Cours des intégrales sup cpge

Cours de Mathématiques
Intégration sur un intervalle quelconque
Sommaire
Intégration sur un intervalle
quelconque
Sommaire
I
Intégrabilité des fonctions positives . . . . . . . . . . . .
I.1
Définition de l’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Propriétés de l’intégrale des fonctions positives . . . . . .
I.3
Opérations sur les fonctions intégrables positives . . . . .
II
Fonctions intégrables à valeurs complexes . . . . . . . . .
II.1
Notations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2
Intégrabilité d’une fonction à valeurs réelles ou complexes
II.3
Utilisation des intégrales de Riemann . . . . . . . . . . .
II.4
Intégrale des fonctions à valeurs réelles ou complexes . . .
II.5
Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.6
Notation définitive de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . .
II.7
Extension de la notion d’intégrale . . . . . . . . . . . . .
III Convergences de suites de fonctions intégrables . . . . .
III.1 Convergence en moyenne ou en moyenne quadratique . .
III.2 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . .
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Cours de Mathématiques
Intégration sur un intervalle quelconque
Partie I : Intégrabilité des fonctions positives
I
Intégrabilité des fonctions positives
On considère des applications définies sur un intervalle I de IR, à valeurs dans IK (IR ou C).
l
On note Cm (I, IK) l’ensemble des applications continues par morceaux de I dans IK.
Z
Dans ce chapitre, on cherche à étendre la signification du symbole f quand l’intervalle I n’est
I
pas un segment ou quand l’application f n’est pas bornée.
Dans ce paragraphe on considère des applications f de I dans IR+ .
I.1
Définition de l’intégrabilité
Définition
Soit f un élément de Cm (I, IR+ ). On dit que f est intégrable ou encore
Z sommable sur I s’il
existe un réel M ≥ 0 tel que pour tout sous-segment J de I, on ait :
f ≤ M.
J
Z
Z
On note alors f la borne supérieure des
f , pour tous les sous-segments J de I.
I
J
Z
La quantité positive ou nulle f est appelée intégrale de f sur l’intervalle I.
I
Notation
On note L1 (I, IR+ ) l’ensemble des fonctions intégrables de I dans IR+ .
Exemples
– L’application x 7→ f (x) = e
−x
+
est intégrable sur IR et
Z
f = 1.
Z
1
– L’application x 7→ f (x) = √ est intégrable sur I =]0, 1] et
f = 2.
x
]0,1]
Z
1
– L’application x 7→ f (x) =
est intégrable sur IR et
f = π.
1 + x2
IR
IR+
Remarques
– Supposons que l’intervalle I soit réduit à un point a.
Alors toute application f définie en a est intégrable sur I = {a} et d’intégrale nulle...
– Supposons que I soit un segment [a, b] et que f soit continue par morceaux sur I.
Z
Le chapitre “intégration et dérivation” nous a déjà permis de donner un sens à
f.
[a,b]
L’application f est bien
Z sûr intégrable sur [a, b] au sens de la définition précédente, et la
valeur de son intégrale
f ne change pas !
[a,b]
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie I : Intégrabilité des fonctions positives
I.2
Propriétés de l’intégrale des fonctions positives
Proposition (Intégrabilité par réunion croissante)
Soit f un élément de Cm (I, IR+ ).
On suppose qu’il existe une suite croissante
[ (Jn )n≥0 de sous-segments de I tels que :
– L’intervalle I est la réunion des Jn :
Jn = J (on dit que la suite (Jn ) est exhaustive.)
Z
Z
n∈IN
+
– La suite
f
est majorée : il existe M dans IR tel que
f ≤ M pour tout n.
n≥0
Z
Z
Jn
Jn
Alors l’application f est intégrable sur I et on a : f = sup
f.
I
n∈IN
Jn
Remarques
Z
– Réciproquement, si f est intégrable sur I, alors on a l’égalité
Z
f = sup
I
n∈IN
f pour toute
Kn
suite (Kn )n≥0 (croissante et exhaustive) de sous-segments de I.
