturation, les courants de Foucault, l'effet pelliculaire... etc. Cependant, nous n'allons pas tenir compte de ces phénomènes car d'une part, leur formulation mathématique est difficile, d'autre part leur incidence sur le comportement de la machine est considérée comme négligeable dans certaines conditions. Ceci nous permet d'obtenir 6 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone des équations simples qui traduisent fidèlement le fonctionnement de la machine. Le modèle de la machine asynchrone triphasée est un système de six équations différentielles dont les coefficients sont des fonctions périodiques de temps. La résolution d'un tel système est difficile même avec l'utilisation de l'outil numérique. L'utilisation d'une transformation dite de Park qui est un changement convenable des variables permet de contourner cette difficulté. I-10 Hypotheses simplificatrice: Pour cette mise en équation, nous supposons que le bobinage est réparti de manière à donner une force magnétomotrice ‘f.m.m’ sinusoïdale s'il est alimenté par des courants sinusoïdaux. Nous supposerons également que nous travaillons en régime non saturé. Nous négligeons le phénomène d'hystérisise, les courants de Foucault et l'effet de peau. Enfin, le régime homopolaire est nul puisque le neutre n'est pas relié. Ces choix signifient entre autres que : - les flux sont additifs, - Les inductances propres sont constantes, - Il y a une variation sinusoïdale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques en fonction de l'angle électrique de leurs axes magnétiques. I-11 Les équations de la MAS I-11-1 Dans le repère A, B, C La machine est représentée par trois phases statoriques et trois phases rotoriques (Fig-I-07). Fig (І-07) : Représentation schématique du modèle triphasé équivalent de la MAS 7 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-11-2 Equation électrique La loi de Faraday permet d'écrire : d dt Pour les trois phases on résume cette écriture par l’écriture matricielle condensée : V Ri Vabc Riabc d abc (І-07) dt Pour le stator : Vas Rs V 0 bs Vcs 0 (І-06) 0 Rs 0 0 ias as d 0 ibs bs dt cs Rs ics (І-08) 0 iar ar 0 d 0 ibr br 0 dt cr 0 Rr icr (І-09) Pour le rotor : Var Rr V 0 br Vcr 0 0 Rr 0 I-11-3 Equation magnétique Les équations magnétiques de la machine asynchrone sont données par : s Lss . I s M sr I r . r L rr . I r M rs I s Avec : ls Lss M s M s Ms ls Ms Ms Ms , ls lr Lrr M r M r (І-10) Mr lr Mr Mr Mr lr (І-11) La matrice des inductances mutuelles (matrice de couplage rotor -stator) s’écrit : 2 2 cos cos( ) cos( 3 3 2 2 M sr M sr cos( ) cos cos( 3 3 2 2 cos( ) cos( ) cos 3 3 ) ) , Mrs M sr t . (І-12) 8 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone Où : : est l’inductance propre d’une phase statorique. : est l’inductance propre d’une phase rotorique. : est l’inductance mutuelle entre deux phases statoriques. : est l'inductance mutuelle entre deux phases rotoriques. : est le maximum de l’inductance mutuelle entre une phase statorique et une phase rotorique. : Angle électrique définit la position relative instantanée entre les axes rotoriques et les axes statoriques qui sont choisi comme axes de références. En remplaçant () dans (), on obtient le système suivant : d d V s R s . I s dt Lss . I s dt M sr I r V R . I d L . I d M I r r dt rr r r dt rs s (І-13) I-11-4 Equation mécanique L’expression de l’équation mécanique est : d f . dt Ce C r J (І-14) Le couple électromagnétique est donné par : Ce pias ibs iar d ics M sr ibr dt icr (І-15) Avec : : Moment d’inertie du rotor : Coefficient de frottement visqueux. : Couple électromagnétique. : Couple