CINEMATIQUE DU POINT SI 2020

La Cinématique analytique permet à partir d’équations de définir à tout instant, la position, la
vitesse et l’accélération d’un point en fonction du mouvement du solide auquel il appartient.
1 - GENERALITES
Quelle que soit l’étude
cinématique, on a toujours
besoin de se situer dans le
temps. On appelle instant t
ou date t le temps écoulé
depuis une origine des temps
t0=0, choisie arbitrairement.
L’unité de mesure du temps
(système ISO) est la
seconde, notée s.
t = t2-t1 est appelée durée entre les deux instants t1 et t2.
1.1 Vitesse :
➢
➢
La vitesse moyenne (vmoy) est le rapport de la distance parcourue sur un intervalle de temps
plus ou moins long
La vitesse instantanée (v) est le rapport de la distance parcourue sur un intervalle de temps
infiniment petit
1.2 Accélération :
➢
L’accélération moyenne (amoy) est le rapport de la variation de vitesse sur un intervalle de
temps plus ou moins long
➢
L’accélération instantanée (a) est le rapport de la variation de vitesse sur un intervalle de temps
infiniment petit
➢
➢
L’accélération est positive, si le mouvement est accéléré (accélération dans le sens du mouvement)
L’accélération est négative, si le mouvement est décéléré ou ralenti (accélération opposée au
mouvement)
De cette manière un solide lâché d’une hauteur x0 à un temps t0, sans vitesse initiale ne serait
soumis qu’à l’accélération de la pesanteur (constante), soit g = 9,81 m.s-2 :
-au temps t0 +1 seconde, ce solide atteindrait une vitesse instantanée de 9,81 m.s-1
-au temps t0 +2 secondes, ce solide atteindrait une vitesse instantanée de 9,81 x 2 soit 19,62 m.s-1
1.3 Unités du S.I :
•
•
•
•
Position notée x exprimée en m
Temps noté t exprimée en s
Vitesse notée v exprimée en m.s-1
Accélération notée a exprimée en m.s-2
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2 - TRANSLATION RECTILIGNE
REPERAGE ESPACE & TEMPS :
2.1 Vitesse constante : Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) :
➢
Définition : Un solide est en MRU si :
•
•
la trajectoire de chacun de ses points est une droite,
sa vitesse est constante (a = 0).
Equations horaires :
a : accélération du solide en m.s-2
v0 : vitesse initiale du solide en m.s-1
x0 : position initiale du solide en m
x : Position d’un point à un instant t.
X(t) = v0 . t + x0
v(t) = v0 = Constante
a(t) = 0
➢
MRU
Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une route rectiligne.
Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) : Vitesse constante
x
v
x = v0t + x0
α
tanα = v0
x0
a
v = v0 = cte
V0
a= 0
0
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t
0
t
-2-
0
t
2.2 Si Vitesse variable et accélération constante :
Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :
Equations horaires :
1
𝑥 = 𝑎. 𝑡² + 𝑣𝑜. 𝑡 + 𝑥𝑜
2
a = v ' = x' ' = cste
v = x ' = a.t + vo
Remarque : On peut déduire de ces 2 équations une formule utile :
v 2 = vo 2 + 2a( x − xo)
➢
Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’appuyer (raisonnablement)
sur l’accélérateur :
MRUV
Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :
x Branche de parabole
v
a
a= cte
v = a.t + v0
x=
x0
1
 a  t 2 + v0  t + x 0
2
0
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t
V0
0
t
-3-
0
t
3 - ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
3.1 Vitesse angulaire constante : Mouvement Circulaire Uniforme (MCU) :
➢ Définition :
Un solide est en MCU si :
• la trajectoire de chacun de ses points est un cercle,
• sa vitesse est constante (’ = 0).
ω=
➢ Rappel :
2.  N
60
Si N est la vitesse de rotation en tours par minute alors :
On remarquera que : 1 tr/min = 0,1047 rad/s
Avec : ω en rad/s et N en tr/min.
Equations horaires :
(t) = 0 . t + 0
(t) = 0 = Constante
’(t) = 0
MCU
vitesse constante : (at=0)
A
vA
vA
A
A
an
vA
x
vA
Décélération
ouangulaire du solide en rad.s-2
’
: accélération
0 : freinage
vitesse angulaire initiale du solide en rad.s-1
0 : position angulaire initiale du solide en rad
 :vPosition Aangulaire d’un point à un instant t.
A
at
ω
x
O
TA
TA
TA
vA
aA
α ω
x
O
r
an
vA
r
α = 0 ; at = 0 ; ω = cte et vA = cste
α<0
3.2 Si accélération angulaire constante : Mouvement Circulaire Uniformément Varié (MCUV) :
Equations horaires :
1
2
MCUV
 =  t ² +  0t +  0
 =  t + 0
 ' =  ' ' = cste
Remarque : On peut déduire de ces 2 équations une formule utile :
 2 = o 2 + 2 ' ( − o)
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