000000000000000000000000F-CALCUL ECONOMIQUE-Investissement-Financement

CALCUL ECONOMIQUE
(deuxième partie)
INVESTISSEMENT ET FINANCEMENT
Ecole des Mines de Paris
MATTHIEU GLACHANT
BLANCHE SEGRESTIN
DANIEL FIXARI
INVESTISSEMENT ET FINANCEMENT
PLAN DU POLY
1. Investir ou prêter – emprunter pour investir (la
Valeur Actuelle Nette (VAN) = le profit actualisé, le
TRI)
2. Sélection d'investissements en concurrence (profit
par franc investi, temps de retour)
3. Problèmes de durée et de dates
4. L'interdépendance des investissements
5. La décentralisation des choix d'investissements
6. La prise en compte du risque
LES SEPT SEANCES
• 5 séances sur les chapitres 1-4 (cours+exos)
• 2 séances sur la prise en compte du risque (chapitre 6)
avec un conférencier extérieur
INVESTIR
Exemple : construire une nouvelle usine pour augmenter sa
capacité de production de chaussures
=>
• Un coût d'investissement immédiat
• Un flux futur de coûts et de bénéfices (lié à l'augmentation
du chiffre d'affaires sur le marché de la chaussure). Le flux
futur = le cash flow (= l'épargne brute)
(Cash flow = recette des ventes - coûts matières premières –
coût personnel – frais financiers – impôts – dividendes)
LA DECISION D'INVESTISSEMENT :
LES 2 PROBLEMES A RESOUDRE
(1) Prédire/évaluer le cash flow futur.
(2) Evaluer la rentabilité de l'investissement = comparer le
cash flow avec la dépense d'investissement
(1) est le plus difficile et n'est pas traité dans le cours. On
considère que le cash flow est connu sous la forme d'une
distribution de probabilités
(2) est le sujet du cours. Le critère "réalisation de
l'investissement si dépense < Σcash flow" n'est pas adéquat car
- la dépense est immédiate et les bénéfices sont futurs
- la dépense est certaine et les bénéfices sont risqués
• Dans chapitres 1-5 du poly, on évacue le second problème
en utilisant l'espérance statistique de cash flow (=>
transforme le cash flow en équivalent certain)
• Le risque : traitée par le chapitre 6
LE CRITERE DE LA VALEUR ACTUELLE NETTE
• gagner 10 euros aujourd'hui > gagner 10 euros
dans un an
• Notation : un investissement d'un montant I dans un
projet de durée N années qui génère un cash flow Bn
en fin d’année n
1.
La Valeur Actuelle Nette (VAN, NPV) de
l'investissement = le Profit actualisé :
 N
Bn

VAN = ∑
n

+
(1
)
a
 n =1

 −I


Si VAN > 0, l'investissement est rentable
• a = taux d'actualisation (reflète le coût d'attendre un
an)
• a a des liens très étroits avec le taux d'intérêt sur le
marché des emprunts
SCENARIO DE REFERENCE : PRET D’UNE
FORTUNE INITIALE
• Point de départ : l'investisseur a une fortune I
(=autofinancement) => son choix = prêter ou investir?
• Prêter la somme I pendant N années au taux d'intérêt i
• Notation
I = fortune initiale, prêt sur N années
En = échéance en fin d’année n
Cn = capital restant dû en début d’année n
On a :
Cn+1 = (1+i).Cn – En
=>
et
0 = CN+1 = (1+i).CN – EN
CN = (1+i).CN-1 – EN-1
=>
0 = (1+i)2CN-1 – (EN + (1+i)EN-1)
etc. jusqu'à C1 = I
=>
N
0 = I(1 + i ) − ∑ En (1 + i)N −n
N
1
FORMULE FONDAMENTALE DU PRET
En
I=∑
n
1 (1 + i)
N
Relation entre le montant, le taux, les échéances et la
durée
FORTUNE FINALE DU PRETEUR ?
