Chap3: Réponses temporelle et Fréquentielle des systèmes linéaires L’analyse temporelle consiste à étudier la réponse d’un système représenté par sa fonction de transfert à un signal d’entrée variant dans le temps. Impulsion de Dirac: réponse impulsionnelle Signal Echelon: réponse indicielle S p H p .E p N p D1 p D2 p Les pôles de S(p) sont la réunion des pôles de H(p) et de E(p) s t fi t e f j t e pi t i p jt j • 1er terme: une somme des epit qui ne dépendent que des pôles de H(p) c’est la réponse transitoire • 2 ème terme: une somme epjt qui ne dépendent que des pôles de E(p) c’est la répones forcée ou régime permanent 1 Réponses temporelles des systèmes linéaires s t st t s p t lim st 0 s sp • Système est stable lim st s • Système est instable t t 2 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du premier ordre E ( p) 1 p H ( p) K 1 p Y ( p) 1 K p 1 p y (t ) k 1 e t 3 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du premier ordre Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) : En entrée, nous appliquons un dirac : E(p) = 1 On a donc : K K t Y ( p) d ' où y(t ) e 1 p K Et : K t T s '(t ) 2 e T t 0 s(0) K 1 K t s ( ) e 0.368 t lim s(t) 0 t 4 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du premier ordre Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle) : Tangente en (0, K/T)y: K 2 x K 5 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du premier ordre Réponse à une rampe : En entrée, nous appliquons une rampe : E(p) = 1 / p² On a donc : t K S(p) 2 d'où s(t) K(t T T e T) p (1T p) Et : s '(t ) K (1 e t t 0, s(0) 0 ) t , s( ) Ke1 0.368K Tangente horizontale en t=0 Asymptote : y(t) K(tT) 6 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Un système est dit du second ordre s’il est régi par une équation différentielle : d²s(t) ds(t) b2 b1 b0 s(t) a0 e(t) dt² dt D’où : S(p) a 0 H(p) E(p) b2 p² b1 p b0 que nous mettons sous la forme : a0 b0 H(p) b2 p² b1 p 1 b0 b0 7 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre a0 b0 K H(p) 2 b2 p² b1 p 1 p p 1 2 b0 b0 0 0 a0 K On définit : le gain statique : b0 la pulsation naturelle : 0 b0 en rad /s b2 le facteur d’amortissement : b1 2 b0b2 8 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre H(p) K p 2 p 1 0 0 2 On appelle PÔLES les racines du dénominateur On appelle ZEROS les racines du numérateur On recherche la valeur des pôles de H(p) afin d’écrire s(t) : p 2 p 1 0 0 0 2 9 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre On obtient alors : 42 ( 2 1) 0 Le signe des racines dépend donc de ² - 1 > 1: nous avons deux pôles réels p1 et p2 : p1 0 ( ² 1) p2 0 ( ² 1) à partir de cette écriture, nous pouvons facilement écrire la fonction sous la forme : K 2 H(p) d’où : H(p) 0 (p p1 )(p p2) K0 1 1 2 ²1 p0 ( ²1) p0 ( ²1) 10 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre = 1: Dans ce cas, nous avons : p1 p2 0 2 K 0 H(p) (p 0)2 < 1: Dans ce cas, nous avons deux pôles imaginaires : p1 0 j0 1² p2 0 j0 1² K 0 1 1 H(p) 2j 1² p0 ( j 1² p0 ( j 1² 11 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : E(p) = 1/p Si > 1 : On a : S(p) K0 1 1 2 ²1 p(p p1 ) p(p p2) 1 T 1 En posant : 0 ( ² 1) T2 Avec : T1 T2 12 On obtient : 0 1 0 ( ² 1) et T2 T1 2 ²1 0 s(t) K1 T1 et T1 T2 et T2 T2 T1 T2 T1 12 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Nous obtenons bien une réponse apériodique 13 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Nous obtenons bien une réponse apériodique 14 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Nous obtenons une réponse apériodique critique 15 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre Réponse à un échelon (réponse indicielle ) : Si < 1 : S(p) K0 1 1 p ( p p ) p ( p p ) 