– Notons a et b les extrémités gauche et droite de I avec −∞ ≤ a < b ≤ +∞.
f est intégrable sur I ⇔ il existe une suite
(an ) décroissante de limite
(bn )
Z
Z a, et une suite
Z
croissante de limite b, telles que la suite
f converge. On a alors : f = lim
f.
[an ,bn ]
I
n→+∞
[an ,bn ]
Proposition (Intégrabilité par partition de l’intervalle)
Soit f un élément de Cm (I, IR+ ).
Soit c un élément de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[.
L’application f est intégrable sur I ⇔ elle l’est sur Ig et sur Id .
Z
Z
Z
On a alors l’égalité : f =
f+
f.
I
Ig
Id
Conséquence
– Supposons par exemple que l’application f soit continue par morceaux sur IR+∗ .
+∗
Alors f est intégrable
Z sur IR Z ⇔ elle Zl’est sur ]0, 1] et sur [1, +∞[.
Dans ce cas on a :
f=
f+
f.
IR+∗
]0,1]
[1,+∞[
+
– Soit f un élément de Cm ([a, b[, IR ), avec a < b ≤ +∞ (le “problème” est donc en b).
Soit c un élément de [a, b[. L’application f est donc continue par morceaux sur [a, c].
Dans ces conditions,Z f est intégrable
sur
Z
Z [a, b[ ⇔ elle l’est sur [c, b[.
On a alors l’égalité
f=
[a,b[
f+
[a,c]
f.
[c,b[
– De même, supposons que f soit continue par morceaux sur ]a, b] (le “problème” est en a.)
Soit c un élément deZ ]a, b] : fZest intégrable
sur ]a, b] ⇔ elle l’est sur ]a, c].
Z
On a alors l’égalité
f=
f+
f.
]a,b]
]a,c]
[c,b]
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie I : Intégrabilité des fonctions positives
Proposition (Intégrabilité par translation de l’intervalle)
Soit f un élément Cm (I, IR+ ).
Soient α un réel et J l’intervalle se déduisant de I par la translation x → x + α.
Soit g l’application définie sur J par : ∀x ∈ J, g(x) = f (x − α).
Z
Z
g = f.
Alors g est continue par morceaux sur J, intégrable, et
J
I
Exemples
Z
Z
1
1
√ = 2.
g=
– L’application g : x 7→ √
est intégrable sur ]1, 2] et
x
x−1
]1,2]
]0,1]
Le changement de variable x → x + 1 a permis ici de se ramener “à l’origine”.
Proposition (Intégrabilité par utilisation d’une primitive)
Soit f un élément de Cm ([a, b[, IR+ ), avec a < b ≤ ∞.
Z
Soit F la primitive de f qui s’annule en a : ∀x ∈ [a, b[, F (x) =
x
f (t) dt.
a
Alors f est intégrable sur I = [a, b[ ⇔ F (qui est croissante) est majorée.
Z
On a alors : f = sup F (x) = lim F (x).
I
x→b
x∈I
Remarques
– On a un résultat analogue si f appartient à Cm (]a, b], IR+ ), avec −∞ ≤ a < b.
Z b
En effet, soit G : x →
f (t) dt. On a G0 (x) = −f (x) ≤ 0 sur I =]a, b] et G(b) = 0.
x
L’application G est donc décroissante sur I =]a, b].
Z
Alors f est intégrable ⇔ G est majorée, et on a : f = sup G(x) = lim G(x).
I
x∈I
x→a
– Une conséquence des deux résultats précédents est que si l’application f est continue par
morceaux sur [a, b] (donc intégrable sur ce segment) alors elle est intégrable sur chacun des
intervalles [a, b[, ]a, b] et ]a, b[, l’intégrale de f restant la même.
