Terminale Maths expertes (2020-2021) 9//9/2020 Nombres complexes ==================================================================================== Chapitre I: LES NOMBRES COMPLEXES II: FORME TRIGONOMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (𝑂 ; 𝑢 ⃗ , 𝑣). 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 est un nombre complexe non nul et 𝑀 est son image dans le plan complexe. IV-1 : Module d’un nombre complexe Définition 5 : On appelle module du nombre complexe 𝑧 le nombre réel positif, noté |𝒛| = 𝑶𝑴 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Remarque : 𝑧𝑧 ′ = |𝑧|2 Exemple 6 : Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants : 𝑧1 = 1 + 𝑖 , 𝑧2 = 3√2 + 𝑖√6 , …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Propriété 5 : Pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧 ′ : |𝑧𝑧 ′ | = |𝑧||𝑧 ′ | 1 1 𝑧 |𝑧| |𝑍| = |𝑧| |𝑧′ | = |𝑧′ | Pour tout 𝑛 ∈ ℤ, |𝑧 𝑛 | = |𝑧|𝑛 |𝑧| = |𝑧| = |−𝑧| = |𝑧| IV-2 : Argument d’un nombre complexe : Page 1 sur 3 Terminale Maths expertes (2020-2021) Définition 6: 9//9/2020 Nombres complexes ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), en radians, noté : ⃗ ; 𝑶𝑴 on appelle argument du nombre complexe 𝑧, tout nombre réel égal à l’angle orienté (𝒖 𝐚𝐫𝐠(𝒛) . Cet argument est donc défini à 𝟐𝝅 près. Remarque : Le couple de réels (|𝑧| ; 𝑎𝑟𝑔(𝑧)) désigne les coordonnées polaires de 𝑀 ; Propriété 6 : calcul d’un argument Pour déterminer un argument du nombre complexe 𝑧 on utilise les relations : Soit (𝑟 ; 𝜃) les coordonnées polaires de 𝑀. Alors 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 et 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2 Exemples : Déterminer un argument du nombre complexe suivant : 𝑧 = 1 + 𝑖. …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… arg(1) =… . [2𝜋] ; arg(−1) =……. [2𝜋] ; arg(𝑖) =……. [2𝜋] ; arg(−𝑖) =……. [2𝜋] Si 𝑥 > 0, alors arg(𝑥) =………. [2𝜋] Si 𝑥 < 0, alors arg(𝑥) =………. [2𝜋] Conclusion :…………………………………………………………………………………………………….. Si 𝑦 > 0, alors arg(𝑖𝑦) =………. [2𝜋] Si 𝑦 < 0, alors arg(𝑖𝑦) =………. [2𝜋] Conclusion :………………………………………………………………………………………………….… Que pensez-vous de l’argument d’un nombre complexe nul ?........................................................................... Propriété 7 : Pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧 ′ : arg(𝑧𝑧 ′ ) = arg(𝑧) + arg(𝑧 ′ ) [2𝜋] 1 𝑧 arg( ) = − arg(𝑧) [2𝜋] 𝑧 𝑎𝑟𝑔 ( ′ ) = arg(𝑧) − arg(𝑧 ′ ) [2𝜋] 𝑧 Pour tout 𝑛 ∈ ℤ, arg(𝑧 𝑛 ) = 𝑛 × arg(𝑧) [2𝜋] arg(𝑧) = −arg(𝑧) [2𝜋] arg(−𝑧) = 𝜋 + arg(𝑧) ) [2𝜋] Page 2 sur 3 Terminale Maths expertes (2020-2021) 9//9/2020 Nombres complexes IV-3 : Forme trigonométrique : Définition 7-propriété 8 : Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 un nombre complexe non nul. On appelle forme trigonométrique du nombre complexe 𝒛 l’écriture : 𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑔(𝑧)) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑔(𝑧))) Si 𝑟 = |𝑧| et 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(𝑧), alors la forme trigonométrique est : 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) 𝒂 𝒃 Propriété : 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒓 et 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒓 Exemple : déterminer la forme trigonométrique de 𝑧 = 1 − 𝑖√3 …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………..………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Page 3 sur 3
