p7-mdpdcmu

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P7 : MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP
MAGNÉTIQUE UNIFORME
I. Compléments mathématiques sur le produit vectoriel :
1. Produit vectoriel de deux vecteurs :
>>⃗ = >𝐮⃗𝚲𝐯>⃗
On appelle produit vectoriel de deux vecteurs >u⃗ et v
>⃗, le vecteur w
>>⃗ tel que 𝐰
>>⃗ :
2. Caractéristique de 𝐰
Direction ⊥ au plan (u
>⃗, >v⃗)
Sens donné par l’une des règles
>>⃗‖ = ‖𝐮
>⃗‖. ‖𝐯>⃗‖. 𝐬𝐢𝐧(𝐮
>⃗, 𝐯>⃗)
Intensité ‖𝐰
Les vecteurs >u⃗, >v⃗ et >w
>>⃗ forment un trièdre direct. Le sens du vecteur >w
>⃗ est donné par l’une des règles
suivantes :
§
Règle de la main droite :
o La main droite suivant u
>⃗
o La paume tournée vers >v⃗
o Le pousse indique le sens de w
>>⃗
§
Règle des 3 doigts de la main droite :
o Le pouce suivant u
>⃗
o L’index suivant >v⃗
o Le majeur indique le sens de >w
>>⃗
3. Quelques propriétés du produit vectoriel :
>⃗
P1 : >𝐮⃗𝚲𝐯>⃗ = −𝐯>⃗𝚲𝐮
>⃗ 𝐨𝐮 𝐯>⃗ = >𝟎⃗ 𝐨𝐮 >𝐮⃗ ∕∕ 𝐯>⃗
>⃗𝚲𝐯>⃗ = 𝟎 𝐬𝐢 𝐮
>⃗ = 𝟎
P2 : 𝐮
P3 : dans un trièdre direct, chaque vecteur est égal au produit vectoriel des deux autres.
⃗
Ø ⃗]𝚲^⃗ = 𝐤
⃗ = ⃗]
Ø ⃗^𝚲𝐤
⃗ 𝚲]⃗ = ⃗^
Ø 𝐤
II. La force de Lorentz :
1. Expression de la force de Lorentz :
Une particule chargée de charge q > 0, animée d’une vitesse 𝑣⃗, pénètre dans une région où règne un
>⃗ uniforme. Elle est soumise à une force magnétique >>>>>⃗
champ magnétique 𝐵
F! appelée force de Lorentz.
>>>>>⃗
>⃗
>⃗𝚲𝐁
Son expression est : 𝐅
𝐦 = 𝐪𝐯
2. Caractéristiques de la force de Lorentz :
Ö Origine : origine des vecteurs >B⃗ et v
>⃗
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2
Ö Sens : donné par la règle de la main droite (*) ou des trois (03) doigts de la main droite (**)
>⃗p
Ö Direction : ⊥ au plan formé par oqv
>⃗, B
>⃗rxsinoqv>⃗, >B⃗p
Ö Intensité : F! = |q|x‖v
>⃗‖xrB
>⃗p = α ⇒ 𝐅𝐦 = |𝐪|𝐯𝐁𝐬𝐢𝐧(𝛂)
En posant oqv>⃗, B
(*) Règle de la main droite :
La main droite est alignée suivant q𝐯>⃗
>⃗
La paume tournée vers 𝐁
Le pouce indique le sens de >>>>>⃗
𝐅𝐦
(**) Règle des trois doigts :
Le pousse suivant q𝐯>⃗
>⃗
L’index suivant 𝐁
>>>>>⃗
Le majeur indique le sens de 𝐅
𝐦
Remarque :
>>⃗ ⨀ : le vecteur champ magnétique est dirigé vers l’avant c’est à dire qu’il est sortant
𝐁
>>⃗ ⊗ : le vecteur champ magnétique est dirigé vers l’arrière c’est-à-dire qu’il est entrant
𝐁
III.Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme :
1. Étude énergétique :
1.1. Puissance de Lorentz :
Par définition, la puissance de la force magnétique d’une particule de charge q, animée d’une vitesse
>>>>>⃗
v
>⃗ est : P = F
>⃗ or >>>>>⃗
F! ⊥ v
>⃗ ⟹ 𝐏 = 𝟎
!. v
1.2. Travail de la force de Lorentz :
P=
W
⟹ W = Px∆t or P = 0 ⟹ 𝐖 = 𝟎
∆t
1.3. Conséquence :
D’après le théorème de l’énergie cinétique :
>>>>>⃗
∆E# = W(F
! ) = 0 ⟹ E# (f) − E# (i) = 0 ⟹ E# (f) = E# (i) = constante ⟹ v = constante
Le champ magnétique ne modifie ni la vitesse ni l’énergie cinétique de la particule chargée. Le
mouvement de cette particule est donc uniforme.