Les intégrales de Riemann
1
– L’application f : x 7→ α est intégrable sur ]0, 1] ⇔ α < 1.
x
1
– L’application f : x 7→ α est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si α > 1.
x
1
– Plus généralement, considérons l’application g : x 7→
.
x |ln x|β
i 1i
L’application g est intégrable sur 0, , ou sur ]2, +∞[, si et seulement si β > 1.
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Cours de Mathématiques
Intégration sur un intervalle quelconque
Partie I : Intégrabilité des fonctions positives
I.3
Opérations sur les fonctions intégrables positives
Proposition (Additivité de l’intégrale)
Soient f et g deux éléments de L1 (I, IR+ ).
Z
Alors l’application f + g est intégrable sur I et :
Z
Z
(f + g) =
f+
I
I
g.
I
Proposition (Produit par un réel positif)
Soit f un élément de L1 (I, IR+ ), et soit λ un Zréel positif.
Z
Alors l’application λf est intégrable sur I et λf = λ f .
I
I
Proposition (Positivité de l’intégrale)
Z
+
Soit f une application intégrable de I dans IR . On sait que f ≥ 0.
I
Z
Si de plus f est continue, alors : f = 0 ⇔ f est l’application nulle sur I.
I
Proposition (Croissance de l’intégrale)
Soit f et g deux applications de I dans IR, continues par morceaux.
On suppose que pour tout x de I, on a l’inégalité : 0 ≤ f (x) ≤ g(x).
Z
Z
Si g est intégrable sur I alors f est intégrable sur I et f ≤ g.
I
I
Proposition Comparaison d’une série et d’une intégrale
Soit f une application de IR+ dans IR+ , continue par morceaux et décroissante.
Z n
Alors la série de terme général wn =
f (t) dt − f (n) est convergente.
n−1
P
En particulier, la série
f (n) converge ⇔ f est intégrable sur IR+ .
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie II : Fonctions intégrables à valeurs complexes
II
Fonctions intégrables à valeurs complexes
Dans ce paragraphe, I est un intervalle de IR, et IK désigne IR ou C.
l
II.1
Notations préliminaires
Applications |f |, Re f et Im f .
– Soit f une application définie sur l’intervalle I, à valeurs dans IK.
On définit les applications |f |, Re f et Im f de la manière suivante :
∀x ∈ I, |f | (x) = |f (x)| , (Re f )(x) = Re f (x), (Im f )(x) = Im f (x).
– Si f est continue par morceaux sur I, alors |f |, Re (f ) et Im (f ) le sont aussi.
Applications f + et f − .
– Soit f une application définie sur l’intervalle I, à valeurs réelles.
On définit les applications f + et f − de la manière suivante :
∀x ∈ I, f + (x) = max (f (x), 0) et f − (x) = max (−f (x), 0).
On vérifie alors les égalités f = f + − f − et |f | = f + + f − .
– L’application f est continue par morceaux sur I ⇔ f + et f − le sont.
II.2
Intégrabilité d’une fonction à valeurs réelles ou complexes
Définition
Soit f une application de I dans IK, continue par morceaux.
On dit que f est intégrable sur I si l’application |f | est intégrable.
Notation
On note L1 (I, IK) l’ensemble des applications intégrables sur I et à valeurs dans IK.
Proposition
L’ensemble L1 (I, IK) est muni d’une structure d’espace vectoriel sur IK.
Proposition (Intégrabilité par domination)
Soit f : I → IK une application continue par morceaux.
Soit ϕ : I → IR+ une application intégrable. On suppose que |f | ≤ ϕ sur I.
Alors l’application f est intégrable sur I.
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie II : Fonctions intégrables à valeurs complexes
Conséquences
Soient f et g deux applications de I = [a, b[ dans IK, continues par morceaux.
– Si g est intégrable sur [a, b[, et si f = Ob (g), alors f est intégrable sur [a, b[.