• Supposons qu'il n'y a qu'une échéance finale EN (càd
E1=….=EN-1=0)
=>
F = EN= I(1+i)N
• S'il y a des échéances intermédiaires, F est toujours
égale à I(1+i)N car le prêteur fait "travailler" l'argent
qui rentre en la prêtant à nouveau au taux i.
LE SCENARIO "INVESTISSEMENT"
• On investit la somme I dans un projet de durée N, qui
rapporte un bénéfice Bn chaque fin d’année n
• les Bn sont placés au taux i dès l’année (n+1)
• F' = fortune finale de l'investisseur
=>
F’= ∑Bn( 1+i)N-n
Investissement ssi :
N
F '− F = −I (1 + i )N + ∑ Bn (1 + i )N −n
1
N


n

= (1 + i ) −I + ∑ Bn /(1 + i )


1


= (1 + i )N .VAN (i ) > 0
N
Bn
VAN = − I + ∑
n >0
1 (1 + i)
N
• Rapport entre le taux d'actualisation a et le taux
d'intérêt i : dépend du contexte financier général;
mais très souvent on peut les assimiler
GENERALISATION A L’EMPRUNT
2. Scénario prêt => I = 0 (fortune initiale de
l'investisseur = 0)
• Scénario investissement :
F’’= ∑Bn( 1+i)N-n - ∑En( 1+i)N-n
=>
F’’- 0 = VAN(i).( 1+i)N = F' - F
Donc, le critère du profit actualisé valable ∀ le mode de
financement de l’investissement
Hypothèse centrale : le marché du capital est parfait
(pas de limite à l'emprunt)
TAUX DE RENTABILITE INTERNE (TRI)
Critère : Investissement si TRI > taux d'intérêt du
marché
le TRI = la racine x = j du polynôme :
N
VAN(x) = − I + ∑
1
Bn
n
(1 + x)
=0
Intuition : Les Bn sont équivalents aux échéances d’un
prêt de montant I dont le taux d’intérêt j serait tel que :
0=
−I + ∑1N
Bn
(1 + j)n
=> TRI = taux du prêt à la rentabilité équivalente à celle
de l'investissement
GRAPHIQUEMENT
VAN(x)
-I + ∑ Bn
P
i
-I
j
x
TAUX INFLATION ≠ TAUX D'ACTUALISATION
• « francs constants » : évaluation en francs d’aujourd’hui
• « francs courants » : évaluation qui croît avec
l’inflation
B'n en francs constants et Bn en francs courants:
Bn
B' n =
n
(1 + f )
(f n'a rien à voir avec un taux d'actualisation)
• Le profit actualisé (VAN) en francs constants:
N
B'n(1 + f )n
B'n
VAN = − I + ∑
= −I + ∑
n
n
(1 + i )
1
1 (1 + i')
N
avec i’ le taux d’intérêt réel :
1+ i
1 + i' =
1+ f
INVESTISSEMENTS EN CONCURRENCE
3. La VAN est le critère adéquat, le TRI pose problème
- les deux critères peuvent
interprétations divergentes.
donner
des
- le critère du TRI tend à favoriser le court terme :
l’échéancier des flux joue alors un rôle important.
Voir section 1 partie II du poly (p 74)
GRAPHIQUEMENT
P(x)
Zone de
divergence
Zone de
convergence (TRI ÙP)
P1
P2
j2
i
-I2
j
j1
-I1
•
j=
le taux de rentabilité de l'investissement
différentiel (I1 – I2)
• Choisir I1 (avec un "sur investissement" I1 – I2) si
j >i
x
LE BIAIS DU TRI
• favorise le court terme
Intuition :
• 2 opportunités de placement aux taux j1 et j2
supérieures à i le taux habituel du marché
• Avantage de ces opportunités est fonction de j1 et j2
mais aussi du poids des échéances tardives (prolonge
la valorisation aux taux j1 ou j2)
=> L'échéancier des bénéfices est crucial
INVESTISSEMENT AVEC PLAFONNEMEND DES
SOMMES INVESTIS (S)
• Problème : choisir parmi K investissements indicés
par k sachant qu'ils ont tous une VAN positive mais
qu'il y a un plafond < somme des investissements
• Théoriquement :
Max ∑ xk VANk, avec xk = 0,1
sous la contrainte
∑ x k Ik < S
avec xk = 1 si investissement k est réalisé (sinon 0)
VANk est la VAN de l'investissement k
• Pratiquement choix entre des programmes
compatibles se fait, de manière heuristique, en
sélectionnant les investissements de plus grand
VANk/Ik
= > Critère du Profit par Euro Investi
• Plus fiable quand grand nb investissements
LE TEMPS DE RETOUR
• Programme d'investissements = séquence
d'investissements)
• Quand la somme des investissements S est plafonnée,
les Bn sont réinvestis (et non plus seulement placés)
car ils permettent de nouveaux investissements.