2j 1² 1 2 Après calculs, on obtient : cos(0t 1²) sin ( t 1 ² ) 0 1 ² 0t s(t) K Ke Autre écriture possible : Ke0t 1² s(t) K sin 0t 1² arctan 1² 16 Réponses temporelles des systèmes linéaires Systèmes du second ordre La valeur de la pulsation propre non amortie influe sur le temps de réponse du système même en régime apériodique Amortissement faible (ζ <0,7) : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ est faible Amortissement fort (ζ>0,7) : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible Amortissement (souvent utilisé) ζ=0,7 Dépassement D ≈ 5% et 17 Analyse Fréquentielle des Systèmes Introduction : Dans la pratique, les performances d’un système asservis sont souvent jugées sur sa réponse temporelle. Pour des ordres élevés de système, ou pour définir d’autres performances, l’analyse fréquentielle est utilisée : on applique un signal sinusoïdal en entrée. Nous balayons le comportement du système en fréquence et nous observons le signal de sortie. 18 Analyse Fréquentielle des Systèmes Considérons le système linéaire suivant e(t) = A1sin(t) H(p) s(t) = ? La sortie est de forme sinusoïdale de même pulsation mais d’amplitude différente et déphasé par rapport au signal d’entrée: s(t) A1 M() sin t () 19 Analyse Fréquentielle des Systèmes Analyse fréquentielle : L’écriture en Laplace est une écriture fréquentielle. Cependant, pour notre analyse, nous remplaçons tout simplement : p par j Nous pouvons définir : La fonction de transfert harmonique : G(j) Le gain : G() G(j) A' A G(j) G(j) e j() La phase :() Arg G(j) 20 Analyse Fréquentielle des Systèmes LIEU DE BODE : Les diagrammes de Bode représentent séparément le module G(ω) et la phase φ(ω ) en fonction de ω dans le plan semi-logarithmique. Le gain est exprimé en dB G() 20log M() 21 Analyse Fréquentielle des Systèmes LIEU DE NYQUIST : C’est la représentation dans le plan complexe de l’extrémité du vecteur image H(jw) lorsque w varie de 0 à l’infini. H(j ) Re( ) j Im( ) 22 Analyse Fréquentielle des Systèmes Lieu de Black On représente la phase φ(ω )en abscisse et le gainG(ω) comme coordonnée. 23 Analyse Fréquentielle des Systèmes Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre : H(p) K 1p H() H(j) H(j) H () K 1²² 0 K 0 H(j) K 1 j d'où H() Arg H(j) arctan 1/ K 2 0 4 2 24 Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre : Lieu de Bode : Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons utiliser le diagramme asymptotique avec o = 1/, la pulsation naturelle ou pulsation propre. << O = O H ( j ) 20log K H(j) 20log K 10 log 2 20log K 3dB H () 4 >> O H(j) 20log K 20 log H () 2 25 Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre : Lieu de Bode : 20 log K 26 Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre : Lieu de Nyquist Le lieu de Nyquist d’un premier ordre est un demi-cercle 27 Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre : Lieu de Black : 28 Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre : H(j) K K 2 2 j 2 1 j 2 j 1 2 0 0 0 0 On en déduit les valeurs du gain et de la phase : H() H(j) K 2 2 2 2 1 2 4 2 0 0 () arctan 2 0 2 1 2 0 29 Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre : Étude du Gain : En développant, nous obtenons : K H() H(j) 4 2 2 4 2 2 2 1 1 0 Nous avons donc 2 cas à envisager : 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 Pulsation de résonnance Si 1 2 0 H ( ) K 0 1 2 2 K 2 1 2 Coefficient de surtension 0 Si 1 2 H ( ) K 0 0 30 Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre : Lieu de Nyquist 31 Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre : Lieu de Bode 1 2 1 2 1 2 32 Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre : Lieu de Black 1 2 1 2 1 2 33