Ahmed MESSAOUDI [email protected] Chapitre III : Interaction gravitationnelle I. Loi d’attraction universelle de Newton 1.Cas des corps ponctuels Entre deux corps ponctuels (A) et (B) de masses respectives m et m , il y a une interaction A B toujours attractive : Soient ⃗𝑭(𝑨)⁄(𝑩): la force qu’exerce le corps (A) sur le corps (B). ⃗𝑭(𝑩)⁄(𝑨): la force qu’exerce le corps (B) sur le corps (A). Ces deux forces directement opposées sont appelées « forces d’interaction gravitationnelle ». La valeur des deux forces, exprimée en N est proportionnelle aux masses des deux corps et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. soit ǁ𝐹 ǁ = ǁ⃗𝑭(𝑨)⁄(𝑩) ǁ = ǁ⃗𝑭 (𝑩)⁄(𝑨) ǁ = 𝑮. 1 𝒎𝑨. 𝒎𝑩 𝒅𝟐𝑨𝑩 Ahmed MESSAOUDI [email protected] 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕. 𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑵. 𝒎𝟐𝑲𝒈−𝟐 𝑑𝐴𝐵: la distance entre les deux corps (en mètres) Analogie entre la loi de gravitation et la loi de coulomb La force de gravitation universelle de Newton, s’appliquant sur deux corps ponctuels A et B de masses m et M, est de valeur ǁ⃗𝑭 ǁ = 𝑮. 𝒎. 𝑴 𝒓𝟐 Et la force d’interaction électrique de Coulomb, s’appliquant sur deux charges, est de valeur ǁ⃗𝑭ǁ = 𝑲. ǀ𝒒𝟏ǀ.ǀ𝒒𝟐ǀ 𝒓𝟐 K= 9.109 N.m2 C-2 Forces gravitationnelles de Newton Valeur ǁ⃗𝑭 ǁ = 𝑮. Forces d’interaction électrique de Coulomb 𝒎𝑨. 𝒎𝑩 𝒅𝟐𝑨𝑩 ǁ⃗𝑭 ǁ = 𝑲 ǀ𝒒𝑨ǀ. ǀ𝒒𝑩ǀ 𝑨𝑩𝟐 Direction Centrales Centrales Sens Toujours attractives Répulsives ou attractives selon le signe des charges Source d’interaction Des masses (de valeurs positives) Charges de valeurs algébriques pouvant être positives ou négatives Ces deux forces présentent au moins deux similitudes. * Centrales : la direction de chacune des deux forces est la droite passant par les deux corps ponctuels en interaction pour la force gravitationnelle et par les deux charges ponctuelles pour la force électrique. * D’intensités inversement proportionnelles au carré de la distance r séparant les deux corps ponctuels (ou charges ponctuelles). Ils présentent aussi des différences : * La source d’interaction est une masse positive dans le cas de l’interaction gravitationnelle, par contre, dans le cas de l’interaction électrique, il s’agit d’une charge pouvant être positive ou négative. 2 Ahmed MESSAOUDI [email protected] * C’est pour cela que les forces de gravitation sont toujours attractives, alors que les forces électriques sont tantôt attractives si les deux charges sont de signes contraires, tantôt répulsives si elles sont de mêmes signes. Un objet ponctuel de masse m et portant une charge q peut être en interaction gravitationnelle et électrique avec un autre objet de masse m’ et de charge q’. 2. Cas des corps à répartition de masse à symétrie sphérique Un corps à répartition de masse à symétrie sphérique de masse M et de centre O peut être remplacé par un corps ponctuel de même masse et concentré au point O. Ainsi la loi de gravitation universelle, énoncée dans le cas des corps ponctuels, peut s’appliquer aux corps à répartition de masse à symétrie sphérique. Cas de la terre et le soleil Soient 𝒎𝑻: masse de la terre 𝒎𝑺: masse du soleil 𝒓: distance entre les centres terre-soleil. ⃗𝑭(𝑻)/(𝑺) = 𝑮. 𝒎𝑻. 𝒎𝑺 ⃗𝑭(𝑺)/(𝑻) = −𝑮. 3 𝒓𝟐 ⃗𝒖 𝒎𝑻. 