fascicule d`exams d`electricite – 1ere annee – lmd – st

FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA
TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE
FACULTE DE PHYSIQUE
FASCICULE DES EXAMENS
D’ELECTRICITE
SYSTEME L.M.D: ST ET SM
- A. CHAFA
- A.DIB
- F.CHAFA – MEKIDECHE
- A. DERBOUZ
- F. KAOUAH
- M. HACHEMANE
1
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Introduction
Ce fascicule a été élaboré par une équipe de six enseignants de première
année du système Licence –Master-Doctorat (L.M.D.) spécialité Sciences et
technologie (S.T). Il comporte les différents examens élaborés par cette équipe
entre 2007 et 2014 avec les corrections respectives.
L’équipe est constituée par les enseignants suivants :
A. CHAFA
F. MEKIDECHE – CHAFA
A. DERBOUZ
A. DIB
M. HACHEMANE
F. KAOUAH
L’esprit de ce fascicule est d’aider les étudiants de première année à
apprendre à traiter un sujet de mécanique du point. Il comporte des solutions
ainsi que le barème appliqué pour leur permettre une auto évaluation.
Nous cherchons, à travers ce modeste travail, à montrer aux étudiants que
le module de mécanique n’est pas difficile pour les étudiants qui travaillent
régulièrement. Les différents sujets proposés sont une application du cours avec
des questions de réflexion pour leur permettre de réfléchir et non pas
apprendre des formules.
Nous suggérons la méthode suivante pour traiter un sujet de mécanique
lors d’un examen :
-
Lire le sujet jusqu’au bout avant de commencer à écrire quoi que ce soit.
Souligner les mots clés et qui donnent les informations sur l’exercice.
Commencer par l’exercice qui vous parait le plus simple.
Si vous coincer sur une question passez à autre chose.
Ne perdez pas beaucoup de temps à tout écrire au brouillon.
Relire avant de remettre la copie.
Bonne lecture et bon courage
Les auteurs
2
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Sujet 01
Exercice 1(8 points):
IUn conducteur de forme quelconque homogène, en équilibre
électrostatique, porte une charge Q.
1- Que vaut le champ électrique à l’intérieur de ce conducteur ?
2- Que vaut le potentiel électrique à l’intérieur de ce conducteur ?
3- Où est située la charge Q ?
II- Nous disposons maintenant d’un câble coaxial, cylindrique, constitué de
deux cylindres conducteurs infiniment longs, d’axe oz, séparés par le vide.
Le premier est plein de rayon R1, de potentiel V0 et porte une charge Q1.
Le second est creux, de rayon R2 est relié au sol (voir figure 1)
1- Quel est le signe de Q1
2- L’ensemble étant à l’équilibre, quelle est la charge Q2 de la face interne du
cylindre externe.
3- Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, la direction, le sens et le
module du champ électrique entre les deux conducteurs (R1  r R2).
4-
a- Un utilisant la circulation du champ électrique ( dV  E.dl )
donner l’expression de la charge Q1
b- Déduire l’expression de la capacité du câble coaxial
c- Calculer cette capacité par unité de longueur
5- En appliquant l’expression locale de la loi d’Ohm ( j  E )
donner
l’expression de la résistance de ce câble.
6- Donner la relation liant la résistance à la capacité.
A.N: R1 = 1 mm,
R2 = 3 mm
K
Ln3 = 1.1
1
=9 109 MKSA
40
R2
Q1
R1
Q2
V0
Figure 1
3
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Exercice 2 (8points):
Soit le circuit suivant constitué de deux générateurs réversibles de f.e.m E 1 et
E2 respectivement et de résistance interne r1 et r2 ; un condensateur C
initialement déchargé est monté en série avec une résistance R (Voir figure 1).
K1
r1
E1
E1=8V
E2=5V
C
K2
E2
r2
R
r1=r2=1
C=0.5F
R=1k
Figure 2
1- On ferme K1 et K2 ouvert :
a- Etablir l’équation différentielle régissant la charge de C
b- Trouver la valeur de la charge finale Qf
c- Calculer l’énergie interne du condensateur (Wc)
d- Déduire l’énergie dissipée par effet joule (Wj)
2- On ouvre K1 et on ferme K2
a- Etablir l’équation différentielle régissant la variation de la charge
de C
b- Calculer la constante de temps 
c- Donner la nouvelle valeur de la charge finale Q’f de C.
d- En déduire la quantité de charge transférée.
e- Quel est le rôle du générateur réversible E2. Justifier
Exercice 3 (4 points):
On considère un fil infini parcouru par un courant d’intensité I (voir figure 3) :
1- Déterminer l’expression du champ magnétique
d’induction B crée en un point M.
2- Une charge (+q) passe par le point M avec
une vitesse v parallèle au fil infini
a- Dans quel sens sera déviée cette charge
b- Déterminer le rayon de courbure,, de la
trajectoire suivie par la charge.
v
M
R
I
O
Figure 3
4
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Solution sujet 01
Exercice 1 :
I-
II-
0.5
1- E  0
0.5
0.5
2- V= constante
3- La charge se met sur la face extérieure du conducteur
0.5
1- Q1 est positive
2- Il y a influence totale donc Q2 = -Q1
0.5
1
 Qi  E.2rl  Q1  E(r)  Q1
E.dS


0
0
20 rl
20l
1
1
4a- dV  E.dl  Q1 
V0
Ln(R 2 / R1 )
20l
l
b- comme Q1 = CV0 donc : C 

