L A T ORSION SIMPLE I­ M ISE E N SITUATION : On donne le dessin d’ensemble partiel ci­dessous à l’échelle 1:3 de la boite des vitesses d’un tour (L­180). 35 1 4 2 3 6 34 64 7 32 30 21 23 9 5 10 8 NB: En négligeant les forces normales à l’axe, l’arbre (1) est modélisé comme suit : S0 Ligne moyenne MA S MB Fig.1 II.1­ Déduire le type de la sollicitation à la quelle est soumis l’arbre (1) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; II­ DEFORMATION ANGULAIRE DUE A LA T ORSION : II.1­ Expér ience : ­ Placer une éprouvette à travers les éléments de fixation et la bloquée dans la porté fixe. ­ Fixer l’autre bout au levier monté dans des roulements à billes (à la longueur désirée). ­ Régler le dispositif de mesure de telle sorte que le palpeur du comparateur est exactement en face de l’entaille du levier. ­ Baisser le comparateur et régler l’aiguille à zéro. Remar que: 1 tour de l’aiguille de comparateur correspond à 1°. ­ Pour une charge donnée (10N) ; Compléter le tableau ci­dessous : l (en mm) a (en degr é) 600 .......... 500 .......... 400 .......... II.2­ Constatation : Sous l’action de la torsion, les fibres d’un cylindre, parallèle à son axe géométrique, s’enroulent suivant des hélices autour de cet axe. Seule la fibre axiale reste droite : c’est la fibre neutre. C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 1/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE l1 F1 l S S0 d m0 x S1 m1 m L’épr ouvette est un cylindr e d’axe xx’, de section constante S. Soient S0 et S deux sections dr oites distantes de l et [m 0 m] une génér atr ice. Sous F a1 x' a O0 O1 O Fig 1 l’action des couples ( F, F’) ( F 1 , F’1 ) de sens contr air es S a tour né d’un angle a par r appor t à S0 pr ise comme r éfér ence. L’expér ience montr e que pour un moment et une section donnés : a = a 1 = q en [ rd/mm ] : Angle unitaire de torsion = l l1 a en (r d) (angle de r otation entr e deux sections) F' F'1 II.3­ Etude des contr aintes : y Section droite S M G0 df1/2 Considér ons le tr onçon (2) de la poutr e r epr ésentée ci­contre; Mt G0 l’équilibr e de se tr onçon implique que les effor ts de cohésions G1 (2) x (1) déduisent un moment M tx . z x y ds M Au point M, l’effor t élémentair e df, r elatif à l’élément de sur face dS est r z dans le plan de la section (S) et per pendiculair e au r ayon GM = ρ :(r ho). df 1/2 G Le r appor t : df τ = dS (1) (Taux) est la contr ainte tangentiel au point M. II.4­ Relation contr ainte ­ défor mation : On démontr e que la contr ainte de tor sion en un point M d’une section est per pendiculair e t = Grq à la distance ρ du point m à l’axe de cylindr e et de l’angle unitair e de tor sion θ . (2) G étant le module d’élasticité tr ansversal. La contr ainte t est maximale pour ρ = r . Y r Z t t max = Gr q M (3) Maxi Diagr amme de r épar tition des contr aintes G t dans une section dr oite. Maxi Répartition des contraintes C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 2/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE II.5­ Relation contr ainte – moment de tor sion : τmax = v Mt I = 0 Mt I (I 0 / v ) est le module de tor sion de la section considér ée en (mm 3 ) 0 v Dans l’hypothèse d’une défor mation élastique, le moment du couple de tor sion est donné par la r elation : Avec : M t : le moment du couple de tor sion en (N.mm). G : le module d’élasticité tr ansversale en (N/mm²). Mt = GθI o (4) 4 I 0 : le moment quadr atique polair e d’une section dr oite en (mm ). En utilisant les r elations (2) et (4) l’expr ession de la contr ainte de t =r glissement en un point d’une section dr oite située à une distance r de la fibr e neutr e a pour expr ession : Mt I (5) 0 Avec: Mt en (N.mm), I 0 en (mm 4 ) et r en (mm) Cette contr ainte est maximale pour un point de la fibr e la plus éloignée de la fibr e neutr e ; soit en désignant r Mai par v sa distance à cet axe : II.6­ La condition de r ésistance à la tor sion : Pour qu’un cylindr e r ésiste en toute sécur ité à un couple de torsion donné, il faut que la r elation suivante soit vér ifiée : tmax £ R pg avec R pg : la résistance pr atique au glissement en (N/mm²) Re g s Rpg : r ésistance pr atique au glissement. . . . . . . .en [MPa] Avec Rpg = Reg : limite appar ente d’élasticité au glissement en [MPa] s : coefficient de sécur ité . . . . . . . . . . . . . . . . [sans unité] II.7­ Moment quadr atique polair e : Ä VALEUR DU M OMENT Q UADRATIQUE P OLAIRE DE SURFACES É LEMENTAIRES Io SURFACES IO V v p .d 4 d p .d 3 32 2 16 p .