Confrontation essais-modèle sur une
structure composite sandwich
originale
- Du projet encadré au TP -
François Louf (35 ans)
Agrégé - Docteur es Mécanique
Maître de conférences
Enseignements en CAO, conception,
calculs éléments finis
Recherche en validation/recalage de
modèles & incertitudes
Emmanuel Baranger (33 ans)
Olivier Dorival (33 ans)
Agrégé - Docteur es Mécanique
Agrégé - Docteur es Mécanique
Chercheur CNRS
Enseignements en mécanique non linéaire
et structures composites
Agrégé préparateur
Enseignements en ondes et vibrations
Recherche sur les composites sandwich & à
matrices céramiques
Recherche en dynamique des
structures basses et moyennes
fréquences
C
A
C
H
A
N
Ecole Normale Supérieure de Cachan
Département de Génie Mécanique
www.bksv.com
Brüel & Kjær Sound & Vibration Measurement A/S.
Copyright © Brüel & Kjær. All Rights Reserved.
Référence du projet : 2011-BKUC-0105
Cursus de formation au sein de l’ENS Cachan
La formation en sciences pour l’ingénieur a pour principaux objectifs de donner :
une culture scientifique de haut niveau
une culture technologique orientée vers les défis industriels actuels et futurs
La formation des normaliens se déroule en 4 ans
Concours
Ingénierie Mécanique et Technologie
L3
Matériaux et Structures
M1
Césure
Ingénierie Numérique de Production
FES : Sciences Mécaniques
Césure
M2
autre
VTD
TACS
MAGIS
IN2P
ISC
Etudes Doctorales
FES
Formation d’Enseignants du Supérieur
VTD
Véhicules Transports Durables
ISC
Ingénierie des Systèmes Complexes
MAGIS
Material & Engineering Sciences
TACS
Techniques Avancées en Calcul des Structures
IN2P
Ingénierie Numérique des Produits et Process
Cette double culture permet aux normaliens de s’orienter :
vers l’enseignement (Agrégés en Ecoles d’ingénieurs, classes préparatoires, IUT)
vers l’enseignement supérieur et la recherche
vers les services de R&D des grands groupes
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autre
Concours
Contexte thématique : modélisation & validation
La formation dispensée au Département de Génie Mécanique s’appuie fortement sur
les projets, et les Travaux Pratiques
Ces activités, réalisées au sein des différents laboratoires d’enseignement,
permettent notamment :
de mettre en oeuvre une démarche de modélisation et des outils techniques adaptés vus en cours
de valider le modèle proposé en le confrontant à une réalité expérimentale
Domaine du «Réel»
Environnement
fonctionnel
Environnement
expérimental
•Echantillon important
•Statistiques
•Méconnaissances
•Echantillon réduit
•Protocole
Diagnostic
&
Validation
Modélisation
•Conditions Limites
•Défauts
•Géométrie
•...
Analyse fonctionnelle du besoin
•Mesure d’erreur
•Optimisation
•Identification
•Cahier des charges fonctionnelles
•Critères et valeurs
Domaine du «Virtuel»
Maquette
virtuelle
•Modèle CAO
•Modèle système
•Plan de définition
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Modèle
théorique
•Principes
•Loi de comportement
•Couplages
Modèle
numérique
•Solveurs
•Méthodes d’approx.
•Discrétisation
Présentation du projet initial
Contexte industriel
Peaux tissu de
carbone, matrice
epoxy
Emergence de nouveaux matériaux composites (sur mesure)
Organisation
3 étudiants de M1 : Mécanique des Matériaux et des Structures
10 séances de 4 heures
Ame en kevlar
type «origami»
Objectifs pédagogiques - «L’étudiant doit être capable de : »
Modéliser une structure et paramétrer le modèle obtenu
Réaliser un modèle éléments finis associé pertinent
Réaliser des essais vibratoires sur la structure fabriquée
Définir une formulation d’un écart essais/modèle
Recaler le modèle proposé
Critiquer la modélisation et/ou les essais réalisés
Ressources
Laboratoire d’élaboration de composites
Laboratoire de CAO et Calcul éléments finis
Laboratoire de dynamique des structures
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Peaux époxy
Ame type treillis
Elaboration de la «structure»
O
Moyens de production propres au département
èl
d
Mo
Laboratoire d’élaboration de composites stratifiés
Imprimante 3D ABS
Permet de maîtriser toute la chaîne, et notamment d’être conscient des
défauts de fabrication
A
eC
!