Ln(R1 / R 2 ) 2K Ln(R1 / R 2 )
1
c- Cl = C/l =
 50 pF
0.5
2.9.109 Ln3
R2
R 
I
I
I
I
5- j  E  
 V0    E.dr 
Ln  2   RI
E
R1
2  R1 
S 2rl
2rl
3-
Donc : R 
6- R.C 
0

 0
R 
1
Ln  1 
2  R 2 
1
1
5
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Exercice 2 :
1- ab
(R  r1 )i 
q
dq
q
E1
 E1 


C
dt (R  r1 )C (R  r1 )
Qf = CE1= 4C
0.5
1
0.5
WC  CQf2  16106 J
2
1
dWJ  WG  WC  16106 J
q'
dq '
q'
E2
2- a- (R  r2 )i'  E 2  0 


C
dt (R  r2 )C (R  r2 )
0.5
b-   (R  r2 )C  5 ms
1.5
c-
c- Qf’ = CE2 = 2.5 C
d- Q  Q  Qf  1.5 C
'
f
1.5
0.5
1
e- Q  0  C se décharge et E2 joue le rôle de récepteur
1
Exercice 3
12-
0 Idl  u
I
2
B 0
2
4 r
2R
a- F  qv  B en appliquant la règle de la main droite, la charge est déviée
dB 
vers le bas
1
b- F  v  W  0  v  cons tan te  mouvement circulaire uniforme
v2
mv

F = maN  qvB  m

qB
1
6
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Sujet 02
Exercice 1 :
Soient trois charges ponctuelles QA, QB et QC placées aux sommets d’un triangle
équilatérale ABC de côté a (Figure 1).
1- Déterminer et représenter le vecteur champ électrique crée par ces trois
charges au centre O du triangle.
2- Calculer le potentiel crée par ces trois charges au point O
3- Calculer l’énergie interne du système des trois charges.
4- On place au point O une charge Q0 déduire la force et l’énergie potentielle
en ce point.
5- Quel est le travail nécessaire pour emmener la charge Q0 du point O à
l’infini.
On donne : QA = -2q , QB = q, QC = q , Q0 = -3q avec q = 1 nC et a = 3 cm.
A Q
A
a
a
O
QC
C
QB
B
a
Figure 1
Exercice 2 :
Un fil de longueur L, de densité linéique 1, porte une charge Q. Il est placé
suivant l’axe des y (figure 2).
1- Donner l’expression des composantes du champ électrique crée par ce fil
au point M situé sur l’axe des x, tel que OM = x, en fonction de 1 et 2.
1

2- Montrer que ce champ s’écrit E  2 x i lorsque le fil devient infini
0
3- On place maintenant un second fil infini, de densité linéique 2, à une
distance d du premier fil (figure 3). Donner l’expression du vecteur champ
électrique crée par ces deux fil en un point M situé à un distance x du
premier fil.
7
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4- Si x = d/2 et 1 = -2 = , on place un dipôle p , mobile autour de son milieu,
au point M faisant un angle  avec l’horizontale.
a- Donner l’expression du moment du couple du dipôle dans ce champ
électrique E au point M.
b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle
c- Quel est le travail nécessaire pour que ce dipôle arrive à sa position
d’équilibre stable.
y
d
L
1
2
O
M
x
x
x
M
Figure 2
Figure 3
8
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Corrigé sujet 02
Exercice 1 :
1- Champ électrique au point O : OA = OB = OC = a
3
= 1 cm
3
E0  E A  EB  EC
KQA 6 Kq
 2  18 104 V / m  2 EB  2 EC ( 1 cm ----- 9 104 V/m)
OA2
a
E

E
cos 30  EB cos 30  0 V / m

C
 0x
E0  
4

 E0 y  E A  EC sin 30  EB sin 30  E A  EC  3 EC  27 10 V / m
EA 
A Q
A
EO
EA
a
a
EB
QC
C
O
EC
a
QB
B
K
(QA  QB  QC )  0 V
OA
KQAQB KQAQC KQBQC K
5 Kq 2
3- Energie interne : U 


 (2q 2  2q 2  q 2 ) 
AB
AC
BC
a
a
-7
U= 2.89 10 Joules
4- Force et énergie potentielle :
F0  Q0 E0  F0  8.1 104 N et E p 0  Q0V0  0 J
2- Potentiel au point 0 : V0 = VA + VB + VC =
5- Travail entre O et l’infini :
W  E p  Q0 V  Q0 (V0  V )  0 Joules
Exercice 2 :
1- Champ crée par le fil au point M :
dE 
 dE x  dE cos 
Kdq
K  dy

u
u
2
2
r
r

 dE y   dE sin 
On exprime tout en fonction de alpha
9
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x
x
y
x
r
et tg   y  xtg  dy 
d donc :
r
cos 
x
cos 2 
K  dy
K

 dE x  dE cos   r 2 cos   x cos 

 dE   dE sin    K  dy sin    K  sin  en intégrant entre 1 et 2 on a :
 y
r2
x
cos  
Ex 
K
(sin  2  sin 1 ) et
x
Ey 
K
(cos  2  cos 1 )
x
y
L
r
1
2
M
O

dE y
2- Si le fil est infini donc 1   
Ex 
x
dE x
2
et 1  
2K 


x
2 0 x
2
et
dE
et enfin :
Ey  0
d
3- Champ crée par les deux fils :
E M  E1  E2  E M  E1  E2 
1
2

2 0 x 2 0 (d  x )
4- Si x = d/2 et 1 = -2 = , on a :


2
E M  E1  E2 


 0 d  0 d  0 d
5- a – moment du couple :
  p  EM    pEM sin
b- Energie potentielle :
E p   EM  p  E p   pEM cos 
c-Travail entre position initiale et finale :
W  E p  E pi  E pf  pEM (1  cos )
x
E2
x
M
E1
Figure 3
10
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Sujet 03
Exercice 1 :(7 points)
Deux charges ponctuelles QA et QB fixes
respectivement aux points A et B comme l’indique la figure 1.
sont
placées
1. Déterminer le vecteur champ électrique E0 au point O.
2. On ramène une troisième charge QO depuis l’infini jusqu’à l’origine O.
Quelle est l’énergie interne du système ainsi constitué par les trois charges.