=> Plus les Bn sont disponibles rapidement, mieux
c’est.
=> Critère du temps de retour actualisé = T:
Bn
0 = −I + ∑
n
(1
+
i)
1
T
• Critère très utilisé
• Variante : le temps de retour non actualisé
T
0 = −I + ∑ Bn
1
VAN
TRI
projets indépendants
>0
>i
projets incompatibles
max
rationnement en capital
max
sous
contrainte
VAN/I
T
heuristique
max
max
CAS DES BENEFICES CONSTANTS
• Quand il y a rationnement du capital :
Profit par franc investi <=> TRI <=> temps de retour
Démonstration : voir poly p 78
INVESTISSEMENTS DE DUREES DIFFERENTES
LE PROBLEME: Soient I1 et I2, de durées
différentes N1 et N2 avec N1<N2 . On a VAN du
projet 1 : P1 ; VAN du projet 2 : P2
Peut-on utiliser la VAN pour comparer leur
rentabilité?
• Un premier raisonnement (faux) : A la date N1,
on place la fortune finale F1 au taux i :
F1( 1+i)N2-N1 = P1(1+i)N1 (1+i)N2-N1 = P1(1+i)N2
Comme F2 = P2(1+i)N2, on peut continuer à utiliser P1
et P2
FAUX : dans un contexte industriel, on réinvestit à la
date N1 (= nouveau cycle d'investissement) => on gagne
plus qu'en plaçant sur le marché financier
Second raisonnement : On intègre le renouvellement
de l'investissement => A la date N1, on réinvestit à
nouveau I1 et on compare des programmes de durée
identique
• Cas particulier : si N2 = 2N1, on compare alors P2
à P1 + P1/(1+i) N1
• Si N1 et N2 sont quelconques, le plus simple =
comparer des programmes de durée infinie :
∞
1
P1
P1 = P1 ∑
kN 1 =
1
k = 0 (1 + i )
1−
(1 + i )N 1
P2
P2 =
1
1−
(1 + i )N 2
UN INVESTISSEMENT A DUREE INDETERMINEE
= Optimiser un programme d'investissements où les
dates de renouvellement sont à déterminer
=> en plus : la détermination de la durée optimale
de chaque cycle d'investissement
LES INVESTISSEMENTS PEUVENT ETRE PROGRESSIFS
• Investissements immatériels préalables (R&D)
• Échelonnement des projets et des dépenses
d'investissement
• Location de l'équipement
Pas de pb avec la VAN :
N
Rn − Dn
P =∑
n
(1
)
i
+
0
avec :
Rn = recettes
Dn= dépenses totales (investissement+fonctionnement)
et R0 – D0 = I = investissement initial
Similaire au cas classique :
N
Bn
Rn − dn
P == − I + ∑
n = −I + ∑
n
(1
+
i)
(1
+
i)
1
1
N
avec dn = dépenses de fonctionnement
CAS PARTICULIER DE LA LOCATION DES
EQUIPEMENTS
• Loyer L => Dépenses annuelles = dépenses de
fonctionnement + loyer => Dn = dn + L :
• Equivalent de louer ou d'acheter si les VAN sont
identiques :
−I + ∑
N
1
Rn − dn
N Rn − dn − L
n = ∑1
(1 + i)
(1 + i) n
=>
I =
N
∑1
1 N
1+i
1−(
L
n = L⋅
(1 + i )
i
• C'est la technique de l'annuité équivalente : on
remplace I par un loyer fictif => on remplace la
dépense d'investissement par une "dépense constante
équivalente" ou "amortissement économique"
)
DELAIS DE PAIEMENT
• Dans les entreprises, ∃ 1 délai entre l'achat (ou la
vente) d'un bien et le paiement des factures (30, 60,
ou 90 jours) => un crédit gratuit du fournisseur
• Au démarrage de l'investissement, l'entreprise subit
un délai de paiement des clients de durée t :
