Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT I. Fiche de TD Page 1 sur 10 liaisons mécaniques1.docx S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Introduction Dans tous les mécanismes, la transmission des efforts en fonctionnement se fait par l’intermédiaire des surfaces de liaisons. Le problème de la détermination des pressions de contact au niveau de ces surfaces est complexe. Il met en jeu leur géométrie et la nature de la déformation des matériaux en présence. En pratique, au bureau d’études, on peut se servir d’un certain nombre de modèles simples qui permettront d’obtenir des résultats dans le cas d’un contact où la surface commune est petite (contact étroit) et dans celui où elle est grande (contact large ou étendu), l’objectif final restant pour le concepteur le dimensionnement des liaisons. II. Le contact étroit : ponctuel ou linéique La théorie de Hertz permet de déterminer : Ø les dimensions de la surface de contact ; Ø le rapprochement des deux solides ; Ø la pression de contact maximale ; Ø les contraintes engendrées en surface et en profondeur. Les résultats de cette théorie ne sont pas sans erreurs, mais ils donnent un ordre d’idée qui permet avec l’expérience de dimensionner les liaisons ponctuelles ou linéiques, et de choisir les matériaux et les traitements thermiques adaptés. Deux solides sont en contact ponctuel ou linéique lorsqu’ils sont tangents en un point ou suivant un segment de droite. Pratiquement, on rencontre ce type de contact : au contact came-poussoir, au contact d’un galet sur un rail, aux appuis des pièces dans les montages d’usinages, dans les engrenages, dans les roues libres, etc. A. Hypothèses On suppose que (figure 1) : Ø l’aire de contact est très petite par rapport aux surfaces latérales respectives des solides en contact ; Ø les rayons de courbures sont connus au point de contact ; Ø les corps sont élastiques, homogènes et isotropes ; Ø la surface de contact est plane ; Ø le contact se fait sans frottement et les solides sont sans mouvement relatif. 𝐹! ! = ! 0 0 𝑍! 0 0 0 !,!,! Les matériaux composant les corps sont caractérisés par leurs modules d’élasticité longitudinale : E1 et E2. B. Les résultats Tout d’abord, rappelons que : Ø la surface de contact appartient au plan tangent (π) des deux surfaces ; elle dépend de la nature des surfaces en contact ; Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Fiche de TD Page 2 sur 10 liaisons mécaniques1.docx Ø le rapprochement δ des deux solides est la différence de distance prise perpendiculairement au plan (π) de deux points situés loin des zones de déformation, entre la position initiale et la position finale ; il dépend lui aussi de la nature des surfaces en contact ; Ø la répartition du champ de pression de contact est modélisée : • de manière uniforme dans le sens de la longueur et selon une demi-ellipse dans le sens de la largeur pour un contact linéique, • selon une demi-ellipse dans n’importe quel sens de regard pour un contact ponctuel (figure 2). On définit : ! ! ! • le rayon de courbure relatif : = ∓ (figures 3 et 4) !! !! signe + pour une tangence extérieure signe – pour une tangence intérieure ; • !! le module d’élasticité E pour les calculs : ! ! = ! ! ! !! + ! !! Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT Fiche de TD Page 3 sur 10 liaisons mécaniques1.docx S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Remarque : On pourrait se demander d’où proviennent les coefficients numériques des relations données ci-­‐dessus, et ce serait tout à fait normal… En toute rigueur, les expressions de la pression maximale et de la géométrie de contact sont plus complexes, elles font apparaître le coefficient de Poisson des 2 matériaux. Type de contact Géométrie du contact Pression maximale Contact Sphère/Sphère ! 3 𝐹 3 ! 4𝐸 ∗ ! 3𝑟! 𝐹 𝑝!"# = = 𝐹 𝑟= 2𝜋𝑟 ! 2𝜋 3𝑟! 4𝐸 ∗ Contact Cylindre/Cylindre 𝑏= 4𝑟! 𝐹 𝜋𝐸 ∗ 𝐿 Avec ∗ 𝐸 = 1 − 𝜈! ! 1 − 𝜈! ! + 𝐸! 𝐸! 𝑝!"# = 2 𝐹 = 𝜋𝑏𝐿 𝐹 𝐸∗ 𝜋𝐿𝑟! !! Mais comme ce coefficient de Poisson est toujours proche de 0,3, on peut simplifier l’expression ci-­‐dessus en prenant 𝜈! = 𝜈! = 𝜈, ce qui donne : 1 1 𝐸 1 = 1 − 𝜈! + ⟹ 𝐸∗ = 𝐸∗ 2 1 − 𝜈! 𝐸! 𝐸! Il suffit alors de remplacer E* par E dans les relations ci-­‐dessus et 𝜈 par 0,3 dans les relations ci-­‐dessus pour retrouver les expressions précédentes… Ouf ! C. Exemples de calcul 1. Cylindres de laminoir Deux cylindres de laminoir (en acier rapide : E = 210000 MPa et ν = 0,3) sont pressés l'un sur l'autre, à l'aide d'une force verticale F = 1000 N. Les 2 cylindres ont une longueur de 800 mm. Le contact de type linéaire est donné par le parallélisme des 2 axes des cylindres. F • • Quelle est la largeur de l'aire de contact ? Que vaut la pression de Hertz ? Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT D. Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Fiche de TD Page 4 sur 10 liaisons mécaniques1.docx S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Les conséquences sur les contraintes engendrées 1. Contraintes en surface En surface, la contrainte normale est égale à la pression de contact. Pour dimensionner et choisir les matériaux devant servir à réaliser les surfaces de contact, la première étape consiste à comparer la pression maximale à la pression admissible par le matériau (fournie par les laboratoires d’essais). 𝑝 𝑚𝑎𝑥𝑖 ≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 Remarque : cette pression admissible s’appelle aussi pression de matage. 2. Valeurs de pressions admissibles Le tableau ci-dessous donne les pressions limites admissibles entre deux pièces mobiles ou en mouvement dans des conditions d’utilisation déterminées. 3. Contraintes en profondeur Une deuxième étape serait de vérifier que les contraintes en profondeur ne dépassent pas les limites admises par le matériau. Nous ne rentrerons pas dans cette étude car elle nécessite des connaissances en mécanique qui sortent du cadre de l’analyse (théorie de l’élasticité et critère de Tresca entre autres). On peut cependant rappeler le résultat ci-dessous définissant la contrainte de cisaillement en profondeur : ! 𝜏!"# = 0.315 ∙ 𝑝!"# et on vérifie que 𝜏!"# < ! !! III. Le contact en grande surface : large ou étendue Lorsque l’étendue de la surface nominale devient importante, le contact entre les pièces se fait de manière aléatoire sur les aspérités. Quantifier avec précision les pressions réelles reste un problème non résolu. Pour pallier ce manque de connaissances, le concepteur du bureau d’études utilise certains modèles simples, la validation de ces résultats se faisant souvent à partir d’essais. Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT A. S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Fiche de TD Page 5 sur 10 liaisons mécaniques1.docx Le premier modèle : pression uniforme 1. Les hypothèses et les résultats Ce modèle suppose que la répartition des pressions de contact est uniforme sur toute la surface de contact. 𝑝 𝑀 = 𝑝! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ceci impose : Ø une géométrie parfaite des surfaces en contact (les défauts macro et micro-géométriques sont négligés) ; Ø des solides indéformables ; Ø une liaison sans jeu ; Ø un mode de chargement qui donne un torseur à résultante parfaitement centré. L’avantage de ce modèle réside dans le fait que la pression p0 se calcule aisément puisqu’elle est égale au quotient de la force appliquée par l’aire de la surface de contact projetée sur un plan perpendiculaire à cette force. 𝑝! = !!/! ! avec S : surface projetée. Pour dimensionner et choisir les matériaux devant servir à réaliser les surfaces de contact, on compare la pression de contact p0 à la pression conventionnelle de matage (fournie par les laboratoires d’essais). 𝑝! ≤ 𝑝!"#"$% (𝑝!"# ) 2. Le cas des paliers lisses Un palier lisse est un organe mécanique dont le rôle est de : – supporter les charges appliquées à un arbre ; – permettre la rotation de l’arbre autour d’un axe fixe. On rencontre deux types de solutions réalisant des liaisons pivot ou pivot glissant. La liaison peut être réalisée à partir de deux paliers « courts » (L/D<0,8 pour chacun des guidages) ou par un palier « long » (L/D>1,5). Si le chargement est centré par rapport au palier considéré1 et que l’on connaît le torseur des actions mécaniques qui transite par ce palier, il est aisé de déterminer la pression en un point M du contact à partir de la relation obtenue précédemment : 𝑝! = Avec F la norme de l’effort radial. 1 𝐹 ≤ 𝑝!"#$%%$&'( 𝐷. 𝐿 Dans le cas contraire, il y aura une répartition de pression qui ne sera malheureusement plus constante… Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT B. Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Fiche de TD Page 6 sur 10 liaisons mécaniques1.docx Le deuxième modèle : la pression fonction de la déformation Ce modèle suppose que l’un ou les deux solides se déforment et qu’il existe une relation entre la déformation δ(M) en un point de la surface de contact et la pression p(M) en ce point. Cette relation s’écrit : 𝑝 𝑀 = 𝐾 ∙ 𝛿(𝑀)! • K : coefficient lié à la rigidité des matériaux en contact. • α : coefficient qui traduit le comportement des matériaux en contact. • α = 1 pour les matériaux métalliques. • α > 1 pour les matières plastiques. Ceci impose que : o les surfaces en contact sont globalement parfaites ; o les solides sont globalement rigides à l’exception de la zone située au voisinage immédiat de la surface de contact ; o la liaison se fait sans ou avec jeu. 1. Cas d’une liaison glissière On ne prend en compte que la déformation locale d’un des deux solides ; ainsi la surface plane avant déformation reste plane après déformation. Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Fiche de TD Page 7 sur 10 liaisons mécaniques1.docx 2. Cas d’une liaison pivot On ne prend en compte que la déformation de l’alésage. Cette hypothèse simplificatrice est pratiquement vérifiée dans le cas des paliers lisses ; la déformation de la surface de contact de l’arbre en acier est négligeable par rapport à celle du palier, en matériau plus tendre. Il est alors nécessaire de définir le champ des déformations. Celui-ci est composé : Ø de la déformation radiale ; Ø de la déformation longitudinale. On note F l’action mécanique radiale transitant par ce palier. Il est possible de supposer que la liaison s’effectue sans jeu et que la répartition de pression est proportionnelle à la déformation sur la surface latérale d’un demi-cylindre. Dans ce cas, la pression en un point M est égale à : 𝑝 = 𝑝! ∙ cos 𝜃 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝! = 𝑝!"# 𝑝!"# = 4𝐹 𝜋𝐷𝐿 La liaison entre l’arbre et le palier se fait avec un jeu. La répartition des pressions de contact radiales est proportionnelle à la déformation sur la surface latérale d’une portion de cylindre d’angle au centre 2 θ0. Dans ce cas, la mise en place du modèle de répartition de pression dépend la déformation de la surface de contact, nous allons modéliser cette déformation afin de connaître plus précisément la répartition de pression de contact. Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Fiche de TD Page 8 sur 10 liaisons mécaniques1.docx On cherche δ(M), la déformation en un point de contact, pour cela, on écrit la fermeture géométrique ci-dessous, puis on la projette dans la base 𝑢, 𝑤, 𝑧 . 𝐵𝑁 + 𝑁𝑀 + 𝑀𝑃 + 𝑃𝐵 = 0 On part du principe que Φ est petit donc que cos 𝜙 ≅ 1 et sin 𝜙 ≅ 𝜙. La projection suivant l’axe 𝑢 donne : δ 𝑀 = 0,5 𝐽 + 2δ!"# cos 𝜃 − 𝐽 Pour 𝜃 = 𝜃! , δ 𝑀! = 0, on en déduit la valeur de δ!"# . δ!"# = 𝐽 1 − cos 𝜃0 2 cos 𝜃0 Cette relation définit l’enfoncement maximal de l’arbre dans la bague en fonction du jeu J et de l’étendue angulaire de la zone de contact. On peut donc en déduire l’effort radial 𝐹 et en déduire la pression maximale de contact en fonction de cet effort radial. 𝑝!"# = 4𝐹 1 − cos 𝜃! 𝐷𝐿 2𝜃! − sin 𝜃! Ces relations permettent de déterminer la pression maximale exercée au sein de la liaison en fonction des caractéristiques dimensionnelles et du chargement afin de vérifier son dimensionnement par un critère de matage. 3. Cas d’une liaison pivot glissant Rappelons que, si le chargement est centré, le calcul se ramène à celui d’un palier court (voir première partie). Si le chargement est excentré, il est nécessaire d’adopter un champ de pressions réparti : – sinusoïdalement en radial ; – linéairement en longitudinal. La figure suivante met en évidence la modélisation adoptée avec les hypothèses suivantes : – jeu nul ; – liaison parfaite ; – torseur d’efforts transmissibles : 𝑍∙𝑧 𝐹!"#$%&'%%'()* ! = 𝑀∙𝑦 On peut obtenir les relations entre les éléments de réduction du torseur d’efforts transmissibles et les pressions extrêmes pe et pf en utilisant les relations permettant de passer d’une modélisation locale à une modélisation globale des actions mécaniques. Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT Fiche de TD Page 9 sur 10 liaisons mécaniques1.docx S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Cela permet alors de déterminer la pression maximale (pe ou pf) en fonction des éléments de réduction du torseur des actions mécaniques transmissibles par le palier et de vérifier le bon dimensionnement de ce palier. 𝑍=− !"# !! !!! ! et 𝑀 = !"! ! !! !!! ! 4. Cas d’une liaison pivot avec frottement Le modèle utilisé dans ce cas est identique au deuxième modèle utilisé précédemment (modèle sans jeu H7 g6 par exemple) avec une répartition sinusoïdale des pressions de contact, nous n’ajoutons qu’une action mécanique élémentaire tangentielle issue de l’application des lois de Coulomb. M dθ y C dSS dz ϕ R dN dT M de=20 C 𝑥⃗ dR dSS z θ l =50 O x Lycée Jules Garnier NOUMÉA C.P.G.E. 2° Année PT Modélisation des liaisons mécaniques Performances énergétiques des liaisons mécaniques Fiche de TD Page 10 sur 10 liaisons mécaniques1.docx S.I.I. CI 2 : Analyse et conception des mécanismes Il est alors intéressant de déterminer le couple dû aux frottements au sein de cette liaison pivot ainsi que la puissance dissipée. ! ! 𝐶! = 4𝑅𝑓 et 𝑃 = −𝐶! ∙ 𝜔 = −4𝑅𝑓 𝜔 ! !