3. La charge Q0 est remplacée par un dipôle p  10 14 i (C.m) figure 2.
i) Déterminer le moment du couple et l’énergie potentielle du dipôle dans
cette position.
ii) Calculer le travail nécessaire pour ramener le dipôle à sa position
d’équilibre stable.
Données:
AB = 30 cm
Q0 = - 10-6 C
OA = 20 cm
OB = 15 cm
-6
QA = - (16/3) .10 C
QB =
Y
 = 30 °
3.10-6 C
Y
QA
A
QA
A

O
Q0


j
QB

i
B
Figure 1
QB
X
p
X
B
Figure 2
11
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2:(13 points)
Le circuit électrique de la figure 3 est constitué d'un générateur
de f.e.m E, de quatre résistances R1, R2, R3 et R4 et de deux condensateurs C1,
C2.
Partie I:
A t = 0, le condensateur C1 est complètement déchargé, on ferme
l'interrupteur K1, K2 reste ouvert.
1- a- Ecrire l'équation
condensateur.
différentielle
régissant
la
charge
q1(t)
du
b- Donner l'expression de la charge q1(t) de ce condensateur.
Préciser la constante de temps 1 et la charge finale Q1f.
2- Le condensateur C1 étant complètement chargé, donner la valeur des
courants dans chaque branche du circuit.
Partie II:
K1.
On ferme l'interrupteur K2 et on ouvre, instantanément, l'interrupteur
1- Le condensateur C1 va-t-il se charger ou se décharger, justifier.
2- Ecrire l'équation différentielle régissant la charge q2(t) du condensateur
C2.
3- Donner l'expression de sa q2(t). Donner les valeurs de 2' et Q2f'.
4- Quelle est la charge finale de chaque condensateur (état d'équilibre).
Données :
R1 = R2 = 2R = 100 
R3
E
K1
R4
C1 = 2C2 = 2F
R1
K2
C1
E = 12 Volts.
R2
C2
12
Figure 3
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Corrigé Sujet 03
Exercice 1: (07 points)
Y
1- Champ électrique au point O:



EO  E A  E B avec : E A  E B  1.210 6 V / m

EO
Et enfin EO  2.08 10 6 V / m
0.5
cos  
EOy
EOx
   30
QA
A
EA

0.5
0.5
 
j

i

EB
0.5
QB
X
B
1
2- Energie Interne du système:
KQ AQB KQ AQO KQO QB


 0.42 Joules
AB
AO
OB
  
3- a- moment du couple :   p  EO    pEO sin   1.04 10 4 N .m
 
b- Energie potentielle: E p   p.EO  E p  pEO cos   1.8 10 4 Joules
U
1
4- W  E P
f
i
 E p i   E P  f   0.28 10 4 Joules .
1
1
1
Exercice 2:(13 points)
Partie I: K1 fermé.
0.5
1) a- i 3
R3
avec i1 t   
 i 4  i1
0.5
R 3i 3  R 4 i 4  E  0
0.5
R 1i1 
dq1 t 
dt
i3
K1
R1
i1
i4
C1
R4
E
0.5
q1
 R 4i 4  0
C1
D'où l'équation différentielle:
R3  R4
dq1 t 
q t 
R4

. 1 
E
dt
R 1R 4  R 1R 3  R 3 R 4 C1
R 1R 4  R 1R 3  R 3 R 4
b-la résolution de l'équation différentielle conduit à la solution:

q1 t   Q 1 f 1  e t / 1
0.5

avec Q1f 
1.
5
R R  R R  R 3R 4
R4
C1E et 1  1 3 1 4
C1
R3  R4
R3  R4
0.5
0.5
13
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
2) C1 complètement chargé
 i1  0 et i 3  i 4 
0.5
E
R3  R4
0.5
K2
Partie II: K2 fermé et K1 ouvert.
R2
1) C1 se décharge dans le condensateur C2 car
la tension VC1 est supérieure à VC2.
C1
1
2) Loi de la maille:
q (t) q (t)
R 2 i( t )  2  1  0
C2
C1
avec :
et
dq1 ( t ) dq 2 ( t )

dt
dt
q1 (t )  q 2 (t )  Q1f
0.5
0.5
dq 2 ( t ) C1  C 2
Q

q 2 ( t )  1f
dt
R 2 C1C 2
R 2 C1
D’où :
i(t)
0.5
i( t )  
C2
1
3) la résolution de l'équation différentielle conduit à la solution:

q 2 t   Q 2f 1  e t / 2

avec Q 2f 
0.5
C2
CC
Q1f et  2  1 2 R 2
C1  C 2
C1  C 2
0.5
0.5
4) Relation entre les charges des deux condensateurs à l'équilibre:
VC' 1