Modélisation de l’âme
Im
p
Réalisation de la maquette numérique d’un treillis à maille tétraédrique
entièrement paramétrée
res
sio
Nombre de motifs dans deux directions, hauteur du motif, diamètre des barres
(2.5 mm ici)
Fabrication de l’âme
Impression de la maquette numérique
Matériau ABS mal connu (orthotropie), défauts d’impression
ée
Fabrication des peaux
ture
c
u
r
t
Réalisation de deux plaques composites carbone-époxy
Géométrie finale comportant des défauts
Assemblage
f
Peau
Ame ABS
Collage des plaques sur l’âme en treillis
Epaisseur de colle mal maîtrisée
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S
iqu
abr
Caractéristiques :
L x l x h : 295mm x 62mm x 18 mm
Masse : 95 g
n3
D
Caractérisation par essais dynamiques
Support élastique
Objectifs
Accéléromètre
Réaliser des essais en dynamique
Post-traiter les essais
Essais en libre-libre
Suspensions élastiques
Impact au marteau en 93 points sur chaque face
(186 points)
Mesure avec un accéléromètre uniaxe fixe
Bande de fréquences : [0 - 3500] Hz
Extraction des modes
Succession de modes de flexion et torsion
Flexion 1 : 617 Hz
Torsion 1 : 662 Hz
Flexion 2 : 1023 Hz
Torsion 2 : 1521 Hz
Flexion 4 : 1814 Hz
Torsion 3 : 2116 Hz
www.bksv.com, 6
Flexion 3 : 1461 Hz
Torsion 4 : 2447 Hz
Modélisation éléments finis paramétrée
Objectifs
31
Modélisation éléments finis de la structure (CATIA V5)
Représentatif de la structure composite (prise en compte de la masse de colle notamment)
Suffisamment léger en terme de coût de calculs
Paramétré par les coefficients matériaux mal-connus
Modules d’élasticité des peaux (quasi-isotrope) et de l’âme en ABS
n
xio
1
:6
e
Fl
Réaliser le calcul des premiers modes propres
86
Résultats
Un modèle composé de poutres (treillis) pour l’âme et de coques pour les peaux (47000 ddl)
Temps de calcul pour 20 modes : env. 30 s sur une machine standard
n
sio
1
r
To
ion
x
e
Fl
5
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To
ion
s
r
3:
Hz
e
Fl
4
Hz
2
:1
e
20
n
xio
n
xio
Fl
Eléments poutres
88
0
2
21
0
Eléments coques
Hz
Hz
:6
Alternance de modes de flexion et de torsion
Intérêt de l’étude dynamique : multi-sollicitation de la structure
8
21
2
:
Hz
Hz
02
Hz
5
8
:1
r
To
n
sio
2
:1
4
48
Fl
e
n
xio
3
:1
Hz
Etude paramétrique et recalage
Objectifs pédagogiques
Mode num.
Mode exp.
Etre capable de formuler un critère de distance
entre essai et modèle
Evaluer l’impact du choix de la distance essais/
modèles sur la pertinence du recalage
Travail réalisé
ef =
n
!
p=1
fph
− fpm
fpm
Appairage manuel des modes en cas de
permutation (délicat)
Résultats
Une surface de réponse décrivant l’évolution de
l’erreur pour un jeu de paramètres (module
peaux/module âme)
Un jeu de paramètres optimaux
www.bksv.com, 8
50
Erreur %
Formulation d’un critère en fréquence simple à
manipuler
"
#2
40
30
20
Module
d!Young âme
(relatif)
0.4
0.6
Module
de l!âme
(relatif)
0.8
1
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
Module des peaux
(relatif)
Ecart en fréquence cumulé sur
les modes et fonction des deux
paramètres variant dans des
intervalles «raisonnables»
1.25
Du projet au(x) TP(s)
Du projet au TP : réaliser un TP de niveau M1 illustrant l’intérêt du MAC dans la démarche expérimentale, en utilisant le
modèle de la structure composite et les mesures effectuées lors du projet
Prérequis
Cours, TD, et TP d’éléments finis (L3 et début de M1)
Cours et TD de dynamique des structures (Vibrations de systèmes continus et discrets, Orthogonalité des modes)
Nos objectifs de formation
Mettre en évidence l’intérêt d’avoir un modèle éléments finis dès la préparation de l’essai afin de définir au mieux la position et
l’orientation des points de mesures
Mettre en évidence la difficulté d’appairer les modes expérimentaux et éléments finis manuellement
Mettre en évidence l’intérêt d’un critère portant sur la forme des modes : le critère de MAC
Organisation de la séance de TP
Présentation des ressources par l’enseignant (15 min)
Support physique (réalisation, originalité) et modèle numérique réalisé dans CATIA (calcul, paramètres, exports des modes)