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2. Étude dynamique :
Soit une particule de charge q positive, animée d’une vitesse initiale v>>>⃗,
$ qui pénètre dans une région
où règne un champ magnétique uniforme >B⃗.
o Système : particule
o Référentiel : terrestre supposé galiléen
>⃗ (P
>⃗ négligeable)
>>>>⃗⋀𝐁
o Bilan des forces : >>>>>⃗
𝐅𝐦 = 𝐪𝐯
𝟎
>>>>>⃗
>⃗ = ma>⃗ ⟹ a>⃗ = & v>>>⃗⋀B
>⃗
o T.C.I : F
>⃗ ⟹ qv>>>⃗⋀B
! = ma
$
! $
v>>>⃗ = v$⃗ı
&
&' (
𝐪𝐯 𝐁
>⃗) : † $
Dans le repère (O, ⃗ı, ⃗ȷ , k
⟹ a>⃗ = ! (v$⃗ı)⋀(Bȷ⃗) = !! ⃗ı⋀ȷ⃗ or ⃗ı⋀ȷ⃗ = >⃗
k ⟹ 𝐚>⃗ = 𝐦𝟎 ⃗𝐤
>B⃗ = Bȷ⃗
En norme : 𝐚 =
𝐪𝐯𝟎 𝐁
𝐦
3. Étude cinématique du mouvement :
3.1. Planéité du mouvement :
Déterminons ay :
qv$ B
qv$ B
>⃗
>⃗. ⃗ȷ or >⃗
a, = >a⃗. ⃗ȷ = ˆ
k‰ . ⃗ȷ =
k
k. ⃗ȷ = 0 ⟹ a, = 0
m
m
dv,
a, =
⟹ v, = C- = v$, = 0
dt
dy
v, =
⟹ y = C. = y$ = 0
dt
Y = 0 donc le mouvement de la particule est plan et se déroule dans le plan (OX, OZ)
N.B : Le mouvement est toujours nul suivant l’axe parallèle au champ magnétique >𝐁⃗.
3.2. Nature du mouvement :
On >>>>>⃗
F! = ma>⃗ ⟹ >>>>>⃗
F! //a>⃗ (1)
>>>>>⃗
>⃗ forment un trièdre direct donc F
>>>>>⃗
On sait que F
>>>⃗$ et B
v$ (2)
!, v
! ⊥ >>>⃗
a/ = a
D’après (1) et (2) 𝑎⃗ ⊥ 𝑣
>>>>⃗,
$ ainsi l’accélération est centripète ⟹ • a = 0
0
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𝐚𝐧 = 𝐚, donc le mouvement est circulaire
𝐚𝐭 = 𝟎 ⟹
𝐝𝐯
𝐝𝐭
= 𝟎 ⟹ 𝐯 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞, donc le mouvement de la particule est uniforme
Alors le mouvement de la particule est circulaire et uniforme.
a/ = a ⟹
v$. |q|v$ B
𝐦𝐯𝟎
=
⇒𝐑=
|𝐪|𝐁
R
m
Une particule qui pénètre dans une région où règne un champ magnétique uniforme >>⃗
𝑩 est animée
d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse 𝒗𝟎 et de rayon 𝑹 =
𝒎𝒗𝟎
.
|𝒒|𝑩
Remarques :
| &| (
§
w=
'!
§
T=
.:
§
f = > ⟹ 𝐟 = 𝟐𝛑𝐦
9
;
=
=
-
'!
#$!
|&|'
=
.:
⟹𝐓=
|&|'
#
!
⟹𝐰=
|𝐪|𝐁
𝐦
𝟐𝛑𝐦
|𝐪|𝐁
| 𝐪 |𝐁
IV. Applications :
1. Spectrographe de masse de DEMPSTER :
Un spectrographe de masse de DEMPSTER
permet de séparer des isotopes d’un même
élément chimique ou de trier des ions de
masses différentes. Il comporte trois (03)
parties :
Une chambre d’ionisation : ou on
produit des ions de masses différentes
mais de même charge avec des
vitesses sensiblement nulles.