t
N
I
temps
t
• Par rapport au scénario sans délai de paiement :
R
perte = ∑ 1
n
(1 + i)
R
N+t
gain = ∑ N +1
(1 + i) n
t
=> perte > gain => Bilan négatif
(un bénéfice est amputée des 2/3 sur 10 ans actualisé à
10%)
TECHNIQUE DE L'INVESTISSEMENT
COMPLEMENTAIRE
Pour le calcul de P, on se ramène à un paiement au
comptant en introduisant l'investissement complémentaire, payé comptant et revendu à la date N :
Ic = ∑
=>
t
1
R
(1 + i) n
T=0 : Ic
T= N : Ic/(1+i)N
Ic = un type particulier de fonds de roulement
Exemple :
Entreprise de service (bcp de main d'œuvre) (Ic>0)↔
Grande distribution, assurance (Ic<0)
CREATION DE STOCKS
• ∃ délais de fabrication et de vente => stocks de
produits semi-finis et finis)
• ∃ stocks divers de sécurité (= risque de rupture de
stocks)
=> L'investissement complémentaire (= stocks matières
premières, de produits finis) permet de raisonner sans
constitution de stocks
• Comment évaluer ces stocks ?
• Stock matières premières = évaluation fondée
sur prix d'achat
• Stock produits finis = coût de production si
production > vente mais prix de vente si cas
contraire (ventes perdues pendant constitution
du stock)
• Stock produits semi finis = recettes perdues
pendant le remplissage du tuyau que constitue
le processus de production
CAS D'UN STOCK DE MP CONSTITUE EN MEME
TEMPS QUE LA PRODUCTION
12 mois
Cn = coût achat MP
dn = dépense de fonctionnement
Rn = recette vente produit
Cn
N Rn − dn
P = −I
+ ∑1
n
(1 + i)
(1 + i) n
N Rn − dn
= −(I + Ic) + ∑1
n
(1 + i)
− ∑12
1
avec
Ic =
∑12
1
Cn
(1 + i)n
CAS D'UN STOCK DE PRODUITS FINIS
CONSTITUE AVANT LA VENTE (PENDANT UN AN)
12 mois
dn = dépense de fonctionnement
Rn = recette vente produit
dn
N Rn − dn
P = −I
+ ∑12
n
(1 + i)
(1 + i)n
N Rn − dn
= −(I + Ic) + ∑1
n
(1 + i)
− ∑12
1
avec :
Ic =
12
∑1
Rn
(1 + i)n
(Recette non réalisée)
CAS D'UN STOCK DE PRODUITS FINIS CONSTITUE
PENDANT LA VENTE (PENDANT 1 AN)
12 mois
Rn = recette vente produit
dn = dépense de fonctionnement associée
d'n = dépense de fonctionnement pour constitué le stock
N Rn − dn
d 'n
P = −I − ∑ 1
n + ∑1
(1 + i )
(1 + i )n
N Rn − dn
= −(I + Ic ) + ∑ 1
(1 + i )n
12
avec
Ic =
∑12
1
d' n
n
(1 + i)
L'INTERDEPENDANCE DES
INVESTISSEMENTS D'UNE ENTREPRISE
• Impôts sur les bénéfices => interdépendance
fiscale
• (Interdépendances industrielles et fiscales)
• La rentabilité comptable
• Les ratios financiers
UN COMPTE DE RESULTAT
Décrit les flux
Charges
Charges d'exploitation :
- Achats (hors investissement)
- Salaires + charges sociales
- Achat services extérieurs
- Baisse de stocks MP
Dotation aux amortissements
(= I/N*)
Charges financières
Impôt sur les bénéfices
Résultat (net)
Produits
Produit d'exploitation
- Production vendue
- Augment. stocks de
=> ∆ =P–C = Excédent
produits finis
Brut d'exploitation
=> ∆ = Résultat d'exploitation
=>∆ = Résultat avant
impôt
=>∆ = Résultat net
AMORTISSEMENT COMPTABLE
• L'investissement est considéré comme un stock,
pas un flux => n'apparaît pas directement dans le