Base de données expérimentale (186 points de mesures, extraction et export des modes)
A
{Φp }T [M ]{Φq } = 0 ∀p "= q
Présentation du MAC (30 min)
Origine du critère, hypothèses associées et définition
M ACp,q =
Intérêt du MAC pour préparer une mesure (90 min)
B
C
Calcul du MAC à partir des modes analytiques sur un exemple simple (poutre)
Application à la structure étudiée en utilisant le modèle éléments finis fourni
Etude du résultat en fonction du nombre de points de mesures
Intérêt du MAC pour valider un modèle (90 min)
Calcul du MAC à partir des modes expérimentaux et numériques
Intérêt du MAC pour appairer les modes puis pour valider un modèle
Conclusions (15 min)
Bilan effectué avec les étudiants - Synthèse
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
25
www.bksv.com, 9
13
1112
9 10
7 8
5 6
3 4
1 2
({Φhp }T {Φhq })2
{Φhp }T {Φhp }{Φhq }T {Φhq }
Détail de la partie théorique : le MAC
A
Origine de l’idée : orthogonalité des modes / opérateur de masse
Vu en Cours/TD sur des milieux continus ou discrets
Cas des modèles discrets :
Orthogonalité des modes :
{Φp }T [M ]{Φq } = 0 ∀p "= q
Forme des matrices de masse consistante et «lumpée» (masse concentrée aux noeuds)
Pour une barre avec 3 éléments de même longueur :
2
ρSl 1
[M ] =
6 0
0
1
4
1
0
0
1
4
1
0
0
1
2
3
ρSl 0
[MD ] =
6 0
0
0
6
0
0
0
0
6
0
0
0
0
3
ρSl = M/3
Hypothèse de masse uniformément répartie : matrice de masse lumpée proche de l’identité
[MD ] ≈ M/n[Id ]
Sous cette hypothèse, on a donc une relation proche de l’orthogonalité théorique :
{Φp }T {Φq } ≈ 0 ∀p #= q
Définition du MAC (Modal Assurance Criterion)
C’est une matrice de terme courant
M ACp,q
www.bksv.com, 10
({Φp }T {Φq })2
=
{Φp }T {Φp }{Φq }T {Φq }
Le terme courant est
compris entre 0 et 1
Le MAC : 3 outils en 1
Un outil de pré-test
A
1.0
On utilise un modèle éléments finis suffisamment représentatif du comportement
On calcule les modes dans la bande de fréquence étudiée (et un peu plus)
On définit un jeu de points de mesures, et on réduit les modes à cet ensemble
On calcule le MAC associé à ces modes éléments finis (h) réduits :
({Φhp }T {Φhq })2
M ACp,q =
{Φhp }T {Φhp }{Φhq }T {Φhq }
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
25
13
1112
9 10
7 8
5 6
3 4
1 2
La forme de la matrice MAC nous renseigne sur la capacité des points de mesures retenus à
distinguer les modes les uns des autres
Un outil de validation des essais
On calcule le MAC associé aux modes expérimentaux (m) :
M ACp,q
T
m 2
({Φm
p } {Φq })
=
T
m
m T
m
{Φm
p } {Φp }{Φq } {Φq }
Le MAC donne alors une idée de la qualité de l’analyse modale effectuée
Un outil de validation d’un modèle / une référence expérimentale
On calcule le MAC associé aux modes expérimentaux/numériques :
M ACp,q
www.bksv.com, 11
2
({Φhp }T {Φm
q })
=
T
m
{Φhp }T {Φhp }{Φm
q } {Φq }
Développé dans
le TP proposé
Le MAC, un outil de pré-test - Exemple analytique
Support simple
B
! pπx "
2.3. RÉPONSE À UNE EXCITATION
PARsin
SUPERPOSITION MODALE
Φ (x) =
p
Une poutre sur deux appuis simples
Les modes propres sont connus (cours)
Nombre de points de mesures variables, équirépartis
1.0
0.5
0.2
Travail demandé
Calculer, à l’aide de Matlab, le MAC
31
L
PSfrag replacements
0.6
0.8
1
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Mode 4
-0.5
Pour {1,2,3,...30} points de mesures
Pour {5,10,15, 25, 30} modes calculés
0.4
-1.0
Calculer, à chaque fois, la somme des termes non diagonaux (nommé résidu)
pour
F IG . 2.3 – Les
quatrequantifier
premiers modesla
pour une poutre de longueur unitaire
possibilité de distinguer des modes différents par le jeu restreint de points de mesures
En multipliant respectivement (2.29) et (2.30) par φn et φp , en intégrant de 0 à L, et en
faisant la différence des deux équations, on obtient, après deux intégrations par parties :
Le résidu diminue avec le nombre de points de mesures
Avec seulement 3 points de
mesure, présence de forts
termes non diagonaux : les
modes 3, 4 et 5 sont très
similaires
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
5
4
4
3
5
www.bksv.com, 12
2
1
!