VC' 2
D’où: Q1 
'
Q1' Q '2 Q1'  Q '2
Q1f




C1 C 2 C1  C 2 C1  C 2
C1
Q1f
C1  C 2
0.5
et
Q '2 
1
C2
Q1f
C1  C 2
0.5
14
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Sujet 04
Exercice 1 :(06 points)
Soient trois charges électriques ponctuelles placées sur trois sommets
d’un carré de côté a (figure 1)
q
a
M
M
a
q
P
M
Figure 1 a
q’
q
a
Figure 2
q’
q
1- Déterminer le champ électrique E et le potentiel V crées par ces charges
au point M. On donne : a = 1 cm, q’ = 2 nC et
2- Un dipôle électrique de moment dipolaire
q 
q'
4 2
.
p (p = 3 10-29 C.m) est placé au
point M du carré (figure 2). En admettant que ce dipôle est mobile autour
de son centre :
a- Déterminer et calculer le moment du couple
dipôle.
b- Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle.
C auquel est soumis ce
Exercice 2 :(06 points)
La figure 3 représente un condensateur sphérique formé
conducteurs A (de rayon R1) et B (de rayons R2 et R3).
de deux
B
R1
R3
A
R2
V
15
Figure 3
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
1. Représenter la répartition de charge sur les conducteurs A et B.
2. Déterminer le
( R1  r  R 2 ).
champ
électrique
à
l’intérieur
du
condensateur
3. Trouver l'expression de la différence de potentielle entre les deux
conducteurs.
4. Déduire la capacité de ce condensateur.
Exercice 3 :(08 points)
Le circuit électrique suivant est constitué d’un générateur réversible E1,
de deux capacités C1 et (C2 ainsi que quatre résistances. On donne :
E1
C1
C2
R
R
r1
R
E1 = 5V,
r1 = 1 ,
C1 = 4 F,
R=2
C2 = 4 F ,
1- Les condensateurs C1 et C2 sont complètement chargés. Déterminer les
courants dans les différentes branches.
2- Déduire les charges et les tensions de chaque condensateur.
3- On suppose maintenant que C1 et C2 sont complètement déchargés. Ecrire
l’équation différentielle régissant la charge du condensateur équivalent C.
4- Donner l’expression de la charge de C en fonction du temps en précisant
les valeurs de la charge finale Qf et la constante de temps .
5- Quelle est l’énergie emmagasinée dans C
16
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé Sujet 04
Exercice 1 : (06 points)
1- Champ et potentiel au point M :
0.5

champ :
E M  E q  E q  Eq '
0.25
0.25
0.5
avec :
0.5
q
Kq
Kq '
 3.18 104V / m et Eq '  2  9.104V / m
2
a
2a
1

2Kq '
E x  Eq ' cos 45  Eq 
Kq '
8a 2
EM  
 EM 
 4.5.10 4V / m
2
4
a
E  E sin 45  E  2Kq '
q
q'
 y
0.5
8a 2
 Potentiel : VM  Vq Vq Vq '  2Vq Vq '
a
Eq 
VM 
2Kq
a

Kq '
Kq '

 636.4V
a 2 2a 2
2- a- Moment du couple :
0.5

4
M
q’
q
0.5
C  p  EM  C  pEM sin
E p   p .EM  E   pEM cos
Eq M
EM
M
E qM
a
0.5
b- Energie potentielle :
Eq '

4
 9.55 1025 N .m
 9.55 1025J
0.5
0.5
1
Exercice 2 :(06 points)
1- représentation des charges
2- Champ électrique entre R1 et R2 , en utilisant le théorème
de Gauss pour une sphère on a :
1.5
0.5
 E.dS 
Q

int
 E.4r 2 
Q
Q
E
ur

4r 2
3- Différence de potentiel entre A et B :
0.5
1.5

0
R
(R  R 1 )
dV  E.dl  V dV   R 2 Edr  V  2
Q
1
4 R 1R 2
4- Déduire la capacité :
V
RR
Q
 C  4 1 2
C
R 2  R1
C
0.5
17
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 3 :(08 points)
E1
C1
C2
R
r1
R
R
1
1- Courants dans les différentes branches.
C1 et C2 Chargés donc ic = 0 il ya une seule maille et
i  i1 
0.5
E
 1A
2R  r
2- Déduire le condensateur équivalent C. Quelle sa charge et sa tension.
-E + r1i + Vc = 0
0.5
 Vc = E-r1i = 4 Volts et Q0 = CVc = 8C= Q1 = Q2
VC1 
Q1
 2V
C1
et
VC2 
Q2
 2V
C2
0.5 + 0.5
0.5 + 0.5
3- Equation différentielle régissant la charge du condensateur équivalent C.
Loi des Nœuds:
i = i 1 + ic
0.25
Loi des Mailles:
E  2Ri1  ri1  0
E  ri1 
on remplace i1 = i-ic
On a:
2Ri1  ri1  E

q
q
 Ric  0 ri1   Ric  E
C
C
dq
(r1  2R )
2RE

q
dt (3r1  2R )RC
(3r1  2R )R
0.25
0.5
1
4- Donner l’expression de la charge
q (t )  Qf (1  e t / ) avec : Qf 
0.5
5- Energie emmagasinée dans C.
2REC
R (3r1  2R )C
 8 C et  
 5.6s
(r1  2R )
(r1  2R )
1 Qf
2R 2E 2C
E 