compte de résultat
• Amortissement annuel de l'investissement I :
An = I / N*
avec N* = durée de l'amortissement, fixée par des
normes comptables
(cas amortissement linéaire)
• Dans le compte de résultat, l'amortissement décrit
l'usure de l'investissement (un facteur d'obsolescence)
LE BILAN
Description des stocks à une date donnée (fin de
l'année) = compte de patrimoine
Actif
(Emplois)
Passif
(Ressources)
Immobilisations :
Immobilisations brutes
- amortissements
= Immobilisations nettes
Fonds propres
-Capital social
-Réserves (= résultat net dividendes)
Actif circulant
- stocks et en-cours
- créances clients
- caisse
Dettes LT
Dettes CT (emprunts
bancaires à moins d'un
an)
Dettes fournisseurs
Besoin en Fonds de Roulement = BFDR
= Stocks + créances + caisse – dettes fournisseurs
<=> investissements complémentaires
AMORTISSEMENT COMPTABLE (SUITE)
• Un investissement au début année 1
• Fin année 1 : Immo brutes = Investissement = I =>
Immo nettes = I – I/N*
• Fin année 2 : Immo brutes = Immo nettes de l'année
1 = I – I/N*=> Immo nettes = I – 2I/N*
….
• Fin année N*¨: Immo nettes = I – (N*I)/N* = 0
(l'investissement est "usé"=> il ne "vaut" plus rien dans
le bilan)
LE RESULTAT D'UNE ENTREPRISE MONOINVESTISSEMENT
Avant impôt :
Rn = Bn – An – CFn = Bn – I/N* – CFn
Avec :
Rn= résultat avant impôt
Bn = EBE
An = amortissement comptable
I = investissement
N* = durée de l'amortissement comptable (une
convention)
CFn = charges financières
Après impôt :
Impôt sur les "bénéfices" au taux x = xRn
=> le bénéfice annuel net d'impôt d'un investis-sement :
B*n
= Bn –xRn ≠ Bn
= (1-x)Bn + xAn + x.CFn
Il faut calculer la VAN avec
B*n
= (1-x)Bn + xAn + x.CFn
• Impôt sur les bénéfices =>
1) Ì Bn (EBE)
2) Ê d'un terme xAn= xI/N*. On a
N*
∑ An = I mais
1
l'actualisation conduit à préférer un amortissement
accéléré
3) Ê d'un terme xCFn => on emprunte à un taux
(1-x)i (i = taux d'intérêt marché)
LE CAS DE L'ENTREPRISE MULTIINVESTISSEMENTS
≠ entreprise mono-investissement si :
• Le résultat était positif et devient négatif
• Le résultats etait négatif et devient positif
Impôt différentiel d'un investissement = l'effet fiscal
de l'investissement = impôt total avec l'investissement impôt sans l'inv't
INTERDEPENDANCES INDUSTRIELLES ET
COMMERCIALES
• Le cas des frais généraux :
Tout dépend de l'état de saturation des moyens
• L'effet d'un investissement sur une gamme de
produit
• L'effet d'un investissement sur la productivité des
investissements déjà réalisés
LA RENTABILITE COMPTABLE DES
INVESTISSEMENTS
• Le critère du résultat comptable
• Le Return On Capital Employed (ROCE)
Point de départ : les capitaux investis = Cn + BFDRn
avec :
k
Cn = I − ∑ I / N * = I − kAn = immo nettes
1
(k = durée écoulée depuis la réalisation de
l'investissement)
BFDRn = Besoin en Fonds de Roulement
• Définition du ROCE = Rn/(Cn+BFDRn)
Avec
Rn = résultat net
<=> rentabilité des capitaux investis
LES RATIOS FINANCIERS
