Histoire du Logarithme Népérien Act. Frédéric MAURIN, 26 juin 2020 Au xviie siècle, le développement de l'astronomie, le désir de plus en plus grand de précision, les découvertes des lois expérimentales de Kepler intensient le besoin de faciliter les calculs. La multiplication et surtout la division restent des opérations ardues, l'extraction de racines carrées plus dicile encore, bien évidemment. On connaissait toutefois bien un moyen de remplacer une multiplication par une addition, appelé prosthaphérèse et qui revient à faire : cos(a) × cos(b) = 1 (cos(a + b) + cos(a − b)). 2 Cette relation avait été découverte par l'astronome arabe Ibn-Yanus, aux environs de l'an 1000. Tycho Brahé fut le premier astronome latin à en faire usage, mais sans la communiquer à d'autres. 1 John Napier ou Neper (1550-1617) Pour la postérité, ce sont deux traités sur les logarithmes de ce propriétaire terrien écossais qui feront sa gloire. Il édite lui-même son premier traité en 1614 : Mirici Logarithmorum canonis descriptio . Le second traité, posthume, est édité par son ls en 1619 : Mirici Logarithmorum canonis constructio . En fait, le constructio a été écrit plusieurs années avant le descriptio et c'est dans le descriptio que sont expliqués les principes qui ont permis la construction des tables et qui nous éclairent sur sa pensée. Ses motivations sont clairement expliquées dans la préface de son traité de 1614 : Très illustre amateur de mathématiques, comme rien n'est aussi pénible que la pratique des mathématiques, parce que la logistique est d'autant plus freinée, retardée que les multiplications, les divisions, et les extractions de racines carrées ou cubiques portent sur des grands nombres ; qu'elle est soumise à l'ennui de longues opérations et beaucoup plus encore à l'incertitude des erreurs, j'ai entrepris de rechercher par quel procédé sûr et rapide on pourrait éloigner ces obstacles. Dans ce but, j'en ai examiné soigneusementune grande quantité, les uns après les autres, et enn j'en ai trouvé plus d'un, clair et d'un emploi facile . . . À la vérité, aucun, parmi les autres, n'est plus utile que l'un deux ; par son moyen, on rejette les nombres utilisés dans les multiplications, les divisions et les extractions de racines lorsqu'elles sont diciles et prolixes, et on les remplace par d'autres nombres, que j'ai pris soin de leur adjoindre, et l'on achève le calcul par des additions, des soustractions, des divisions par deux et par trois seulement . . . Il m'a plu de communiquer son usage au monde des mathématiciens. 2 Après Neper . . . En 1615, le professeur de mathématiques Henri Briggs (1561 - 1630) vient voir Napier en Écosse et leurs discussions conduisent à la construction par Briggs d'une table de logarithmes améliorés pour laquelle le logarithme de 1 est égal à zéro et le logarithme de 10 est égal à 1. Les tables de logarithmes ont eu rapidement un grand succès auprès de tous les calculateurs et donnèrent lieu à de nombreuses publications dans le courant du xviie siècle. Leur usage s'est répandu 1 dans la marine en particulier, la navigation étant basée sur l'observation des astres et nécessitant de ce fait des calculs astronomiques . Pour calculer leur position et leur route maritime, les navigateurs devaient eectuer des opérations assez précises et très longues. Grâce aux tables, une multiplication se ramenait à un relevé de logarithmes, à leur addition puis, par lecture inverse, on obtenait le résultat. Un calcul d'une heure pouvait dorénavant s'eectuer en quelques minutes. L'emploi des tables de log et des règles à calcul a duré jusqu'à l'apparition récente de la microinformatique, dans les années 1970. Les plus âgés d'entre nous ont utilisé ces tables. Établir des tables susamment précises nécessitait un travail acharné de plusieurs années. Exemple de méthode utilisée : Sachant que log(10) = 1, alors log(100) = 2, log(1000) = 3 et 1, 5 = √ 1 1 × 3 = log(1000) = log(10001/2) = log( 1000). 2 2 √ On calculait (à la main) 1000 ' 31, 62277 et on obtenait une nouvelle valeur : log(31, 62277) = 1, 5. La table publiée par Briggs en 1624 donnait les logarithmes des entiers de 1 à 100 000, avec une précision atteignant la 14ème décimale ! 3 Approche mathématique On cherche une fonction φ qui transforme un produit en somme, c'est-à-dire telle que : Pour tout x et y , on a : φ(xy) = φ(x) + φ(y). 1 Montrer que φ(1) = 0. 1 x 2 Montrer que pour tout x 6= 0, on a : φ( ) = −φ(x). x y 3 Montrer que pour tout x, y avec y 6= 0, on a : φ( ) = φ(x) − φ(y). 4 Montrer que pour tout x et tout n ∈ Z, on a : φ(xn ) = nφ(x). √ 1 2 5 Montrer que pour tout x, on a : φ( x) = φ(x). On suppose de plus, que la fonction φ est dérivable. Montrer que φ0 (x) = Définition k avec k ∈ R. x Logarithme népérien On dénit la fonction logarithme népérien comme étant la fonction ln dénie de R∗+ dans R telle que : ( ∀ x, y ∈ R∗+ , ln (xy) = ln (x) + ln (y) 1 ∀ x ∈ R∗+ , ln0 (x) = x 2