(D 4 - d 4 ) D 32 2 p .(D 4 - d 4 ) 16.D A retenir: a q= L tMaxi = G.q . r Mt = G.q .Io C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA t Maxi = Mt avec v=r Io v Condition de r ésistance Page 3/8 http://mimfs.jimdo.com/ t Maxi £ Rpg Condition de r igidité q £ q lim avec q = Mt G.Io F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE III­ APPLICATION : III.1­ Agitateur pour peintur e 700 Une tige d’agitateur pour peinture est montée en bout de mandrin sur une perceuse de bricolage. La longueur de la tige est de 700mm . La puissance transmise est de 500watts à 1500tr /mn . La résistance pratique au glissement du matériau de la tige est de R pg = 5daN/mm². 1­ Déterminer le diamètre minimal de la tige. d min : .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... 2­ Calculer l’angle de torsion entre les deux extrémités de la tige (G = 8000daN/mm²) : a .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... 3­ Calculer le diamètr e de la tige dans le cas ou l’angle unitaire de torsion ne doit pas dépasser la valeur de 0,1 degr é par mètr e . .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 4/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE III.2­ Ar br e Inter médiair e : Recepteur d Moteur A B L = 2000 Un ar bre plein de diamètr e d et de longueur L égale à 2m transmet une puissance de 20kw à la vitesse de 1500tr /mn entre un récepteur et un moteur. L’arbre repose sur deux paliers A et B. La résistance pratique au glissement du matériau de l’arbre est de R pg = 8daN/mm². 1­ Calculer le couple de torsion agissant sur l’arbre (Mt ) .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... 2­ Déterminer le diamètr e mini de l’arbre et calculer l’angle de torsion entre A et B sachant que G = 8000 daN/mm². .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... 3­ Si l’on impose à l’angle de tor sion la valeur maximale de 0,1 degr é par mètr e, déterminer le diamètre d dans ce cas. .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................................................... C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 5/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE AUTRES APPLICATIONS E XERCICE .1 Un arbre moteur tête est assimilé à une poutre cylindrique pleine de diamètre ( d ) , est sollicité à la torsion simple sous l’action des couples C et C appliqués aux extrémités d’intensité C = C = 10 m.N. A B A Données — La résistance élastique au glissement : Reg = 180 N/mm 2. Diamètre d B C C A A — Le coefficient de sécurité s = 3. B B 68 a­ Déterminer le diamètr e minimal de l’arbre pour qu’il résiste en toute sécurité. b­ Calculer l’angle de torsion unitair e q , sachant que d = 12 mm et G = 80000 N/mm 2 . c­ Déduire l’angle de tor sion a en degr é entre les sections extrêmes A et B. E XERCICE .2 Un arbre AB de longueur L , de diamètr e constant d , doit A B transmettre une puissance P d’un moteur électrique à un manchon L d’accouplement à la vitesse N tr /mn . On donne : Reg = Re et un coefficient de sécurité s = 5 (par rapport à Reg) 2 a­ Calculer son diamètr e minimal. b­ Calculer sa déformation angulaire de A à B (G = 8 10 4 N/mm 2 ). c­ Calculer d pour que la défor mation angulair e unitair e q ne dépasse pas 0,25 °/m . Application numérique : L = 1 m ; P = 22 KW ; N = 1500 tr /mn ; Re = 400 N/mm 2 E XERCICE .3 Un arbre de sortie d’un réducteur est supposé sollicité à la torsion simple. Il est considéré cylindrique plein de diamètr e 28 mm et supporte un couple de tor sion de 160 m.N. a­ Calculer la valeur de la contrainte tangentielle maximale de torsion t en N/mm 2 . b­ Indiquer pour chaque nuance de matériau du tableau ci­dessous la valeur de la résistance pr atique au glissement Rpg correspondante sachant que Reg = 0,5.Re et s = 3. On donne : Reg : limite apparente d’élasticité au glissement.