• La question : le coût du financement
• La notion d'autofinancement :
• Cash Flow = Excédent Brut d'Exploitation – Charges
financières – Impôts sur les bénéfices - dividendes
= l'argent disponible une fois rémunéré tout le
monde (fournisseurs, salariés, Etat, actionnaires,
banques, etc…)
• Terminologie : Cash Flow <=> Epargne brute <=>
Capacité d'autofinancement
• Ratio
= cash flow / Σ investissements
globaux réalisés l'année n
= % des investissements autofinancés
=> détermine le besoin d'endettement
Critère : on fixe un plancher à l'auto-financement
AUTRES CRITERES
• Différence
= cash flow – annuités d'emprunt
=> Capacité à financer des investissements ultérieurs
Critère : le cash flow doit être supérieur au (double) de
l'annuité de remboursement
• Ratio = Charges financières / chiffre
d'affaires
Critère : ratio inférieur à (5 %)
RATIOS D'ENDETTEMENT
• Endettement de court terme : sert à couvrir les trous
de trésorerie et à financer en partie le BFDR
Critère : dettes CT inférieures à la (moitié) du BFDR
• Endettement de long terme
Critère : dettes LT inférieures au (double) des fonds
propres
UN EXEMPLE D'ENTREPRISE
Son compte de résultat
Charges
Produits
50
Achat
55
Personnel
-0,5
Stocks MP
10
Dotation amort
Charges financières. 10
0
Impôts bénéfice
Ventes
Stocks PF
118
1,5
=> Résultat = - 5
Son bilan
Actif
Passif
Immo. brutes = 130
-Amort. = 40
Immo nettes
Stocks
Clients
Caisse
Fonds propres
50
Dettes LT
Fournisseurs
Dettes CT
40
8
35
90
8
30
5
ANALYSE FINANCIERE
• EBE = 15
• BFDR = 35
• ROCE = non pertinent (résultat négatif)
• Cash flow = Cap. Autofinancement = 5
• Endettement CT (35) = 100% BFDR (35)
(L'endettement court terme est très fort, supérieur à
50%)
• Endettement LT (40) = 80% fonds propres (50)
(endettement LT pas supérieur à 2 x fonds propres =
pas de pb d'endettement long terme)
• Ratio = CF / ventes = 8,4%
(supérieur à 5% = pb de coût de financement)
• Solution : Redressement par l'investissement (car
marge de manœuvre sur dettes LT)
Investissement de 8MF, bénéfices annuels de 4MF,
amorti en 8 ans, financé à 50 % par emprunt (8 ans
à 10%), 50% par apport de capital
Tableau de financement
Emplois
Ressources
Investissements 8
Cash flow = 5
BFDR
Cessions d'immobilisations 0
0
Rembours't dettes CT 5
Apport de capital 4
Nouvelles dettes LT 4
Un extrait du bilan qui permet de se concentrer sur les
aspects de financement des investissements
LA DECENTRALISATION DES CHOIX
D'INVESTISSEMENT
• Tout ne peut pas être décidé en haut =>
décentralisation
• Quels investissements décentraliser ? Les types
d'investissement :
- Par montant
- Par nature : (i) amélioration locale de la
productivité d'une production donnée, (ii)
augmentation de la capacité de production d'une
production donnée, (iii) création d'une capacité
de production pour un nouveau produit, (iv)
dépense de R&D
Les derniers types engagent le long terme de l'entreprise
(être sur quels marchés ? Avec quelle part de marché ?)