 8.106Joules
2
2 C
(r1  2R )
2
0.5
0.5
0.5
18
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 05
Exercice 1 :(09 points)
On considère un fil de longueur L uniformément chargé, de densité linéique 
positive. Il est placé suivant l’axe des y tel que montré sur la figure 1.
5- Montrer que les composantes du champ électrique crée par ce fil au point
M situé sur l’axe des x, tel que OM = L, sont :
K
K
Ex 
(sin  2  sin 1 ) et E y 
(cos  2  cos 1 ) (03 pts).
L
L
6- Un second fil identique au précédent est placé parallèlement suivant O’y
tel que O'M=L (Figure 2). En utilisant le résultat de la première question,
donner l’expression du champ E crée par les deux fils au point M (01 pt).
7- Que devient ce champ électrique si 1 = 0 et 2 = /4 (01 pt)
8- On place, maintenant, un dipôle p au point M, mobile autour de son milieu et
faisant un angle  avec l’horizontale (figure 2).
a- Donner l’expression du moment du couple M du dipôle placé dans le
champ électrique au point M en fonction K, , L, p et . (01 pt)
b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle Ep de ce dipôle (01
pt)
c- Quel est le travail nécessaire, W, pour que ce dipôle arrive à sa
position d’équilibre stable. (1 pt)
d- Calculer M , Ep et W si p = 10-15 C.m,  = 10-7 C/m , L = 2 cm et  =
/3 rd (01 pt)
y
y
Figure 2
Figure 1
L
O
2
1
L
M
L
x
O
L
2
1
M 
L
P
x
L
O’
19
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 :(11 points)
Soit le circuit électrique suivant. Il est constitué de deux générateurs
réversibles, d’un récepteur pur, d’un condensateur et de résistances.
I1
1
2r
2E
I2
K
I3
2r
8r
2A
2r
8r
E
2r
r
B
C
r
e
On donne :
E= 25 V, r = 0.5 k et C = 2 F
Les partie I et II sont indépendantes
I-
On met l’interrupteur K en position 1.
1- Déterminer les expressions des courants qui circulent dans chaque
branche en fonction de E, e et r (03 pts)
2- Quelle est la condition pour que le circuit fonctionne. (01 pt)
3- Donner les valeurs des courants pour e = 30 Volts. (01.5 pt)
4- Déterminer le rendement du récepteur dans ce cas.(0.5 pt)
II-
On met l’interrupteur en position 2
A t = 0 s le condensateur est déchargé
1- Déterminer le résistance équivalente RAB entre Les points A et B. (01 pt)
2- Donner l’équation différentielle régissant la charge du condensateur C. (2
pts)
3 – Déduire l’expression de la charge q(t) en fonction du temps. (01 pt)
4- Préciser les valeurs de la charge finale et de la constante de temps . (01
pt)
20
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé sujet 05
Exercice 1 : (09 points)
1- Champ électrique crée par le fil :
y

K dl
dE x  dE cos 


r2

dE y  dE sin 
L
L
d
Avec : r 
et dl 
cos 
cos2 
dE 
Figure 1
L
r
2
1
O
L
M
dE x x
x
dE y
1.5
K
K

E

cos

d


(sin


sin

)
x
2
1

L
L
E 
E   K  sin  d   K  (cos   cos  )
2
1
 y
L
L

dE

x
x
1.5
2- Champ crée par les deux fils, par symétrie on a :
E x  0
0.5

E 
2K 
E y  L (cos 2  cos 1 )
3- si 1 = 0 et 2 = /4 on a :
4- l’angle ( p , E ) 

2
E 
0.5
K
( 2  2) j
L

Kp 
( 2  2) cos 
L
Kp 
( 2  2) sin 
donc : b  E p   p E  E p  
L
Kp 
c  W  E p 
( 2  2)(1  sin  )
L
a
1
M  p E  M 
d- A.N : M= -2.63 10-11 N.m ;
Ep = - 4.528 10-11 J ;
1
1
1
W= - 0.7 10-11 J
1
21
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 : (11 points)
Partie I : 1- Expressions des courants :
Loi des nœuds :
I1
2r
I2
2E
I3
2r
E
2r
r
e
Loi des mailles :
I1  I2  I3
3rI1  2rI2  2E  e  0
2rI3  2rI2  e  E  0
On obtient :
I1 
6E  2e
;
16r
I2 
7E  5e
;
16r
I3 
2- Pour que le circuit fonctionne il faut que I2 > 0 donc : e < 35 Volts
3e  E
16r
1
3x1
I1  11.25 mA; I2  3.125 mA; I3  8.125 mA
P
e
4- Rendement du récepteur : R  u 
 90.5%
0.5
Pf e  rI2
3x0.5
3- A.N :
A
Partie II :
B
RAB=6r
E
2r
C
1- Résistance équivalente : RAB  2r 
2- Loi des nœuds :
i  ic  i2
8r * 8r
 6r
16r
6ri  q  2r  E  0

C
Loi des mailles : 
 q  ri2  0
 C
dq
9q
E


Equation différentielle :
dt 8rC 8r
q (t )  q1 (t )  q2 (t )  Qf (1  exp(t /  ))
EC
8rC
 5.55C