𝒎𝑺 𝒓𝟐 𝑺𝑻 ⃗𝒖 𝑺𝑻 Ahmed MESSAOUDI [email protected] ⃗𝒖ST : vecteur unitaire porté par la droite joignant les deux corps et dirigé du soleil vers la terre. II. Champ de gravitation Soient des corps C1, C2, C3… de masses respectives m1, m2, m3… placés à une distance r du centre de la terre. m1 r m2 m3 Le corps ponctuel C1 de masse m1 est soumis à la seule force gravitationnelle ǁ𝐹𝑇⁄C ǁ exercée 1 par la Terre de valeur ǁ𝐹𝑇⁄C1 ǁ = 𝑮. 𝒎𝑇.𝒎1 𝒓2 Également, les corps ponctuels de masses m2, m3, ... seront soumis aux forces gravitationnelles ǁ𝐹 𝑇/C2 ǁ = 𝑮. 𝒎𝑻.𝒎𝟐 , ǁ𝐹 𝒓𝟐 𝑇/C3 ǁ = 𝑮. 𝒎𝑻.𝒎𝟑 =… 𝒓𝟐 Le rapport : ⃗𝑭𝑻/𝒊 𝒎𝒊 = ⃗𝑭𝑻/𝟏 𝒎𝟏 = ⃗𝑭𝑻/𝟐 𝒎𝟐 = ⃗𝑭𝑻/𝟑 𝒎𝟑 𝒎𝑻 = 𝑮. 𝒓𝟐 = 𝒄𝒔𝒕𝒆 > 𝟎 est constant car il est indépendant de la masse du corps ponctuel 𝒎𝒊.Ce rapport définit la valeur du champ gravitationnel ǁGǁ qui règne au point où le corps est placé. ǁGǁ = ǁ𝐹ǁ 𝑚 4 = 𝑮. 𝒎𝑇 𝒓2 Ahmed MESSAOUDI [email protected] Le vecteur champ gravitationnel est G Sa valeur est donnée par : ǁGǁ = = ǁ𝐹ǁ 𝐹 𝑚 = 𝑮. 𝑚 𝒎𝑇 𝒓2 ǁ⃗𝑭 ǁ en Newton ǁGǁ en N.Kg-1 m en Kg 1.Champ de gravitation créé par un corps ponctuel Un corps ponctuel de masse M, placé en A crée en B un champ gravitationnel G. Un autre corps ponctuel de masse m, placé en B subit une force gravitationnel ⃗𝑭 = 𝒎. G D’après la loi de gravitation universelle, cette force 𝐹 peut s’écrire sous la forme : ⃗𝑭𝑨/𝑩 = − 𝑮. 5 𝒎. 𝑴 𝑨𝑩 𝟐 ⃗𝒖 ⃗ Ahmed MESSAOUDI [email protected] 𝒎. G = − 𝑮. G = − 𝑮. 𝒎.𝑴 𝑨𝑩𝟐 𝑴 𝑨𝑩𝟐 ⃗ 𝒖 ⃗ 𝒖 Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers le corps qui l’a créé, on dit qu’il est “centripète”. La valeur du champ de gravitation est 𝑴 ǁGǁ = 𝑮. 𝑨𝑩𝟐 Elle est indépendante de la masse m du corps ponctuel placé en B. Elle dépend uniquement de la masse M et de AB. Lignes de champ Une ligne de champ gravitationnel est une courbe telle que le champ de gravitation lui est tangent en chacun de ses points. 6 Ahmed MESSAOUDI [email protected] 2.Champ de gravitation créé par un corps à répartition de masse à symétrie sphérique Considérons un corps à répartition de masse à symétrie sphérique de masse M et de rayon R. Le vecteur champ de gravitation créé par ce corps en un point B d'altitude h a pour expression: G(𝒉) = − 𝑮. 𝑴 𝟐 (𝑹+𝒉) ⃗𝒖 ⃗ R et h en mètre. Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers le centre du corps qui l'a créé, il est "centripète". La valeur du vecteur champ de gravitation est ǁ G(h)ǁ= 𝑮. 𝑴 (𝑹+𝒉)𝟐 Elle est indépendante de la masse du corps pouvant être ponctuel ou à répartition de masse à symétrie sphérique et placé en B. Elle dépend uniquement de M, R et h. III.Champ de pesanteur Le vecteur champ pesanteur ⃗𝒈 en un point d’altitude h par rapport à la Terre est donné par la relation : ⃗𝒈 = ⃗𝑷 𝒎 m est la masse du corps ponctuel ou à répartition de masse à symétrie sphérique dont le centre d’inertie est situé au point d’altitude h, mesurée en Kg. ⃗𝑷 est le poids du corps. 7 Ahmed MESSAOUDI [email protected] 1.Relation entre le champ de pesanteur et le champ de gravitation Soit un corps (A) placé à une altitude h par rapport à la Terre. Puisque ⃗𝑭𝑻/𝑨 = ⃗𝑷 ⃗𝑷 = 𝒎. ⃗𝒈 Et ⃗𝑭𝑻/𝑨 = 𝒎.G Equivaut à 𝒎. ⃗𝒈 = 𝒎.G Donc ⃗𝒈 = G = − 𝑮. 𝑴 (𝑹+𝒉)𝟐 ⃗𝒖 M et R: la masse et le rayon de la terre (en m) 𝑴 ǁ⃗𝒈 ǁ = 𝑮. (𝑹 + 𝒉)2 2.Valeur du champ de pesanteur à l’altitude zéro Lorsque l’altitude h = 0, le champ de pesanteur est : 𝑴 ⃗𝒈 𝟎 = −𝑮. 𝟐 ⃗𝒖 𝑹 L’expression de la valeur du champ de pesanteur à l’altitude zéro qui est située au niveau de la surface de la mer est : ǁ⃗𝒈 𝟎ǁ = 𝑮. ǁ𝑔 0ǁ ≃ 9,81 𝑁. 𝐾𝑔−1 est le champ de pesanteur. 8 𝑴 𝑹𝟐