Une chambre d’accélération : ou les
ions sont accélérés par un champ électrique 𝐸>⃗
>⃗ qui dévie les ions
Une chambre de déviation : ou règne un champ magnétique uniforme 𝐵
suivant une trajectoire circulaire et uniforme.
Des ions dont on veut déterminer la masse ou les séparer sont émis sans vitesse initiale pat la fente
F et arrivent avec une vitesse v
>⃗ à la fente F’.
𝟐𝐪𝐔
.
>>>>>⃗
Théorème de l’énergie cinétique entre F et F’ : . mv . = W?→?A (F
! ) ⟹ . mv = qU ⟹ 𝐯 = Ÿ 𝐦
Les ions pénètrent avec cette vitesse dans le champ magnétique. Ils décrivent une trajectoire
circulaire de rayon R =
!'
&(
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qBR
qBR
q. B . R.
q. B . R. qB . R.
𝐪𝐁 𝟐 𝐑𝟐
.
⟹m=
=
⟹m =
⟹m=
=
⟹𝐦=
2qU
v
2qU
2U
𝟐𝐔
2qU
Ÿ
m
m
𝐪
𝟐𝐔
On en déduit la charge massique : 𝐦 = 𝐁𝟐 𝐑𝟐 , exprimée en C/Kg
Expression du rayon : m =
&() 9)
.D
⟹ R. =
.D!
&()
𝟏
⟹ 𝐑 = 𝐁Ÿ
𝟐𝐦𝐔
𝐪
Pour un élément chimique HGX /± : q = ±ne et m = AxmI
𝐑=
𝟏 𝟐𝐱𝐀𝐱𝐦𝐏 𝐱𝐔
𝟏 𝟐𝐦𝐏 𝐔
¥
⟹𝐑= ¥
𝐱√𝐀
|𝐪|
|𝐪|
𝐁
𝐁
On constate que le rayon est proportionnel au nombre de masse A. Ainsi l’isotope le plus lourd aura
le plus grand rayon. Soient deux isotopes de masses m1 = A1.mP et m2 = A2.mP qui arrivent sur les
collecteurs C1 et C2.
𝐑𝟏 =
𝟏 𝟐𝐦𝟏 𝐔 𝟏 𝟐𝐦𝐏 𝐔
𝟏 𝟐𝐦𝟐 𝐔 𝟏 𝟐𝐦𝐏 𝐔
¥
= ¥
𝐱©𝐀𝟏 𝐞𝐭 𝐑 𝟐 = ¥
= ¥
𝐱©𝐀𝟐
|𝐪|
|𝐪|
|𝐪|
|𝐪|
𝐁
𝐁
𝐁
𝐁
Distance entre les collecteurs C1 et C2 : d = F′C. − F′C- = 2R . − 2R- = 2(R . − R- )
⟹𝐝=
Remarque :
𝐑𝟏
𝐑𝟐
𝐦
L𝐀 𝟏
√ 𝟐
L𝐀 𝟐
= √ 𝐦𝟏 =
𝟐 𝟐𝐔
𝟐 𝟐𝐔𝐦𝐏
¥ 𝐱o©𝐦𝟐 − ©𝐦𝟏 p = ¥
o©𝐀𝟐 − ©𝐀𝟏 p
|𝐪|
𝐁 |𝐪|
𝐁
2. Étude de la déflexion magnétique :
Une particule de masse m et charge q, pénètre
une région où règne un champ magnétique >B⃗
entrant.
>>>>>⃗, >>>⃗
>>>>⃗, CH
>>>>>⃗p = -IA′
L’angle α = oCS
IA®
Pour le triangle CHS : 𝒔𝐢𝐧(𝛂) =
𝐇𝐒
𝓵
Pour le triangle IAA’ : 𝐭𝐚𝐧(𝛂) =
𝐀𝐀A
=𝐑
𝐂𝐒
𝐀𝐈
=
𝐃
𝓵
𝐋U𝟐
𝓵
1ère approximation : 𝓵 <<< 𝐋 ⟹ 𝐋 − 𝟐 ≃ 𝐋
2ème approximation : 𝜶 est très petit (𝛂 < 𝟏𝟎°)
ℓ
⟹ sin(α) = tan(α) ⟹ 9 =
W
X
⟹𝐃=
On en déduit la charge massique :
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| 𝐪|
𝐦
𝓵𝐱𝐋
𝐑
!'
