42f539c543e918a06d9af8ff378de7dc

2ème année du baccalauréat Sciences Mathématiques
Durée : 2h
lycée Ibn Abdoun-Khouribga
Devoir surveillé n°1 – le 26/11/2020
Mr.EL ABBASSI Med
Il sera tenu compte de la rédaction, de la rigueur et de la présentation de la copie lors de la correction
Exercice 1 ( 7.25 pts )
Considérons la fonction f définie par f  x   Arc tan
0.25pt
0.5pt
1,5pts

x  x 1

1) Déterminer D f le domaine de définition de f .
2) a-Montrer que f est strictement croissante sur D f .
b- Montrer que f réalise une bijection de D f vers un intervalle J à déterminer.
 
x  tan  , avec    0,  .
 2
  
a- Vérifier que x  x  1  tan   
4 2
 1
b- Montrer que  x  D f  f  x    Arc tan x .
4 2
 3 
c- Résoudre dans D f l’équation f 1    x
 8 
1
4) Calculer f  x  pour tout x  J .
3) Soit x  D f , posons
2pts
1pt
0. 5pt
1,5pts
 
Exercice 2 ( 6 pts )
1pt
1pt
1pt
1,5pt
1.5pt
3

1  x3  1 
1) Considérons la fonction g définie sur 0,  par g  x   Arc tan  3
.
3


x


Montrer que la fonction g admet un prolongement par continuité en 0.
2) Soit f le prolongement par continuité de g en 0.
a- Calculer les limites suivantes : lim f  x  et lim xf  x  .
x 
x 
b- Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur 0,  .
c- Montrer que la fonction f est continue sur 0,  , puis déduire qu’elle réalise une
bijection de 0,  vers un intervalle J à déterminer.
d- Calculer f 1  x  pour tout x  J .
Exercice3 ( 6.75 )
Pour tout nN* \ 1 , considérons la fonction f n définie sur 0,1 par : fn  x   xn  nx  1 .
1pt
0.5pt
0.75pt
1pt
1.5pt
1pt
1pt
1) a-Montrer que l’équation f n  x   0 admet une solution unique un dans l’intervalle 0,1 .
b- Donner la valeur de u2 .
c- Montrer que 0.25  u3  0.5 .
2) Considérons la suite  un n2 ainsi définie.
a- Etudier le signe de fn1  x   f n  x  pour tout x  0,1 .
b- Montrer que la suite  un n2 est strictement décroissante, puis déduire quelle est convergente
c- Montrer que lim unn  0 .
n
d- Déduire que lim un  0 .
n 