– On suppose que les applications f et g sont équivalentes au voisinage de b.
Alors f est intégrable sur [a, b[ ⇔ g est intégrable sur [a, b[.
II.3
Utilisation des intégrales de Riemann
Intégrabilité sur ]a, b]
Soient a et b deux nombres réels, avec a < b.
Soit f une application de ]a, b] dans IK, continue par morceaux (le “problème” est en a.)
– Si (x − a)α f (x) reste borné au voisinage de a avec α < 1, alors f est intégrable sur ]a, b].
C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)α f (x) = 0 (toujours avec α < 1).
x→a
√
Exemple : l’application x 7→ ln x est intégrable sur ]0, 1] car lim+ x ln x = 0.
x→0
– Si |(x − a)f (x)| ≥ M > 0 au voisinage de a, alors f n’est pas intégrable sur ]a, b].
C’est le cas en particulier si lim+ (x − a)f (x) = λ 6= 0.
x→a
Exemple : l’application f : x 7→
ln x
n’est pas intégrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = ∞.
x→0
x
Intégrabilité sur [a, +∞[
Soient a un nombre réel, et f une application de [a, +∞[ dans IK, continue par morceaux.
– Si xα f (x) reste borné au voisinage de +∞ avec α > 1, alors f est intégrable sur [a, +∞[.
C’est le cas en particulier si lim xα f (x) = 0 (toujours avec α > 1).
x→+∞
√
− x
Exemple : l’application x 7→ e
est intégrable sur IR+ car lim x2 e−
√
x
= 0.
x→+∞
– Si |xf (x)| ≥ M > 0 au voisinage de +∞, alors f n’est pas intégrable sur [a, +∞[.
C’est le cas en particulier si lim xf (x) = λ 6= 0.
x→+∞
Exemple : l’application x 7→
tanh x
n’est pas intégrable sur [1, +∞[ car lim xf (x) = 1.
x→+∞
x
Intégrales de Bertrand
Soient α et β deux réels, et soit f l’application définie sur IR+∗ − {1} par f (x) =
1
.
xα lnβ x
– f est intégrable sur ]0, 12 ] ⇔ (α < 1) ou (α = 1, β > 1).
– f est intégrable sur [2, +∞[ ⇔ (α > 1) ou (α = 1, β > 1).
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie II : Fonctions intégrables à valeurs complexes
II.4
Intégrale des fonctions à valeurs réelles ou complexes
On a défini ce qu’est une fonction intégrable sur un intervalle I de IR et à valeurs dans IK, mais
on n’a pas encore défini ce qu’on appelle l’intégrale sur I d’une telle fonction.
Proposition et définition (fonctions à valeurs réelles)
Soit f une application définie sur I à valeurs dans IR, continue par morceaux.
L’application f est intégrable sur I ⇔ f + et f − sont intégrables sur I.
Z
Z
Z
+
On pose alors f = f − f − .
I
I
I
Z
Z
Z
+
Dans ces conditions, on a l’égalité : |f | = f + f − .
I
I
I
Proposition et définition (fonctions à valeurs complexes)
Soit f une application définie sur I à valeurs dans C,
l continue par morceaux.
L’application f est intégrable sur I ⇔ Re (f ) et Im (f ) sont intégrables sur I.
Z
Z
Z
On pose alors f = Re f + i Im f .
I
I
I
Remarques
– Si I = {a}, toute application définie en a est intégrable sur I = {a} et d’intégrale nulle...
– Si f est continue par morceaux de [a, b] dans IK, elle est intégrable sur [a, b] et son intégrale
coı̈ncide avec la valeur obtenue dans le chapitre “intégration et dérivation”.
II.5
Propriétés de l’intégrale
Proposition (Linéarité de l’intégrale)
Soient f et g deux applications intégrables de I dans IK.
Soient α et β deux scalaires. On sait déjà que αf + βg est intégrable sur I.