0
0
L
10
(βp4
L
(3)
L
(2) ! L
(2) ! L
− βn4 )φn φp dx + [φ(3)
n φp ]0 − [φp φn ]0 − [φn φp ]0 + [φp5 φmodes
n ]0 = 0
(2.31)
10 modes
15 modes
! L
20 modes
(βn4 − βp4 )φn φp dx = 0
(2.32)
25 modes
0
30 modes
sont différents, l’orthogonalité de deux modes distincts est dé-
Puisque φn et φp doivent vérifier les mêmes conditions aux limites, on a :
Log(Résidu)
Résultats
!#
10
Enfin, puisque βn "= βp
montrée.
Comme au chapitre précédent, on choisit le coefficient Dn qui permet de rendre unitaire la masse modale Mn . On obtient :
!"
"
10
2
Dn =
(2.33)
ρSL
2.3 Réponse à une excitation par superposition modale
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de points de mesures
Dans ce paragraphe on cherche la solution du problème de dynamique posé par une
technique de superposition modale. La mise en œuvre est faite pour deux chargements
différents concentrés en milieu de poutre.
2.3.1 Les différents chargements envisagés
On considère ici un chargement de type effort concentré au point milieu de la poutre.
Le MAC, un outil de pré-test - Sandwich
B
Le modèle éléments finis, associé à une macro CATIA, permet
D’exporter les modes et fréquences propres
D’exporter les coordonnées des points de mesure
Un programme Matlab à disposition des étudiants permet
De relire ces fichiers
De calculer le MAC
De prendre en compte dans le calcul différents nombres de points de mesures
350
Conclusions
1
300
Le nombre de points de mesure joue sur la facilité à distinguer les modes
Au delà de 40 points de mesure, le gain est faible
Certains modes rigides ne peuvent être distingués (3 modes principalement
dans le plan normal à la direction de mesure)
0.8
0.6
non diagonaux du MAC
Somme des termes
0.4
0.2
0
0
5
25
10
250
20
15
15
10
20
25
5
0
200
150
1
0.8
0.6
100
0.4
0.2
0
0
5
25
10
20
15
25
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
15
10
20
50
1
0.8
0
0
5
25
10
5
25
20
15
15
10
20
25
10
20
15
0
0.8
0.2
0
0
5
0
1
15
10
20
5
25
0
5
0
0.6
0.4
0
20
40
60
80
100
120
140
Nombre de points de mesure
160
180
0.2
0
0
www.bksv.com, 13
5
10
25
Le MAC un outil de corrélation essai/modèle
C
1.0
0.8
0.6
0.4
0
0.2
Des modes rigides non extraits dans les essais
0.0
0
5
10
Pas de corrélation essais/modèle sur les 6 premiers modes EF
15
20
25
13
1112
9 10
7 8
5 6
3 4
1 2
Une bonne corrélation essais/modèle sur les 7 premiers modes
Modes numériques
Les valeurs sur la diagonale sont supérieures à 0.6
Les termes hors diagonaux sont inférieurs à 0.2
5
10
Deux modes numériques non vus expérimentalement
Un mode de flexion (n°15) dans le plan de la structure
Il n’est pas observable expérimentalement : mesure de le composante hors plan avec un
accéléromètre mono-axe
15
Deux modes (n°14 & 18)
Sans doute non extraits expérimentalement
20
Des modes numériques qui n’ont pas d’équivalents dans les
essais (n° > 20)
Ces modes, plus hautes fréquences, ont été calculés «par sécurité»
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Modes expérimentaux
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Conclusions & Perspectives
Un projet original a été mené avec trois étudiants de M1
Réalisation complète d’une structure composite
Caractérisation expérimentale (analyse modale)
Caractérisation numérique
Corrélation/recalage du modèle
Le modèle recalé apparaît comme très représentatif des essais réalisés
Ce projet a permis de construire un TP opérationnel en M1 pour sept. 2011
Les objectifs pédagogiques de ce TP sont centrés
sur la compréhension de l’outil MAC
sur l’utilisation de l’outil MAC en pré-test et corrélation calcul/essais
En fonction du déroulement de ce TP en 2011, des évolutions sont possibles
Amener les étudiants à formuler une distance essais-modèle à partir du MAC
Travailler sur la position des points de mesures à l’aide du modèle éléments finis en plus du nombre de points
retenus
Amener les étudiants à formuler un critère basé sur le MAC permettant l’optimisation des points de mesures
Exemple avec 15 points de mesures choisis au hasard (10000 tirages) - configurations extrêmes :
15 points bien placés
- MAC de bonne qualité -
15 points mal placés
- MAC de mauvaise qualité -
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0
5
25
10
20
15
15
10
20
25
5
0
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5
25
10
20
15
15
10
20
25
5
0
