TD - Probabilité
Exercice 1 :
Dans chacune de situations décrites ci-dessous, énoncer l'événement contraire de
l'événement donné.
1. Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard.
A: « Les deux élèves sont des filles».
2. Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne.
B : « La personne est un homme belge».
3. Au restaurant, Karim prend un plat et un dessert
C : « Karim prend une viande et une glace».
4. A une loterie, Elise achète 3 billets.
D : « L'un des billets au moins est gagnant» ,
E : « Deux billets au maximum sont gagnants».
Exercice 2 :
36 personnes se sont présentées à une collecte de sang. Les groupes sanguins se
répartissent ainsi :
- 22 du groupe O
- 8 du groupe A
- 4 du groupe B
- 2 du groupe AB
On prélève au hasard 3 flacons de sang parmi les 18 prélèvements. Calculez les
probabilités suivantes :
1. Les sangs des 3 flacons sont du même groupe
2. Sur les 3 flacons, un flacon au moins contient du sang du groupe A
3. Les sangs des trois flacons appartiennent à 3 groupes différents.
Exercice 3 :
On lance une campagne de tests pour déceler une maladie M dans une population.
1. Sachant que le test se révèle positif 98 fois sur cent lorsque le sujet est atteint de
la maladie et négatif 95 fois sur cent lorsque celui-ci est sain, quelle est la
probabilité p qu’un individu dont le test se révèle positif doit réellement malade.
On pose x la proportion d’individus qui sont atteints de la maladie M. p est une
fonction qui dépend alors de x : p :x à p(x)
Etudier la fonction p.
Calculer les proportions x1 et x2 pour lesquelles les probabilités sont respectivement de
0,5 et 0,95. Conclure !
Solutions
Solution 1 :
1. L'événement A est« au moins un des deux élèves est un garçon».
2. L'événement B est« La personne est soit une femme, soit un suisse».
3. L'événement C est« Luc ne prend pas de viande ou ne prend pas de glace».
4. L'événement D est« aucun billet n'est gagnant».
5. L'événement E est« les trois billets sont gagnants».
Solution 2 :
Il y a
façons différentes de choisir 3 flacons parmi les 18. Ce sont les combinaisons
de 3 éléments parmi 18.
1. Les trois flacons appartiennent au même groupe. Ce ne peut être que le groupe O
ou le groupe A. Donc on obtient :
façons de choisir 3 flacons parmi les flacons
du groupe O et
façons de choisir 3 flacons parmi les flacons du groupe A.
La probabilité est donc :
2. « au moins 1 » équivaut à « tous moins 0 » soit en probabilité :
il reste en effet le choix de 3 parmi les 14 personnes n’ayant pas le groupe A.
3. Il faut décrire le phénomène de façon exhaustive. On constitue les groupements
suivants : { O,A,B } ;{ O,A,AB } ;{ O,B,AB } ;{ A,B,AB}
On aboutit donc aux calculs suivants :
Solution 3 :
1. Il s’agit de probabilités conditionnelles. Sachant que le test est positif, quelle est
la probabilité que l’individu soit malade. La représentation arborescente permet
de résoudre simplement ces problèmes. On pose M l’événement « l’individu est
malade » Et P l’événement « le test est positif »
On cherche la probabilité :
2. On étudie donc sur [0 ;1] la fonction p définie par :
dont la courbe représentative est un arc d’hyperbole. La fonction est strictement
croissante de [0 ;1] vers [0 ;1]
Conclusion, le test est peu efficace si la proportion d’individus atteints est faible, en
revanche il devient fiable si une proportion importante de la population est malade, en
cas d’épidémie par exemple.