Z
Z
Z
De plus on a l’égalité : (αf + βg) = α f + β g.
I
I
J
Proposition (Inégalité de la valeur absolue)
Z
Z
f ≤
Soit f une application intégrable de I dans IK. Alors on a l’inégalité :
I
|f |.
I
Proposition (Utilisation d’une suite exhaustive de sous-segments)
Soit f une application intégrable de I dans IK.
Z
Z
[
Soit (Jn ) une suite croissante de segments telle que I =
Jn . Alors f = lim
n≥0
I
n→+∞
f.
Jn
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie II : Fonctions intégrables à valeurs complexes
Exemple
ln x
sur IR+∗ . L’application f est continue sur IR+∗ .
1 + x2
√
Elle est intégrable sur ]0, 1] car lim+ xf (x) = 0, et sur [1, +∞[ car lim x3/2 f (x) = 0.
x→+∞
x→0
Z
On vérifie que pour tout n de IN∗ , on a
f = 0 (changement de variable t = n1 .)
[1/n,n]
Z
+∗
1
La suite des Jn = [ n , n] est exhaustive dans IR . On en déduit le résultat :
f = 0.
On définit f : x 7→ f (x) =
IR∗
Proposition (Utilisation d’une partition de l’intervalle)
Soit f une application de I dans IK, continue par morceaux.
Soit c un élément de I. Notons Ig = I ∩ ] − ∞, c] et Id = I ∩ [c, +∞[.
Z
Z
Z
f est intégrable sur I ⇔ elle l’est sur Ig et sur Id . On a alors : f =
f+
f.
I
Propriétés diverses
– Intégrale de la conjuguée d’une application
Soit f : I → Cl une application intégrable. Soit
Z
¯
Alors f est intégrable sur I et on a l’égalité :
Ig
Id
f¯ : I → Cl définie par f¯(x) = f (x).
Z
¯
f = f.
I
I
– Intégrale sur un sous-intervalle
Soit f une application intégrable de I dans IK, et J un sous-intervalle
n de I.
1 si x ∈ J
On note χJ la fonction caractéristique
.
Z
Zde J, définie par : χJ (x) = 0 si x ∈
/J
Alors f est intégrable sur J et
f = (χJ f ).
J
I
– Applications “nulles presque partout”
Soit f une application de I dans IK.
On suppose que f est nulle sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Alors f est intégrable sur I et son intégrale sur cet intervalle est nulle.
– Applications “égales presque partout”
Soient f et g deux applications de I dans IK, l’application f étant intégrable.
Z
Si g ne diffère de f qu’en un nombre fini de points, alors g est intégrable sur I et
g=
I
II.6
Z
f.
I
Notation définitive de l’intégrale
Notation
Soit f une application intégrable de I =]a, b[ dans IK, avec −∞ ≤ a < b ≤ ∞.
Z b
Z
Z a
Z
On note
f=
f . De même on pose
f =−
f.
a
]a,b[
b
]a,b[
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie II : Fonctions intégrables à valeurs complexes
Remarques
Z c
– Pour tout c où f est définie, on convient que
f = 0.
c
Z b
Z b
– On note fréquemment
f (x) dx (x ou toute variable “muette”) plutôt que
f.
a
a
Cette notation est bien adaptée aux différentes méthodes de calcul des intégrales (en particulier le calcul par changement de variable.)
Proposition (relation de Chasles)
Z
Si f est intégrable sur ]a, b[ et si a < c < b, alors
b
Z
f=
c
b
Z
f+
a
a
f.
c
Plus généralement, si f est intégrable sur un intervalle I, cette relation reste vraie pour
trois points quelconques a, b, c de I (deux d’entre eux pouvant être les extrémités de I).
Proposition (Calcul d’une intégrale par changement de variable)
Soient I et J deux intervalles ouverts, et ϕ un C 1 -difféomorphisme de J sur I.
Soit f une application de I dans IK, continue par morceaux.
