Université Félix Houphouët Boigny Cocody 2017-2018 U.F.R. de Maths-Info/Actuariat Fiche de T.D. ALGEBRE BILINEAIRE L2 Exercice 1 u = (x; y; z) ; q (u) = 5x2 + 7y 2 + 6z 2 2 2 4xz 2 2 u = (x; y; z; t) ; q (u) = x + y + z + t 4yz: 2xy + 2xz + 2xt + 2yz + 2yt 2zt: 1° ) Décomposer chacune de ces formes en carrées de Gauss.Donner la signature, le noyau, le rang, le cône isotrope de chacune. 2° ) Montrer que pour chaque forme, il existe une base orthonormale de vecteurs propres pour le produit scalaire canonique de R3 ou R4 . Exercice 2 Soit E un R-espace vectoriel à base canonique B = (e1 ; e2 ; e3 ), et f : E E ! R l’application dé…nie par : f (x; y) = x1 y1 + 6x2 y2 + 56x3 y3 2 (x1 y2 + x2 y1 ) + 7 (x1 y3 + x3 y1 ) 18 (x2 y3 + x3 y2 ) 1. Déterminer la matrice A de f dans la base B:La forme bilinéaire f est-elle dégénerée ? 2. Déterminer la forme quadratique q associée à f dans la base B: 3. Décomposer q en somme de carrés indépendants. Préciser la signature et le rang de q: 4. Déterminer une base de E orthogonale pour f (ou q);et préciser l’expression de q dans cette base. 5. Soit "1 = e1 ; "2 = 2e1 + e2 ; "3 = 3e1 + 2e2 + e3 : Déterminer la matrice de f dans la base B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) : Exercice 3 Soit E = M2 (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux à coe¢ cients réels muni de " sa base # canonique " B =#(E1 ; E2 ;"E3 ; E4 )# " # 1 0 0 1 0 0 0 0 où : E1 = ; E2 = ; E3 = ; E4 = : 0 0 0 0 1 0 0 1 1. Soit ' : E E ! R dé…nie par : 1 ' (A; B) = [(trA) (trB) tr (AB)] ; 8 (A; B) 2 E E: 2 a) Montrer que ' est une forme bilinéaire symétrique. b) Déterminer la matrice de ' dans la base B:Montrer que ' est non dégénerée. 2. a) Rappeler pourquoi l’on a A2 (trA) A + (det A) I2 = 0 pour tout A 2 E: b) Déduire de a) que la forme quadratique q associée à ' est donnée par : q (A) = det A pour tout A 2 E:Quel est l’ensemble des éléments isotropes pour q? c) Démontrer la relation suivante : (trA) (trB) tr (AB) = det (A + B) det A 1 det B , 8 (A; B) 2 E E: 2 0 0 0 3 1 7 6 6 0 0 1 0 7 7: 6 3. On appelle M la matrice M = 6 1 0 0 7 5 4 0 1 0 0 0 4 Trouver une base de R formée de vecteurs propres de M; et montrer qu’on peut la choisir orthonormale (pour le produit scalaire canonique de R4 ): Déterminer la signature de q. Exercice 4 Soit E un espace vectoriel de base B = (e1 ; e2 ; e3 ) :On considère la forme quadratique q sur E dé…nie par : 3 P x= xi ei 7 ! q (x) = x21 + 5x22 + 5x23 4x1 x2 4x1 x3 + 6x2 x3 : i=1 1.Dé…nir la forme polaire associée à q:Ecrire la matrice A de 2. Préciser la signature et le rang de q:La forme dans la base B: est-elle dégénerée ? 3. Déterminer une base ("1 ; "2 ; "3 ) de E orthogonale pour , et préciser l’expression de q dans cette base. 4. Déterminer une base E ? : Déterminer le noyau de et un vecteur de E isotrope pour : 5. Soit u un endomorphisme de E et ' une forme bilinéaire symétrique non dégénerée tels que 8 (x; y) 2 E 2 (x; y) = ' (u (x) ; y) : a) Déterminer la matrice A de u dans la base B en fonction des matrices M de et N de ' dans cette même base. b) Montrer que les vecteurs propres de u associés à des valeurs propres de u sont orthogonaux pour et ' à la fois. Exercice 5 Soit E = C ([ 1; 1] ; R) structuré enZespace préhilbertien réel à l’aide du produit scalaire 1 1 (f; g) 2 E E 7 !< f; g >= f (x) g (x) dx: 2 1 Pour i = 0; 3 on considère le polynôme Pi (x) = xi : 1. Montrer que fP0 ; P1 ; P2 g est une famille libre mais non orthogonale de E: 2. Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par P0 ; P1 et P2 : a) Construire par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt, une base orthonormée fQ0 ; Q1 ; Q2 g de F: b) Soit P3 la projection orthogonale de P3 sur F . Exprimer P3 dans la base fQ0 ; Q1 ; Q2 g de F , et calculer la distance de P3 à F: Exercice 6 Soit Mn (R) muni du produit scalaire :(M; N ) 7 !< M; N >= tr (t M N ). tr est la trace d’une matrice et (t M ) est la transpoée de M . 1. Montrer que (: j :) est un produit scalaire sur Mn (R), l’ensemble des matrices réelles carrées d’ordre n, E = Mn (R). 2. Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V1 des matrices diagonales de 2 Mn (R) : 3. a) Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel V2 des matrices scalaires de Mn (R) : b) Etant donné M 2 Mn (R) ; trouver la projection orthogonale de M sur V2 et sur V2? : Exercice 7 Soit E = R2 [x] l’espace vectoriel réel des polynômes de degré 2: On munit E du produit scalaire suivant :Z 1 (P; Q) 2 E E 7 !< P; Q >= P (x) Q (x) dx: 0 Soit u l’endomorphisme de E dé…ni par 8P 2 E; u (P ) = P 0 : Déterminer l’endomorphisme adjoint u de u relativement au produit scalaire < :; : > : Préciser u (P ) lorsque P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Exercice 8 Soit (E; < :; : >) un espace euclidien et u un endomorphisme orthogonal de E: 1. Véri…er que les seules valeurs propres réelles possibles de u sont 1 et 1: 2. On suppose dim E impair. a) Montrer que si det u = 1; alors u admet la valeur propre 1 avec un ordre de multiplicité impair. b) Montrer que si det u = 1; alors u admet la valeur propre -1 avec un ordre de multiplicité impair. 3. On suppose dim E pair. a) Donner un exemple où det u = 1 et où ni b) Montrer que si det u = 1 ni 1 ne sont valeurs propres de u: 1; alors u admet les valeurs propres 1 et 1 avec des ordres de multiplicité impairs. Exercice 9 I. Soit R3 structuré en espace euclidien réel à l’aide du produit scalaire usuel. On considère une rotation de R3 ; c’est-à-dire un automorphisme orthogonal u de R3 de déterminant égal à 1: On suppose u 6= idR3 : 1. Montrer que l’ensemble D des points invariants par u est une droite vectorielle (D est dit axe de rotation). Soit P le plan vectoriel orthogonal à D: Montrer que P est stable par u et que la restriction de u à P est une rotation (P est dit plan de rotation). 2. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) de R3 avec "1 ; "2 2 P et "3 2 D: En déduire que le cosinus de l’angle de la rotation induite sur P par u est donné par 1 cos = (tru 1) : 2 II.On suppose maintenant que u est une symétrie de R3 ; c’est-à-dire un automorphisme orthogonal u de R3 de déterminant égal à 1 et u 6= idR3 : 1. Montrer que l’ensemble des x 2 R3 véri…ant u (x) = x est une droite vectorielle. Soit P le plan vectoriel orthogonal à D: Montrer que P est stable par u et que la 3 restriction de u à P est une rotation. 2. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée B 0 = ("1 ; "2 ; "3 ) de R3 avec "1 ; "2 2 P et "3 2 D: En déduire que u est la composée d’une symétrie orthogonale et d’une rotation dont le 1 cosinus de l’angle est donné par cos = (tru + 1) : 2 Exercice 10 Dans R3 euclidien, on considère les endomorphismes u et v dont les matrice dans la base canonique sont 3 : 2 p p p 3 0 1 0 2+ 3 2 2 3 6 7 6 p p p 7 1 U =6 V = 6 0 1 7 2 2 3 2 7: 4 0 5; 44 p p p 5 1 0 0 2 3 2 2+ 3 Précicer la nature de u et v ainsi que leurs éléments caractéristiques. 2 4