 089s
4- Qf 
3- Solution :
9
0.5
r
1
0.5
2
0.5
9
0.5
22
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 06
Exercice 1 :(12.5 points)
Soit le circuit électrique suivant. Il est constitué de deux générateurs
réversibles, d’un récepteur pur, d’un condensateur et de résistances.
I1
1
2r
2E
I2
2r
K
8r
2A
I3
2r
8r
E
2r
r
B
C
r
e
On donne :
E= 25 V, r = 0.5 k et C = 2 F
Les partie I et II sont indépendantes
III- On met l’interrupteur K en position 1.
5- Déterminer les expressions des courants qui circulent dans chaque
branche (03 pts)
6- Quelle est la condition pour que le circuit fonctionne. (01 pt)
7- Donner les valeurs des courants pour e = 30 Volts. (01.5 pts)
8- Déterminer le rendement du récepteur dans ce cas. (0.5 pts)
IV- On met l’interrupteur en position 2
A t = 0 s le condensateur est déchargé
1- Déterminer le résistance équivalente RAB entre Les points A et B. (01 pt)
2- Donner l’équation différentielle régissant la charge du condensateur C.
(03 pts)
3 – Déduire l’expression de la charge q(t) en fonction du temps. (0.5 pts)
4- Préciser les valeurs de la charge finale et de la constante de temps . (02
pts)
23
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 :(07.5 points)
Soit une portion de fil rectiligne parcourue par un courant I. Les
extrémités sont repérées par les angles 1 et 2 pare rapport à un point M situé
à une distance r du fil (Figure 1).
1- Montrer que le champ magnétique crée par ce fil au point M s’écrit :
 I
B  0 (sin 1  sin  2 ) (03 pts)
4 r
2- Quels sont le sens et la direction de ce champ. (01 pt)
3- Retrouver l’expression de champ crée par un fil infini. (01 pt)
4- Déduire le champ crée au centre O d’une spire carrée de coté L,
parcourue par un courant d’intensité I (Figure 2). (02.5 pts)
L
I
r
2
1
Figure 1
L
O
M
Figure 2
24
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé sujet 06
Exercice 1 : (12.5 points)
Partie I : 1- Expressions des courants :
Loi des nœuds :
I1
2r
I2
2E
I3
2r
Loi des mailles :
E
2r
r
obtient : I1 
e
6E  2e
;
16r
I1  I2  I3
3rI1  2rI2  2E  e  0
2rI3  2rI2  e  E  0
On
I2 
7E  5e
;
16r
I3 
3e  E
16r
3x1
2- Pour que le circuit fonctionne il faut que I2 > 0
1
donc :
3- A.N :
e < 35 Volts
I1  11.25 mA; I2  3.125 mA; I3  8.125 mA
4- Rendement du récepteur :
R
Pu
e

 90.5%
Pf e  rI2
A
Partie II :
3x0.5
0.5
B
RAB=6r
E
2r
5- Résistance équivalente : RAB  2r 
6- Loi des nœuds :
i  ic  i2
C
r
8r * 8r
 6r
16r
6ri  q  2r  E  0

C
Loi des mailles : 
 q  ri2  0
 C
1
1
25
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Equation différentielle :
7- Solution :
8-
Qf 
dq
9q
E


dt 8rC 8r
2
q (t )  q1 (t )  q2 (t )  Qf (1  exp(t /  ))
EC
 5.55C
9

0.5
8rC
 089s
9
1
1
Exercice 2 :(07.5 points)
1- Champ magnétique crée par un fil parcouru par un courant I :
0 Idl  u
 Idl
 dB  0 2 sin 
2
0.5
4
R
4 R
Avec : sin   cos  donc on a :
Idl
r
r
l
r
cos    R 
et tg   dl 
d
R
cos 
r
cos2 
dB 
En remplaçant on obtient :
dB 
0 I
cos  d   B 
4 r

2
1
dB 
B  Bk
0I
L
2

2
1
M
B
R
Figure 1
1
et r  L /2  B1 
2
r
1
4- Champ crée au centre de la spire :
Pour une partie du fil on a :
Et pour les quatre fils (superposition) on a :
R
I
0I
(sin 2  sin 1 )
4 r
I
1    2 et 2    2  B  0
2 r
B  4B1  2
u
2.5
2- Le champ B est rentrant suivant oz :
3- Champ crée par un fil infini :
1    4 ,  2    4

0I
2
2 L
L
0.5
L
 /4 O
L
Figure 2
26
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 07
Exercice 1 (6 points)
Un quart de cercle porte une charge électrique uniformément
répartie de densité linéique Le centre C de ce quart de cercle,
y
de rayon R, est situé au point de coordonnées
, voir
figure ci contre
R
On donne
et
.

1. Calculer le potentiel électrique créé par cette distribution au
dq
point C. (1pt)
2. Calculer les composantes Ex et Ey du champ électrique créé
par cette distribution au point C. (2pts)
3. Quel travail doit-on fournir pour ramener une charge
ponctuelle
de l’infini jusqu’au point C ? (1pt)
4. On enlève la charge q et on place un dipôle
où
. Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle. (1pt)
5. Calculer le moment du couple qui lui appliqué. (1pt)
C
R
x
Exercice 2 (7 points)
A
C
On considère deux conducteurs plans, A et C, portés à
B
une différence de potentiel V = VA-VC. On interpose
S
entre eux un autre conducteur cubique B plein (voir
G
figure). Les trois conducteurs, initialement neutres et
x1
x2 x3
0
séparés par du vide, sont à l’équilibre et en influence
totale. Leurs surfaces en regard sont parallèles, égales à S et situées aux points
xA = 0, xB1 = x1, xB2 = x2 et xC = x3. Le conducteur A porte la charge Q > 0 avec
une densité 
On donne : x1 = 1 mm, x2 = 3 mm, x3 = 5 mm, S = 4 cm2 et 2,95 10-12 C/cm2.
1. Calculer la charge sur chaque surface en justifiant son signe. (1.5pts)
2. a. Représenter le vecteur champ électrique
et les éléments de surface
sur la surface de Gauss cylindrique SG (représentée en tirets sur la figure). (1pt)
b. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ E1 entre
les conducteurs A et B (pour 0 < x < x1) en fonction de la densité de charge .
Calculer sa valeur. (1.5pts)
c. Donner sans calcul l’expression du champ E2 entre B et C (pour x2 < x < x3).
(1pt)
3. Déduire, des résultats de la question 2, la différence de potentiel V = V A-VC
en fonction de x1, x2, x3
(1pt)
4. Trouver l’expression et calculer la capacité du condensateur équivalent au
trois conducteurs. (1pt)
27
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Solution sujet 07
Exercice 1
1.
et
avec
2.
donc
et
. (1)