L’application f est intégrable sur I ⇔ l’application ϕ0 f ◦ ϕ est intégrable sur I.
Z
Z
Dans ce cas, on a l’égalité : f = |ϕ0 | f ◦ ϕ.
I
J
Z ϕ(b)
Z b
Pour tous éléments a et b de J, on peut alors écrire :
f (x) dx =
ϕ0 (t)f (ϕ(t)) dt.
ϕ(a)
a
1
Exemple
Soit ϕ le C ∞ -difféomorphisme de IR+∗ défini par ϕ(t) = .
t
Z
+∞
Le changement de variable x = ϕ(t) permet de constater que
0
II.7
ln x
dx = 0.
1 + x2
Extension de la notion d’intégrale
Soit f une application de [a, b[ dans IK, continue par morceaux.
Z x
Soit F l’application définie sur [a, b[ par : ∀x ≥ a, F (x) =
f (t) dt.
a
Il se peut que f ne soit pas intégrable sur [a, b[, mais que F possède une limite finie en b.
Z b
Dans ce cas cette limite est encore notée (mais de façon impropre)
f (t) dt.
a
Exemple
sin x
– On vérifie que l’application f : x →
n’est pas intégrable sur IR+ .
x
Z x
sin t
π
– Pourtant on montre que lim
dt = .
x→+∞ 0
t
2
Z +∞
sin t
π
– On notera donc
dt = (mais on parle d’intégrale impropre.)
t
2
0
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie III : Convergences de suites de fonctions intégrables
III
Convergences de suites de fonctions intégrables
III.1
Convergence en moyenne ou en moyenne quadratique
Proposition et définition
L’ensemble des fonctions continues
et intégrables sur I est un espace vectoriel.
Z
L’application f 7→ N (f ) = |f | est une norme sur cet espace vectoriel.
I
On l’appelle la norme de la convergence en moyenne.
Définition
Soit f une application de I dans IK, continue par morceaux.
On dit que f est de carré intégrable sur I si |f |2 est une fonction intégrable sur I.
On note L2 (I, IK) l’ensemble des fonctions de carré intégrable sur I.
Propriétés
– Si f et g sont dans L2 (I, IK), alors leur produit f g est dans L1 (I, IK).
– L’ensemble L2 (I, IK) est un sous-espace vectoriel de Cm (I, IK).
Proposition et définition
L’ensemble des fonctions continues et de carré intégrable sur I est un espace vectoriel.
Z
L’application (f, g) 7→ < f, g > = f¯g est un produit scalaire sur cet espace vectoriel.
I
1/2
Z
2
La norme déduite de ce produit scalaire est définie par N2 (f ) =
|f |
.
I
On l’appelle norme de la convergence en moyenne quadratique.
Proposition
Soient f et g deux applications continues et de carré intégrable sur I.
Alors on a les inégalités : |< f, g >| ≤ N1 (f g) ≤ N2 (f ) N2 (g) (Cauchy-Schwarz).
Conséquence
Le produit scalaire est une application continue pour N2 . Autrement dit :
Si lim fn = f et lim gn = g (au sens de la norme N2 ), alors lim < fn , gn > = < f, g >.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
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Cours de Mathématiques
Intégration sur un intervalle quelconque
Partie III : Convergences de suites de fonctions intégrables
III.2
Théorèmes de convergence
Théorème (Théorème de convergence monotone)
Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions intégrables de I dans IR.
On suppose que cette suite est croissante : ∀n ∈ IN, ∀x ∈ I, fn (x) ≤ fn+1 (x).
On suppose en outre que (fn )n≥0 converge simplement sur I vers f continue par morceaux.
Z
fn
est majorée.
Alors l’application f est intégrable sur I ⇔ la suite
I
Z
Zn≥0
Dans ces conditions, on a l’égalité : f = sup fn = lim
fn .
n∈IN
I
n→+∞
I
Proposition (Interversion d’une série et d’une intégrale)
Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions intégrables de I dans IK.