résistant. : Nombre de paire de pôle. 9 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-12 Transformé de PARK : La transformation de Park est constituée d’une transformation triphasé-biphasé suivie d’une rotation. Elle permet de passer du repère (abc) vers le repère ( ) puis vers (dq ) . Le repère ( ) est toujours fixe par rapport au repère (abc) du stator, par contre le repère (dq ) est mobile. Il forme avec le repère fixe ( ) un angle qui est appelé l’angle de Park. Fig (І-08) : Transformation de Park I-12-1 Transformation de PARK Soit [VS] le vecteur tension appliqué aux 3 phases statoriques de la machine. Vas Vs Vbs Vcs (І-16) La transformée de PARK correspond tout simplement au changement de base (triphaséedq) qui permet de diagonaliser une matrice « inductance ». La matrice de changement de base est définie par : cos cos 2 / 3 cos 2 / 3 2 P sin sin 2 / 3 sin 2 / 3 3 1 1 1 2 2 2 (І-17) La matrice de changement de base [P(θ)] étant orthonormée, le calcul de sa matrice inverse est très simple : Donc : cos sin 2 P 1 cos 2 / 3 sin 2 / 3 3 cos 2 / 3 sin 2 / 3 2 1 2 1 2 1 (І-18) 10 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone I-12-2 Application de la transformation de PARK à la machine asynchrone I-12-2-1 Equations des tensions En appliquant la transformation du Park au système des équations électriques dans le régime naturel le nouveau système d’équations devient : v ds R S v qs 0 0 Rr 0 0 p Avec : 0 RS i ds d i qs dt 0 i dr R r i qr d p dt d dt ds 0 qs s dr qr et 0 r s ds 0 qs r dr 0 qr (І-19) (І-20) d dt I-12-2-2 Equations du flux Les relations entre les flux et les courants prennent la forme suivante : ds LS i ds M i dr qs LS i qs M i qr (І-21) dr L r i dr M i ds qr L r i qr M i qs (І-22) I-12-2-3 Le couple électromagnétique Développé par le moteur est exprimé par la relation suivante : Ce p M dr iqs qr ids Lr (І-23) I-12-3 Choix du référentiel Référentiel lié au stator : est le mieux adopté pour travailler avec les grandeurs instantanées. d S d d d d 0 r r dt dt dt dt dt (І-24) 11 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone Référentiel lié au rotor : C’est le choix quand on a besoin d’étudier des grandeurs rotoriques. Il se traduit par la condition : d d r 0 S dt dt (І-25) Référentiel lié au champ tournant : dans ce cas la vitesse p est la vitesse du champ tournant (vitesse du synchronisme s ), les équations relatives au modèle de la machine asynchrone dans ce repère sont données par : d Vds Rs .I ds dt ds s . qs V R .I d . s qs qs s ds qs dt 0 R .I d . r dr dr s qr dt d 0 Rr .I qr qr s . dr dt (І-26) I-13 Mise sous forme d’équation d’état Pour exprimer les relations de Park sous forme d'état, nous choisissons par exemple, les flux statoriques et rotoriques ainsi que la vitesse mécanique ds , qs , dr , qr , comme variables d'état. Équation électrique : (І-27) Où : , s et r sont respectivement le coefficient de fuite total, la constante de temps statorique et la constante de temps rotorique. 12 Chapitre І Modélisation de La Machine Asynchrone Équation mécanique : P M cem qs dr ds qr Ls L r J d c em c r f r dt (І-28) Schéma bloc : Cr Vds Vqs ω Modèle de la machine asynchrone triphasé Y Alimentée en tension Fig (І-09) : 3 Schéma bloc de la machine asynchrone alimentée en tension. Où : ds qs Y dr qr (І-29) Conclusion Dans ce chapitre, nous avons pu établir un modèle mathématique de la machine asynchrone triphasé dont la complexité a été en réduire en utilisant un certain nombre d’hypothèses simplificatrices. L’application de la transforme de PARK permettre le passage du système triphasé vers le système biphasé de PARK 13