or R = |&|( ⟹ D =
𝐃𝐯
= 𝐁𝓵𝐋 (C/Kg)
ℓZX
#$
|&|'
⟹𝐃=
|𝐪|𝐁𝓵𝐋
𝐦𝐯
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3. Le cyclotron :
Le cyclotron est un accélérateur de particule
chargée. Il comporte deux électrodes creuses en
forme de « D » entre lesquelles est appliquée une
tension alternative de haute fréquence. Les deux
« dés » baignent dans un champ magnétique
>⃗.
uniforme B
Au point O centre du cyclotron se trouve une source
qui fournit des particules qui sont le plus souvent
positives (protons, particules alpha). Ces particules
sont accélérées vers le D supérieur ou il arrive en A
avec une vitesse >>>⃗.
v- Elles décrivent avec cette vitesse constante un demi-cercle. Au moment précis où
elles s’apprêtent à sortir du D supérieur (B), la tension appliquée entre les deux dés a changé de
signe. Les particules sont ainsi accélérées vers le D inférieur ou elles arrivent avec une vitesse v>>>⃗. >
v
>>>⃗.
- Dans le D inférieur les particules décrivent un demi-cercle de rayon supérieur au rayon précédent.
A chaque traversé de l’intervalle entre les deux « dés », la tension appliquée accélère les particules.
Lorsque ces dernières sont à l’intérieur des « dés » elles décrivent des demi-cercles avec des vitesses
de plus en plus grandes donc avec des rayons de plus en plus grands.
Après avoir effectuées plusieurs tours, les particules arrivent à la périphérie des « dés » (rayon R) et
sortent tangentiellement avec une vitesse >V⃗. Elles peuvent alors être utilisées comme des projectiles
corpusculaires de très haute énergie.
𝐪𝐁𝐑 𝐦𝐚𝐱
•
De vitesse 𝐕𝐦𝐚𝐱 =
•
𝟐
D’énergie cinétique : 𝐄𝐜𝐦𝐚𝐱 = 𝟐 𝐦𝐕𝐦𝐚𝐱
=
𝐦
𝟏
𝐪𝟐 𝐁 𝟐 𝐑𝟐𝐦𝐚𝐱
𝟐𝐦
La durée de parcours des demi-cercles est constante et égale à la demi-période :
𝐓
𝐭 = 𝟐 or T =
.:!
|&|(
𝛑𝐦
⟹ 𝐭 = |𝐪|𝐁
4. Filtre de vitesse :
Une
chambre
d'ionisation
produit
des
ions 20Ne+ et 22Ne+ de masses respectives m1et
m2. Le poids est négligeable devant les forces
électromagnétiques et leur mouvement a lieu
dans le vide. Les ions pénètrent avec une vitesse
initiale négligeable dans un accélérateur où ils
sont soumis à un champ électrique uniforme crée
par une tension U0 = VM - VN établie entre 2
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plaques conductrices M et N . On désigne par v1 et v2 les vitesses des ions 20Ne+ et 22Ne+ lors du
passage en O1. charge élémentaire e = 1,6 10-19 C.
1. Représenter sur un schéma le vecteur champ électrique et donner le signe de U0. Justifier.
2. Exprimer la vitesse de l'ion 20Ne+ à la sortie de l'accélérateur en fonction de sa masse et de U0.
3. Calculer cette vitesse si la valeur absolue de la tension vaut 2.104 V; masse atomique molaire de
l'ion 20Ne+ = 0,02 kg.mol-1; nombre d'Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1.
4. Montrer qu'en O1 : m1v1² = m2 v2² ; en déduire la valeur de v2, masse atomique molaire de
l'ion 22Ne+ = 0,022 kg.mol-1.
5. Au-delà de O1 les ions entrent dans un sélecteur de vitesse limité par les plaques P et Q. Dans cette
région ils sont soumis simultanément à un champ électrique uniforme crée par une tension
positive U = VQ - VP et à un champ magnétique perpendiculaire aux vecteurs vitesses et au champ
électrique. Représenter les champs sur un schéma afin que les forces électriques et magnétiques
soient opposées.
6. On règle la tension U de telle façon que le mouvement des ions 20Ne+ soit rectiligne et uniforme de
trajectoire O1O2. Représenter les forces qui agissent sur l'autre ion 22Ne+ ainsi que le vecteur
vitesse v1.
7. Exprimer U en fonction de v1, d (distance des plaques P et Q) et du champ magnétique. Calculer U
si B = 0,1 T et d = 5 cm.
8. Dans quelle direction seront déviés les ions 22Ne+ . Justifier le nom "filtre de vitesse" donné à la
région limitée par P et Q.
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