P
On suppose que fn est simplement convergente sur I, de somme S continue par morceaux.
Z
On suppose en outre que la série de terme général |fn | est convergente.
I
Z
∞
∞ Z
X
X
Alors S est intégrable sur I. De plus on a : N1 (S) ≤
N1 (fn ) et S =
fn .
I
n=0
n=0
I
Remarque
Ce résultat donne donc
Z X
∞
I
fn =
n=0
∞ Z
X
n=0
fn avec des hypothèses de convergence simple.
I
On n’omettra cependant pas de vérifier la convergence de la série
+∞ Z
X
n=0
|fn |.
I
Théorème (Théorème de convergence dominée)
Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions intégrables de I dans IK.
On suppose que cette suite est simplement convergente sur I vers une application f continue
par morceaux.
On suppose qu’il existe ϕ : I → IR+ , intégrable et telle que : ∀n ∈ IN, ∀x ∈ I, |fn (x)| ≤ ϕ(x).
Z
Z
fn .
Alors l’application f est intégrable sur I et f = lim
I
n→+∞
I
Remarque
Z
Ce résultat donne donc
Z
lim f = lim
I n→+∞
n→+∞
fn avec des hypothèses de convergence simple.
I
Mais on n’oubliera pas l’hypothèse de domination : ∀n ∈ IN, |fn | ≤ ϕ avec ϕ intégrable.
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Intégration sur un intervalle quelconque
Partie IV : Intégrales dépendant d’un paramètre
IV
Intégrales dépendant d’un paramètre
Proposition (Continuité sous le signe intégral)
Soit J un intervalle de IR et a, b deux éléments de IR, avec a < b.
Soit f : (x, t) → f (x, t) une application continue de J × [a, b] dans IK.
On suppose qu’il existe ϕ : [a, b] → IR+ continue intégrable sur [a, b], telle que :
∀x ∈ J, ∀t ∈ [a, b], |f (x, t)| ≤ ϕ(t) (hypothèse de domination).
Z b
On peut alors définir une application g de J dans IK par g(x) =
f (x, t) dt.
a
Cette application est continue sur J.
Remarque
Le résultat précédent est encore valable même si l’hypothèse de domination est seulement
vérifiée sur tout segment de J.
Proposition (Dérivation sous le signe intégral)
Soit J un intervalle de IR et a, b deux éléments de IR, avec a < b.
Soit f : (x, t) → f (x, t) une application continue de J × [a, b] dans IK.
∂f
continue sur J × [a, b].
On suppose que f admet une dérivée partielle
∂x
On suppose qu’il existe ϕ : [a, b] → IR+ et ψ : [a, b] → IR+ , continues intégrables telles que :
∂f
∀x ∈ J, ∀t ∈ [a, b], |f (x, t)| ≤ ϕ(t) et
(x, t) ≤ ψ(t).
∂x
Z b
On peut alors définir une application g de J dans IK par g(x) =
f (x, t) dt.
a
Z b
∂f
1
0
L’application g est de classe C sur J et : ∀x ∈ J, g (x) =
(x, t) dt (Leibniz).
a ∂x
Remarque
Ce résultat reste valable même si les hypothèses de domination ne sont vérifiées que sur tous
les sous-segments de J.
La propriété précédente peut se généraliser au cas d’une application f de classe C k (l’hypothèse de domination doit porter alors sur les dérivées partielles successives de f par rapport
à x.)
Exemple : la fonction “Gamma”
+∗
– La fonction “Gamma” d’Euler est définie sur IR
Z
par Γ(x) =
+∞
tx−1 e−t dt.
0
– Cette application est de classe est C
∞
+∗
sur IR .
– Pour tout réel x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).
– Compte tenu de Γ(1) = 1, on en tire : ∀n ∈ IN, Γ(n + 1) = n!
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