2016/2017 L3 Mathématiques Algorithmique appliquée aux mathématiques Université de Lorraine Feuille de TD n◦5 Exercice 1. (Nombres de Poulet) On appelle nombre de Poulet un nombre pseudo-premier de base 2. 1. Déterminer l'ordre de 2 dans les groupes (multiplicatifs) (Z/11Z)× , (Z/31Z)× et (Z/341Z)× . En déduire que 341 est un nombre de Poulet. 2. Soient n un nombre de Poulet et m = 2n − 1. a) Montrer que n | m − 1. b) Soient a, b ∈ N∗ . Montrer que si a | b, alors 2a − 1 | 2b − 1. c) En déduire que m est un nombre de Poulet. 3. Les nombres de Poulet sont-ils en nombre ni ou inni ? 4. Montrer qu'un nombre de Mersenne Mp = 2p − 1, où p est premier et Mp composé, est un nombre de Poulet. n 5. Montrer qu'un nombre de Fermat Fn = 22 + 1 composé est un nombre de Poulet. (Exercice de CAPES) L'objet de cette partie est la caractérisation de certains nombres, appelés nombres de Carmichaël. Rappelons qu'un nombre n est appelé nombre de Carmichaël si : a) n n'est pas premier ; b) pour tout nombre a premier avec n, an−1 ≡ 1[n]. 1. Montrer que si n = p1 ×p2 . . .×pk où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (pi − 1) divise (n − 1) pour tout i ∈ J1; kK, alors n est un nombre de Carmichaël. Montrer en particulier que 561 et 10585 sont des nombres de Carmichaël. 2. Dans toute cette question, on suppose que n est un nombre de Carmichaël et l'on désire établir la réciproque du résultat obtenu en question 1. a) On suppose tout d'abord que n est une puissance de 2, n = 2α , où α est un entier supérieur à 2. Quel est le cardinal de (Z/nZ)× ? En déduire que pour tout entier a impair a(2α − 1) ne peut être congru à 1 modulo n sauf si a est congru à 1 modulo n ; que peut-on conclure ? b) On suppose désormais que n admet au moins un facteur premier impair p1 et l'on note p1 , p2 , . . . , pk Qk αi les facteurs premiers de n ; la décomposition de n est alors n = i=1 pi . (i) Soit ω un entier dont la classe modulo pα1 1 est un générateur de ((Z/pα1 1 Z)× , ×) ; on admet l'existence d'un tel ω . En utilisant le théorème des restes chinois, montrer qu'on ` peut trouver un entier t tel que : t ≡ ω[p1α1 ] et, pour tout i (s'il en existe) tel que i ∈ J2; kK, t ≡ 1[pαi i ]. Montrer qu'alors tn−1 ≡ 1[n]. (ii) En déduire que pα1 1 −1 (p1 − 1) divise (n − 1), puis que α1 = 1, et enn que (p1 − 1) divise (n − 1). (iii) Montrer que n est nécessairement impair et que n peut s'écrire sous la forme n = p1 × p2 × . . . × pk où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (pi − 1) divise (n − 1) pour tout i ∈ Jl; kK. Conclure. 3. Montrer qu'un nombre de Carmichaël admet au moins trois facteurs premiers. 4. Résoudre l'équation 85p − 16k = 1, où (k, p) ∈ Z2 . Déterminer le plus petit nombre de Carmichaël divisible par 5 et 17. 5. Montrer que les nombres 6k + 1, 12k + 1 et 18k + 1 sont tous les trois premiers, alors leur produit est un nombre de Carmichael. Exercice 2. 2016/2017 L3 Mathématiques Algorithmique appliquée aux mathématiques Université de Lorraine Exercice 3. On va montrer ici qu'il y a une innité de nombres pseudo-premiers de base a avec a > 2. Pour cela, soient a > 2 et p un nombre premier impair vériant p - a(a2 − 1). Posons n = (a2p − 1)/(a2 − 1). 1. Montrer que n est un entier composé. 2. Montrer que a2p ≡ 1[n]. 3. Calculer (a2 − 1)(n − 1) puis montrer que p | (n − 1). 4. Montrer que 2 | (n − 1). 5. En déduire que n est pseudo-premier de base a. Conclure. Exercice 4. 1. Pour quelles bases 15 est-il pseudo-premier ? 2. Montrer que 105(= 3 × 5 × 7) est pseudo-premier de base 13 mais n'est pas pseudo-premier de base 2. 3. Donner un algorithme qui prend en entrée un entier n composé et renvoie l'ensemble des bases pour lesquelles n est pseudo-premier. Exercice 5. Calculer les symboles de Legendre suivants : Exercice 6. 7 17 ; 28 13 ; 10 83 ; 665 97 Ecrire un algorithme permettant de calculer les symboles de Legendre. Soit p un nombre premier impair. 1. Montrer que les racines carrées d'un entier α ∈ Z dans Z/pZ (i.e. l'ensemble des éléments x ∈ Z/pZ 2 tels que x ≡ α[p]) est 1 + αp . Exercice 7. 2. Soient a, b, c ∈ Z vériant p - a. Montrer que l'équation ax2 + bx + c = 0 possède 1 + dans Z/pZ où ∆ = − 4ac. 3. Déterminer le nombre de solutions dans Z/83Z des équations suivantes : a) x2 + 1 = 0 ; b) x2 + x + 1 = 0 ; c) x2 − 4x + 13 = 0 ; d) x2 + x + 21 = 0. b2 Exercice 8. Calculer : Soit p un nombre premier impair. p+1 2 p ! . ∆ p solutions