(1)
et

3.
4.
(1)

(1)
(vecteurs antiparallèles)
(1)
5.
(vecteurs antiparallèles) (1)
Exercice 2
1. Charge sur le conducteur A :
Surface
x1
x2
Charge
-Q
Q
Justification Influence totale
Conservation de la
entre A et B
charge nulle de B
(0.25)
(isolé)
(0.5)
(0.5)
x3
-Q
Influence
totale entre B
et C (0.25)
2.a. et 2.b Théorème de Gauss entre A et B (pour 0 < x < x1):
 (0.5)
A
’ (0.5)
.
(0.5)
2.c. Entre B et C (Pour x2 < x < x3 )
est constant et ne dépend ni de x1 ni de S. Le
champ
aura donc la même expression
(1)
3.

0

B

C
S’


x1
(1 pt ou 0)
x2 x3
(0.5)
A l’intérieur du conducteur B (pour x1 < x < x2) Eint = 0 et
.
(0.5)
4.

(0.5) 
(0.5)
28
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 08
Exercice 1 :(07 points)
La figure 1 représente un condensateur sphérique formé de deux
conducteurs A (de rayon R1) et B (de rayons R2 et R3) séparés par un milieu
isolant de permittivité  et résistivité ρ.
B
R1
R3
5.
A
V
R2
Figure
1
Représenter la répartition de charge sur les conducteurs A et B.
6. Déterminer le
( R1  r  R 2 ).
champ
électrique
à
l’intérieur
du
condensateur
7. Trouver l'expression de la différence de potentielle entre les deux
conducteurs.
8. Déduire la capacité de ce condensateur.
9. En utilisant la loi de joule locale (
j  E ),
déterminer la résistance de
fuite.
10. Quelle relation lie la capacité à la résistance de ce condensateur.
Exercice 2:(04 points)
Un conducteur cylindrique de cuivre, de section s = 1 mm2 et de longueur
L = 10 m, est parcouru par un courant constant de 5 A.
1. Calculer le module du vecteur densité de courant.
2. Calculer le nombre d’électrons libres par unité de volume sachant qu’un
atome de cuivre libère un électron.
On donne :
La masse atomique du cuivre M = 64 g, sa masse volumique
Cu = 8900 kg/m3 et le nombre d’Avogadro N = 6.023.1023.
3. Calculer la valeur de la vitesse de dérive des électrons libres.
29
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 3:(09 points)
Nous réalisons le groupement de condensateurs donné sur la figure 2.
1. Calculer la capacité équivalente C de ce groupement
2. Déterminer la d.d.p et la charge aux bornes de chaque condensateur.
K
A
C1
(VAVB)
C3
C2
E
R
C4
r
B
Figure 2
Données :
C
Figure 3
C1 = 6 µF ; C2 = 3 µF ; C3 = C4 = 4 µF, VA – VB = 100 V,
E = 101V, r = 1 Ω et R = 100 Ω,
Nous considérons, maintenant, le réseau électrique de la figure 3,
contenant un générateur de f.e.m E et de résistance interne r, du condensateur
équivalent C, d’une résistance R et d’un interrupteur K.
I. En régime transitoire :
Le condensateur C est initialement déchargé, à t = 0 s on ferme K,
déterminer :
a) L’équation différentielle régissant l’évolution de la charge du condensateur.
b) La loi d’évolution de la charge q (t) du condensateur C.
c) En déduire les valeurs de la charge finale Qf et de la constante de temps
du circuit
II. En régime permanent (C est complètement chargé) déterminer :
a) Le courant qui circule dans chaque branche du circuit.
b) La charge du condensateur C.
c) L’énergie emmagasinée dans le condensateur.
30
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé Sujet 08
Exercice 1 :(07 points)
5- représentation des charges
0.5
6- Champ électrique entre R1 et R2 , en utilisant le théorème
de Gauss pour une sphère on a :
 E.dS 
Q

int
 E.4r 2 
Q
Q
E
ur

4r 2
1
7- Différence de potentiel entre A et B :

0
R
(R  R 1 )
dV  E.dl  V dV   R 2 Edr  V  2
Q
1
4 R 1R 2
V
8- Déduire la capacité :
9- Résistance de fuite :
j
RR
Q
 C  4 1 2
C
R 2  R1
1
1
0.5
R2
I
I
I
I
I 1
1 
I (R 2  R1 )
 E  E 


V




R1  4r 2 4  R R  4 R R
S
S  4r 2
2 
1 2
 1
V  RI  R 
Comme :
(R 2  R1 )
4R1R 2
R.C 
10-Relation entre C et R :
1
1

 

