ETUDE D’UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME Détermination de la déflexion magnétique Présenté par Chaambane Mohamed Soibaha Ingénieur en électromécanique 𝒚 𝑪 𝒅 𝑳 La particule X est soumise à la force 𝐹𝑚 = 𝑞 𝑣Ԧ0 Λ𝐵 B T.C.I : 𝐹𝑚 = 𝑚𝑎Ԧ ⇒ 𝑎Ԧ = 𝐵 1 𝐹Ԧ𝑚 𝑚 et 𝐹𝑚 = 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑎𝑥 = 0 𝐹 = 0 𝑚𝑥 𝐹 ቤ 𝜶 R 𝑚 𝑫𝒎 𝐹𝑚𝑦 = 𝐹𝑚 ; 𝑎Ԧ ተ𝑎𝑦 = 𝑞 𝐵𝑣0 ; 𝑣Ԧ ቮ𝑣 = 𝑞 𝐵𝑣0 𝑡 𝑦 𝑚 𝑚 𝑥 = 𝑣0 𝑡 𝑞𝐵 2 M 𝑭𝒎 𝑞 𝐵𝑣0 2 ⟹ 𝑦 = 𝑥 𝑂𝑀 ቮ 2𝑚𝑣 𝑦= 𝑡 𝒗𝟎 0 𝜶 𝒙 2𝑚 O A I Montrons que le mouvement de la particcule dans le champ magnétique 𝐵 est circulaire uniforme 𝐹Ԧ𝑚 𝑞 𝑣0 𝐵 Ԧ Ԧ Dans la base de Frenet ( t , n) : 𝐹 = 𝑞 𝑣 𝐵 𝑛 ⇒ 𝑎Ԧ = = 𝑛 Ecran 𝑚 0 𝑚 𝑚 𝐹Ԧ𝑚 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑑𝑣 𝑣0 2 𝑑𝑣 Equation de la trajectoire de Ԧ 𝑎Ԧ = = 𝑛= 𝑡+ 𝑛 ⇒ = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 𝑚 𝑚 𝑑𝑡 𝑅 𝑑𝑡 la particule dans le champ 𝐵 Conditions initiales : à t=0, 𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑥 =0 𝑣0 ቤ 𝑣 = 0 et 𝑂𝑀0 ቤ 0 𝑦0 = 0 0𝑦 𝐸𝑡 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑣0 2 𝑚𝑣0 = ⇒𝑅= = 𝑐𝑠𝑡𝑒 𝑚 𝑅 𝑞𝐵 𝑚𝑣0 Le mouvement de la particule est circulaire uniforme : 𝑅 = 𝑞𝐵 𝒚 𝒅 𝑳 B Vitesse au point de sortie M 𝐵 𝑪 𝜶 R 𝑫𝒎 M 𝒗𝟎 O 𝜶 𝒙 A I Ecran Coordonnées du point de sorti M 𝑣𝑀𝑥 = 𝑣0 𝑞 𝐵𝑣0 𝑣Ԧ𝑀 อ 𝑣𝑀𝑦 = 𝑡𝑀 𝑚 𝑣𝑀𝑥 = 𝑣0 𝑞 𝐵𝑑 𝑣Ԧ𝑀 อ 𝑣𝑀𝑦 = 𝑚 𝑜ù 𝑥𝑀 = 𝑣0 𝑡𝑀 = 𝑑 ⟹ 𝑡𝑀 = ⇒ 𝑣𝑀 = 2 Nature du mouvement de la particule à la sortie du champ magnétique A la sortie du champ magnétique, la particule n’est soumise à aucune force, donc son mouvement est rectiligne et uniforme. 𝑥𝑀 = 𝑑 𝑞𝐵 2 𝑞𝐵 2 𝑂𝑛 𝑎: 𝑦 = 𝑥 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀 ተ 2𝑚𝑣0 𝑦𝑀 = 𝑑 2𝑚𝑣0 𝑣0 2 + 𝑞 𝐵𝑑 𝑚 𝑑 𝑣0 𝒚 𝒅 𝑳 𝑞𝐵 𝑑 𝑑 𝑑 𝐷𝑚 = 𝑑 +𝐿 = +𝐿 𝑚𝑣0 2 𝑅 2 B 𝐵 𝑪 Autre méthode R 𝜶 𝑫𝒎 R 𝜶 K N M 𝒗𝟎 O 𝜶 I 𝒙 S A 𝑁𝐵 𝐿 𝐴𝑁 = 𝑂𝐾 = 𝑂𝐶 − 𝐶𝐾 = 𝑅 − 𝑅 cos 𝛼 = 𝑅(1 − cos 𝛼) 𝐷𝑚 = 𝐴𝑁 + 𝑁𝐵 ; tan 𝛼 = 𝛼2 Or pour 𝛼 plus petit: sin 𝛼 ≈ tan 𝛼 ≈ 𝛼 et cos 𝛼 ≈ 1 − 2 On peut en déduire que : 𝑁𝐵 = 𝛼𝐿 𝑒𝑡 𝐴𝑁 = 𝑅(1 − 1 − Ecran Valeur de la déflexion magnétique Dm 𝑦𝑀 2𝑦𝑀 2 𝑞𝐵 2 𝑞𝐵 tan α = = = × 𝑑 = 𝑑 𝑑ൗ 𝑑 𝑑 2𝑚𝑣0 𝑚𝑣0 2 𝐷𝑚 tan 𝛼 = ⇒ 𝐷𝑚 = 𝐼𝐴 tan 𝛼 𝐼𝐴 𝐷𝑚 = 𝛼𝐿 + 𝑅 𝛼2 2 𝛼2 2 =𝑅 𝛼2 2 𝑑 or sin 𝛼 ≈ 𝛼 ≈ 𝑅 𝑑 1 𝑑2 𝑑 𝑑 𝐷𝑚 = 𝐿 + 𝑅 2 = +𝐿 𝑅 2 𝑅 𝑅 2 𝑚𝑣0 a𝑣𝑒𝑐 𝑅 = 𝑞𝐵 Application Problème D = 40 cm ; ℓ = 1 cm ; d = 10 cm ; 𝑚 = 9,1 × 10−31 𝑘𝑔 ; 𝐸 = 5 × 104 𝑉. 