=> moins décentralisable
• Investissements décentralisés : critères simples
(temps de retour, TRI, VAN) sans prise en compte
interdépendances financières ou fiscales avec
encadrement du siège via des enveloppes max
d'investissement, un tri final, ou des seuils minimaux
de rentabilité
RAISONNEMENT PAR PORTEFEUILLE
D'ACTIVITES
Question : Au niveau du siège, comment arbitrer entre
les activités ?
Exemple : la matrice stratégique BCG ("Boston
Consulting Group")
Part de marché relative
Croissance marché
Faible
Forte
Forte
Dilemme
Étoile
Faible
Poids mort
Vache à lait
• Peu de besoin d'investissement : vaches à lait, poids
morts
• Gros besoin : Etoile, et éventuellement les dilemmes
LES PROJETS RISQUES = EXEMPLES
• Exploitation minière :
Une compagnie qui possède un droit d'exploitation sur un
site :
¾ Faut-il l’exploiter ou non ?
¾ Des relevés géologiques indiquent une quantité
8 Faut-il faire des forages préliminaires, qui peuvent
être coûteux et pas forcément entièrement fiables ?
• Le lancement d'un nouveau produit :
¾ Faut-il lancer un produit développé en interne ou
vendre le brevet ?
8 Le marché accessible est incertain,
8 La concurrence est inconnue
¾ Faut-il lancer des études intermédiaires pour évaluer le
marché ? A quel coût ?
QUEL CRITERE MAXIMISER LORSQU'IL Y A DES
INCERTITUDES SUR LES RESULTATS DES
DECISIONS ?
Critère classique : l'espérance mathématique
Ex: Un projet pour explorer un gisement d’hydrocarbure
coûte 100M € et la probabilité de trouver un gisement
exploitable est de 20%.
En cas de succès, deux possibilités équiprobables :
- le gisement est moyen (P= 400M€)
- ou important (P= 750M€).
Au total, la moyenne de P est :
0,8(0-100) + 0,1(400-100) +0,1(750-100)= 1,5M€
C’est l’espérance mathématique du revenu actualisé
(on y tendrait si on pouvait réitérer la loterie un très
grand nombre de fois)
PROBLEMES
• Difficulté de quantifier de manière fiable les
probabilités d’occurrence de certains événements
• Lorsqu’on ne dispose pas de probabilités par
l’expérience, on utilise des probabilités subjectives
(par opposition à des probas objectives)
• Distinction risque et incertitude :
- Risque : La liste des évènements possibles est
connu => probabilisable
- Incertitude : L'ensemble des évènements
possibles n'est pas connu => non probabilisable
• Enfin, le problème majeur : ne donne aucun coût
au risque
MESURER LE RISQUE
• Soit 2 projets, avec cash flows Bj équiprobables
selon les états de la nature :
+400k€
+250k€
+300k€
+150k€
+200k€
+100k€
0 k€
+150k€
+50k€
-100k€
PROJET A
PROJET B
Plus la dispersion des résultats possibles est grande, plus
le projet est risqué.
• Pour une même espérance, on préfère le projet
dont la variance est moindre : projet A
Var (Bj) = E(B-E(B))²
=> AVERSION AU RISQUE
D'AUTRES CRITERES SONT POSSIBLES
• Critères de prudence = donne un coût implicite au
risque (= aversion au risque)
• Le "Maximin " = Critère de WALD =
maximisation du gain minimal
Exemple: Temps de trajet
décision
trafic fluide trafic dense
gde route
20'
60'
petite route
45'
50'
=> On prend la petite route
• Le "Minimax regret" = Critère de SAVAGE =
minimiser le regret maximal
Matrice des regrets
décision
trafic fluide trafic dense
Gde route
0
10
petite route
25
0
=> On prend la grande route
DIMINUER (OU GERER) LE RISQUE
Solution 1: La diversification du portefeuille
Deux projets A et B
Valeur
TB
B
Maussade
Mauvais
proba
0.1
0.2
0.3
0.4
P(A)
150
100
50
0
P(B)
-50
0
50
100
P(C=½A+½B)
50
50
50
50
(Illustration = les sociétés d'assurance)
DIMINUER (OU GERER) LE RISQUE
Solution 2: La flexibilité
• Exemple :
Une entreprise envisage de remplacer une machine (A)
achetée l’an dernier par une nouvelle (B)
Prix d'achat
Durée de vie
Coût production
Prix de vente du
produit
Vente annuelle
espérée (risqué)
Machine A
8000
8 ans (-1)
0,38
0,5
Machine B
14000
7 ans
0,35
0,5
100 000
100 000
• La machine A peut être reprise à 7000€ par le
vendeur de la machine B.
