Observations des phénomènes scientifiques Quand on fait des expérimentations en sciences, on observe souvent des courbes comme celles qui suivent. Par exemple, la croissance bactérienne ! Les B se multiplient beaucoup dans des conditions favorables et elles le font plus ou moins vite quand on mesure les temps de divisons. Soit elles se multiplient toujours à la même vitesse (10 multiplication par seconde) ou soit elles se multiplient beaucoup puis un peu moins ou encore plus… Réfléchissons sur les courbes suivantes. On étudie l’augmentation d’une grandeur x en fonction d’une autre grandeur y. On parle d’augmentation exponentielle. Une croissance exponentielle observée se note : Les mathématiciens ont démontré qu’on pouvait écrire en langage mathématique : f(x) = ex courbe rouge avec e = 2,77……. Cette courbe montre que : - plus les valeurs de x sont petites et plus la valeur de y = O mais n’est jamais négative ! - à un moment donné les valeurs de y augmentent très vite puis ralentissent - plus les valeurs de y sont grandes, plus la valeur de x devient constante (x se rapproche de 2). La valeur de x est limitée….Et plus la courbe devient parallèle à l’axe des y ! grandeur y f(x) = ex grandeur x f(x) = ex f(x) = x f(x) = lnx Cette courbe possède une symétrique par rapport à la droite f(x) = x. On l‘appelle le logarithme népérien f(x) = lnx Cette courbe montre que : - plus les valeurs de y sont petites et plus la valeur de x = 0 mais n’est jamais négative ! - à une moment donné les valeurs de x augmentent très vite puis ralentissent - plus les valeurs de x sont grandes, plus les valeurs de y devient constante (y se rapproche de 2) La valeur de y est limitée et la courbe est parallèle à l’axe des x ! Ces fonctions sont des outils mathématiques pour calculer plus facilement les grands nombres D’ailleurs, on utilise d’autres fonctions logarithmes : - f(x) = log 2 (x) pour les puissances de 2n - f(x) = log10 (x) les puissances de 10n . Rappels sur les exposants et introduction des fonctions logarithmes En sciences on manipule des nombres TRES PETITS (échelle microscopique - les atomes) et des nombres TRES GRANDS (échelle macroscopique - univers). C’est le mathématicien Néper qui a calculé cette constante en faisant des études sur les vitesses. Il a cherché à trouver l’équation qui modélise le phénomène. Quand on a un phénomène, on en cherche l’équation : Rappels sur les équations de droite Particularité des courbes logarithmes http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Logarith.htm#Approche