— Re : limite apparente d’élasticité à l’extension.— s: coefficient de sécurité. S185 NUANCE DE M ATERIAU S235 C25 C55 Re N/mm2 185 235 285 420 650 Rpg N/mm2 ......... ......... ......... ......... ......... 16 Cr Ni 6 c­ En déduire toutes les nuances de matériau du tableau précédent qui garantissent la résistance de l’arbre de sortie du réducteur. C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 6/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE E XERCICE .4 Une poutr e cylindr ique creuse de diamètre extérieur D= 30 mm et de diamètre intérieur d=20 mm , est sollicitée à la torsion simple par un couple de moment Mt . Ê Déterminer la contrainte de torsion maximale. Application numérique : Mt = 25 Nm E XERCICE .5 Un arbre est assimilé à une poutre à section cir culair e pleine de longueur L = 0,160 m et de diamètr e d . Il est sollicité à la torsion simple de moment de torsion Mt = 12,8 Nm . Cet arbre est en acier de r ésistance pr atique au glissement Rpg = 20 N/mm 2 et de module d’élasticité tr ansversale G = 80000 N/mm 2 . a­ Calculer le diamètr e minimum (d ) pour qu’il résiste en toute sécurité. b­ Calculer l’angle r elatif de tor sion a des sections extrêmes de l’arbre. E XERCICE .6 Le schéma ci­dessous représente un réducteur d’une chaîne d’entraînement d’un tapis roulant. Arbre du cylindre 2 d3 3 T3/4 Arbre moteur d4 1 4 1­ On donne : Z 1 = 20 dents ; Z 2 = 50 dents ; Z 3 = 30 dents ; Z 4 = 40 dents (avec m = 2mm) et Nmoteur = 730 tr /mn 1.a­ Calculer le rappor t de r éduction r entre l’arbre moteur et l’arbre du cylindre. 1.b­ Calculer la vitesse de r otation N4 de l’arbre du cylindre. 2­ L’effort tangentiel T3 / 4 est de 1000 N. Calculer le moment de tor sion Mt appliqué à l’arbre du cylindre. 3­ Cet arbre de diamètre d =18 mm , est en acier C 45 . Sa résistance à la limite élastique par extension est Re = 350 N/mm2. 3.a­ Calculer la contrainte maximale de torsion tMa x sur cet arbre. 3.b­ Vérifier si l’arbre résiste en toute sécurité sachant que : Reg = Re/2 et le coefficient de sécurité adopté est s = 4 . C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 7/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan 4E SCIENCES T ECHNIQUES L A T ORSION SIMPLE E XERCICE .7 Une poutr e cylindr ique pleine de diamètr e d est sollicitée à la torsion simple par un couple de moment Mt . Déterminer la contr ainte de tor sion maximale. Application numérique: d = 20 mm ; Mt = 20 Nm E XERCICE .8 Un ar bre creux de diamètr e D = 50 mm et de diamètr e d = 40 mm a une longueur L = 1,5 m . a­ Calculer le module de tor sion de la section dr oite . b­ Sachant que la contr ainte tangentielle est de 30 N/mm 2 , calculer le couple moteur tr ansmis par cet arbre. c­ Déduire du résultat précédent la puissance tr ansmise sachant que la vitesse de r otation est de 1200 tr /mn . d­ De quel angle tournent les sections extr êmes, l’un par rapport à l’autre ? (On prendra G = 80000 N/mm 2 ) E XERCICE .9 Un ar bre de tr ansmission cylindr ique en acier est sollicité à la torsion simple par un couple de moment Mt . L’angle unitair e de tor sion q de cet arbre ne doit pas dépasser q Maxi. Ä Calculer le diamètre de cet arbre. Application numériqu : G = 80000 N/mm 2 , Mt = 20Nm , q Maxi = 1,6 10­5 r d/mm E XERCICE .9 L’ar br e de tr ansmission d’un camion est principalement constitué d’un arbre télescopique et de deux joints de cardan (Fig.1) L’ensemble est assimilé à un ar br e cr eux supportant deux couples de torsion à ses deux extrémités. Ä On donne : ü Diamètre intérieur de l’arbre d = 24 mm ü Diamètre extérieur de l’arbre D = 28 mm ü Couple transmissible Ct = 230 m.N ü Module d’élasticité transversale G = 80000 N/mm2 Fig.1 a­ Modéliser l’arbre. b­ Calculer la valeur de la contrainte de torsion maximale. c­ Calculer la valeur de l’angle unitaire de torsion. C OURS G ENIE M ECANIQ UE (12­13) Laboratoire Mécanique de KORBA Page 8/8 http://mimfs.jimdo.com/ F LEXIO N P LANE SIMPLE Proposé par M r Ben Abdallah Marouan