𝑚−1 . Dans tout l’exercice, on négligera le poids de l’électron devant les autres forces qui agissent sur lui. 1. Des électrons de masse m et de charge q sont émis sans vitesse initiale par la cathode (C). Ils subissent sur la longueur d, l’action du champ électrique uniforme 𝐸. 1.1/ Quelle est la nature du mouvement de l’électron entre la cathode (C) et l’anode (A)? 1.2/ Que vaut la vitesse v0 d’un électron au point 𝑂1 ? 2. Arrivés en O1, les électrons subissent sur la distance l l’action d’un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure (le domaine où règne ce champ B est hachuré). Quel doit être le sens du vecteur B pour que les électrons décrivent l’arc de cercle 𝑂1N? Justifier la réponse. Établir l’expression du rayon R = O’𝑂1 = O’N de cet arc de cercle. A.N: Calculer R pour 𝐵 = 2 × 10−3 𝑇. 3/ Calculer la vitesse de l’électro au point N. 4. Quelle est la nature du mouvement de l’électron dans le domaine III où n’existe aucun champ ? En déduire l’équation de la trajectoire de l’électron correspondant. 5. Le domaine III est limité par un écran (E) sur lequel arrivent les électrons. Exprimer en fonction de m, e, B, D, ℓ et 𝑣0 la déflexion magnétique 𝑂3 𝐼 = 𝑌 subie par un électron à la traversée du système II +III. La droite IN coupe l’axe 𝑂1 𝑂2 au point M. L’écran E est à la distance D de ce point M. On fera les hypothèses simplificatrices suivantes : - dans le domaine II de l’espace, on peut confondre la longueur de l’arc avec la longueur 𝑂1 𝑂2= ℓ où règne le champ 𝐵 . - on supposera que la déviation angulaire est faible. Sachant que Y= 3,35 cm, retrouver la valeur 𝑣0 de la vitesse de l’électron au point 𝑂1. Solution 1.2/ Vitesse des électrons en O 1 2 T.E.C : entre C et A : 𝐸𝐶 𝐴 = 𝑚𝑣0 2 = 𝑞 𝑈 = 𝑒𝐸𝑑 ⇒ 𝑣0 = 𝐹Ԧ𝑚 𝑣0 = 𝑞𝑣Ԧ0 2𝑒𝐸𝑑 𝑚 2 × 1,6 × 10−19 × 5 × 104 × 0,1 7 𝑚. 𝑠 −1 = 4,2 × 10 9,1 × 10−31 2. Sens du champ magnétique B et expression du rayon R 1.1/ Nature du mouvement des électrons de C vers A La particule est soumis à la force Fe = qE 𝑞 T.C.I : 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 = 𝑚𝑎Ԧ ⇒ 𝑎Ԧ = 𝐸 avec 𝑞 = −𝑒, 𝑚 (−𝑒)𝐸 𝐸𝑥 = −𝐸 𝑎 =− 𝑚 𝐸 ቤ 𝐸 = 0 , 𝑎Ԧ ቮ 𝑥 𝑦 𝑎𝑦 = 0 ⟹𝑎= Alors la particule a un M.R.U.A 𝑒𝐸 𝑚 >0 Dans le champ magnétique B, les électrons sont soumis à la force magnétique 𝐹𝑚 = 𝑞 𝑣0 𝛬𝐵. Si les électrons décrivent l’arc 𝑂1 𝐶 alors la force magnétique sera orienté vers le haut. Donc en utilisant la règle de trois doigts de la main droites, le vecteur champ Magnétique 𝐵 est sortant. y 𝐹Ԧ𝑚 9,1. 