• La vente annuelle de 100 000 distribuée comme suit :
- V1 = 190 000 avec p1= 0,2
- V2 = 100 000 avec p2 = 0,3
- V3 = 64 000 avec p3= 0,5
=> les capacités peuvent être insuffisantes !
• Calcul de la VAN
- L'investissement initial = Io= 14 000- 7000 = 7000
- les 3 scénarios de production :
- Production P1 = 100 000 avec p1= 0,2 (<V1)
- Production P2 = 100 000 avec p2 = 0,3
- Production P3 = 64 000 avec p3= 0,5
=>
Une VAN = p1VAN1 + p2VAN2 + p3VAN3 = 4975
(Il faut calculer E[VAN (P)] et pas VAN [E(P)] )
• Faut-il conserver la machine A pour faire face à
l'éventuel pic de production ?
On doit comparer
le prix de reprise (7000€)
le fait de générer du cash flow avec la
vente de 90000 unités supplémentaires avec
une probabilité de 0,2 pendant 7 ans (8551€).
=>
On garde la machine A
<=>
« Option de changer la capacité de production ».
• CONCLUSION : La flexibilité peut être valorisée dès
lors qu’il y a de l’incertitude.
DIMINUER (OU GERER) LE RISQUE (3)
Solution 3: Collecter de l'information avant de
prendre une décision définitive
• Pour analyser rigoureusement ces contextes
informationnels évolutifs (= info dynamique) : Les
arbres décisions-hasard
• Exemple d’un forage pétrolier
- Un puits d’exploration peut se révéler de manière
équiprobable être un gisement moyen ou bon :
R1 = -150 ou R2 = 500.
=>
A priori, E(R) = 0,5*(500-150) = 125
- Est-il intéressant de forer un petit puits qui coûte 50
pour réduire l’incertitude ?
• L’exploration peut avoir 2 résultats : présomption
d’un bon gisement ou d’un gisement faible :
- E1 = présomption d'un mauvais gisement
- E2 = présomption d'un bon gisement.
• Les géologues peuvent estimer la probabilité
conditionnelle de Ei sachant Rj = p(Ei | Rj) :
R1
0,95
0,05
E1
E2
R2
0,2
0,8
• Les décisions ( ) doivent prendre en compte les aléas
(€) affectant les résultats
R1
Expl.
E1
R2
Non expl.
R1
-
Expl.
E2
Non expl.
R2
On a:
p(E1)= p (E1| R1)p(R1) + p (E1| R2)p(R2) = 0,575
De plus, la Loi de Bayes permet d'écrire :
p(R1| E1)= p (E1| R1)p(R1) / p(E1) = 0,82
De même :
p(E2)= p (E2| R1)p(R1) + p (E2| R2)p(R2) = 0,425
etc.
• Au final, on obtient les probas de Ri conditionné
sur Ei (proba de Ri sachant Ei)
R1
R2
E1
0,82
0,18
E2
0,06
0,94
• On peut alors évaluer les gains espérés:
On en déduit que si le résultat du forage est E1, alors
on ne développera pas, sinon on développera:
0.82
Expl.
0.18
E1
Non expl.
-
0.06
Expl.
E2
0.94
R1 = -150 => E(R1) = -123
R2 = 500 => E(R2) =
90
- 33
R1 = -150 => E(R1) = - 9
R2 = 500 => E(R2) = 470
Non expl.
+ 461
• Espérance de gain est accrue :
- Sans forage préalable, VAN = 125
- Avec forage, VAN = - 50 + (0.575*0)+(0.425*461)= 146