10−31 × 4,2. 107 𝑅= = 0,12𝑚 = 12𝑐𝑚 1,6. 10−19 × 2. 10−3 3/ Calculer la vitesse de l’électro au point N. R 𝑣𝑁𝑥 = 𝑣0 𝑙 𝑞 𝐵𝑣0 𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑣Ԧ𝑁 อ 𝑜ù 𝑥𝑁 = 𝑣0 𝑡𝑁 = 𝑙 ⟹ 𝑡𝑁 = 𝑣𝑁𝑦 = 𝑡𝑁 𝑣0 𝑚 𝑣𝑁𝑥 = 𝑣0 2 𝑒𝐵𝑙 𝑒𝐵𝑙 ⇒ 𝑣𝑁 = 𝑣0 2 + 𝑣Ԧ𝑁 อ 𝑣𝑁𝑦 = 𝑚 𝑚 x 𝑣𝑁 = Expression du rayon R Dans la base de Frenet (Ԧt, n) : 𝐹Ԧ𝑚 = 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑛 𝑑𝑣 𝐹Ԧ𝑚 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑑𝑣 𝑣0 2 𝑎Ԧ = = 𝑛= 𝑡Ԧ + 𝑛 ⇒ 𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 𝑚 𝑚 𝑑𝑡 𝑅 2 𝐸𝑡 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑣0 𝑚𝑣0 = ⇒𝑅= = 𝑐𝑠𝑡𝑒 𝑚 𝑅 𝑞𝐵 Le mouvement de la particule est C.U : 𝑅 = −19 × 2. 10−3 × 10−2 1,6. 10 4,2 × 107 2 + 9,1 × 10−31 2 𝑣𝑁 = 4,214 × 107 𝑚. 𝑠 −1 4/ Nature du mouvement des électrons dans la région (III) Au-delà de N ,le vecteur champ magnétique 𝐵 = 0 donc son accélération est nul ( a=0) : alors le mouvement 𝑚𝑣0 𝑞𝐵 des électrons dans de la région III est rectiligne uniforme. Solution y 𝑥 = 𝑣0 𝑡 𝑞𝐵 2 𝑒𝐵 2 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ⟹ 𝑦 = 𝑥 𝑞 𝐵𝑣 𝑂𝑀 ቮ 0 2 2𝑚𝑣 2𝑚𝑣 𝑦= 𝑡 0 0 2𝑚 (T) 𝐹Ԧ𝑚 1,6. 10−19 × 2. 10−3 A. N: 𝑦 = 𝑥 2 soit y = 4,186𝑥 2 −31 7 2 × 9,1. 10 × 4,2. 10 x Au-delà de N, les particules suivent une droite 𝑇 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑜ù 𝑎 = 𝑥 = 𝑙 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑎 = 2 × 4,186 × 10−2 = 8,372 × 10−4 𝑑𝑥 𝑂𝑟 𝑁𝜖 𝑇 ⇒ 𝑦𝑁 = 8,372 × 10−4 𝑥𝑁 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑦𝑁 − 8,372 × 10−4𝑥𝑁 Equation de la trajectoire de l’électron dans la région (III) Equation de la trajectoire T.C.I : 𝐹𝑚 = 𝑚𝑎Ԧ ⇒ 𝑎Ԧ = 2 = 4,186 × 10−4𝑚 𝑏 = 4,186 × 10−4 − 8,372 × 10−4 × 10−2 = 4,1 × 10−4 L’électron est soumis à la force 𝐹𝑚 = 𝑞 𝑣Ԧ0 Λ𝐵 1 𝐹Ԧ 𝑚 𝑚 𝑦𝑁 = 4,186𝑥 2 𝑁 = 4,186 × 10−2 et 𝐹𝑚 = 𝑞 𝑣0 𝐵 𝑣𝑥 = 𝑣0 𝑎𝑥 = 0 𝐹𝑚𝑥 = 0 𝑞 𝐵𝑣0 𝑞 𝐵𝑣0 ; 𝑣Ԧ ቮ 𝐹𝑚 ቤ𝐹 = 𝐹 ; 𝑎Ԧ ተ 𝑣𝑦 = 𝑡 𝑚𝑦 𝑚 𝑎𝑦 = 𝑚 𝑚 𝑇 ∶ 𝑦 = 8,372 × 10−4𝑥 + 4,1 × 10−4 𝑇 ∶ 𝑦 = (8,372𝑥 + 4,1) × 10−4 𝑚 𝑚 Solution Valeur numérique de la vitesse 𝑣0 pour Y=3,35cm R 𝑌= 𝑒𝐵𝑙 𝑒𝐵𝑙𝐷 𝐷 ⟹ 𝑣0 = 𝑚𝑣0 𝑚𝑌 1,6. 10−19 × 2. 10−3 × 10−2 × 40. 10−2 𝑣0 = = 4,20 × 107 𝑚. 𝑠 −1 −31 −2 9,1. 10 × 3,35. 10 5. Déflexion magnétique - Si la longueur de l’arc est confondue à 𝑙 : 𝑙 𝑚𝑣0 𝑒𝐵𝑙 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝛼 = 𝑒𝑡 𝑅 = ⟹𝛼= 𝑅 𝑒𝐵 𝑚𝑣0 -Pour une déviation angulaire très petite : 𝑌 𝑒𝐵𝑙 tan 𝛼 ~𝛼 = ⇒ 𝑌 = 𝐷𝛼 = 𝐷 𝐷 𝑚𝑣0