1
Exercice 2 :(04 points)
I
j   j  5.106 A / m 2
s
1- Vecteur densité de courant :
1
2- Nombre d’électrons libres par m3 :
NM V
6.0231023.8900
n
n
 8.37 1028 e  / m3
3
M
6410
j
j  nev  v 
 v  3.73104 m / s
ne
3- Vitesse de dérive :
1.5
1.5
Exercice 3 :(09 points)
C
CC
C1C2
 3 4 C
C1  C2 C3  C4
4 F
1- Capacité équivalente :
2- Charge et d.d.p de chaque condensateur :
1
31
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
C1C2
(VA  VB )  2.104 C
0.25+0.25
C1  C2
CC
0.25+0.25
Q3  Q4  3 4 (VA  VB )  2.104 C
4x0.25
C3  C4
Q
Q
Q
Q
V1  1  33.3V V2  2  66.7V V3  3  50V V4  4  50V
C1
C2
C4
C3
,
,
Q1  Q2 
I-
a- Equation différentielle :
Loi des nœuds :
Loi des Mailles :
i  iR  ic
0.5
ri  Ri R  E et
dq R  r
E

q
RrC
r
D’où : dt
q
 Ri R  0
C
1.5
b- Equation de la charge : q( t )  Q f (1  e
c- Charge finale et constante de temps :
Qf 
II-
RCE
 4104 C
rR
0.5
et

t / 
0.5
)
rRC
 3.96106 s
Rr
0.5
0.5
a – Courant dans chaque branche : C chargé  Ic = 0 et
E
1A
0.5
rR
4
b- Charge Qf  C(E  rI)  CRI R  4 10 C
I  IR 
c- Energie emmagasinée :
1 Qf2
W
 0.02 J
2 C
0.5
0.5
0.5
32
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 09
Exercice 1 (7 points)
Un quart de cercle, AB, de centre O et de rayon R, porte une charge
électrique uniformément répartie de densité linéique (figure 1).
y
A
R d
dq
Figure 1
x
O
B
On donne = 2×10-12 C/cm et R = 3 cm.
1. Calculer le potentiel électrique créé par cette distribution au point O. (1.5pt)
2. Calculer les composantes Ex et Ey ainsi que le module E du champ électrique
créé par cette distribution au même point O. (2.5pts)
3. Quel travail doit-on fournir pour ramener une charge ponctuelle q= 1.6×10-9 C
de l’infini jusqu’au point O ? (1pt)
4. On enlève la charge q et on place au point O, un dipôle p  p(i  j ) avec p =
1.6×10-15 C.m. Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle. (1pt)
5. Calculer le moment du couple qui lui appliqué. (1pt)
Exercice 2:(04 points)
Une charge ponctuelle Q est placée au centre d’un conducteur sphérique
creux initialement neutre et isolé. Les rayons intérieur et extérieur de ce
conducteur sont respectivement R1 et R2 (figure 2).
1- Représenter en justifiant la répartition des charges sur le conducteur
quand le système est à l’équilibre électrostatique (1.5 pts).
2- Déterminer le champ électrique dans les trois régions r < R1, R1< r < R2 et r
> R2
(2.5
pts)
R2
R1
Q
Figure 2
33
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 3 :(09 points)
On considère le montage ci-dessous où le condensateur C est initialement
déchargé (figure 3).
R1
E
R2
R3
Données : E = 12 V ; C = 1 F ;
R1 = 1 k, R2 = 2 k ; R3 = 5 k
C
Figure 3
1) Etablir l’équation différentielle régissant l’évolution de la charge de ce
condensateur au cours du temps. Montrer que l’on peut la mettre sous la
forme :
dq 1
 qA
dt τ
Donner les expressions de A et  et les calculer. (3.5 pts)
2) Trouver l’expression de la charge en fonction du temps. (2 pts)
3) Le condensateur étant entièrement chargé en déduire le courant circulant
dans chaque branche. (1.5 pts)
4) Calculer, dans ce cas la charge finale du condensateur. (1 pt)
5) En déduire l’énergie emmagasinée dans le condensateur. (1 pt)
34
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé sujet 09
Exercice 1 :(07 points)
y
 /2
K dl
K 
1- Potentiel : dV 
; dl  Rd  et V 
K d  
0
R
2 A

R
/2
K dl
K
K 
Ou encore dV 
; et V 
dl 
0
R
R
2
R
dE
O
0.5

1
x
A.N : V= 2.83 Volts


0.5
2- Champ électrique :
dE
avec : dEX  dE cos  et dE X  dE sin 
K dl
R2
0.5
 /2 K 
K

E


cos

d





60
V
/
m
 X
0 R
R
 E X  EY 

 /2 K 
K

E  
0 R sin d    R  60V / m
 Y
0.5
0.5
et E  2EX  84.85V / m
dE 
0.5
3- Travail : W  E p  q V  qVO  W = 4.53 10-9 J
4- Energie potentielle :
E p   p .E  2pE
car : ( p , E )    Ep =
1.92 10-13 J
5- Moment du couple : M 
0.5
p  E  M  0 N.m
0.5
Exercice 2 :(04 points)
0.25
Qe
0.25
1- Nature des charges :
- charge intérieure : Qi = -Q (car influence totale)
- charge extérieure : Qe = - Qi = Q (conservation de la charge)
0.25
2- Champ électrique :

0.5
0.5
0.5
Théorème de Gauss :
B
dE y
E .dS 
Qi
R
2
Q
R
1
0.25
Q
int
0.5
avec :
0
0.5
 E .dS   E .dS  E  dS  E .4 r
Q
0.5
- r < R : Q  Q  E 
4 r
0.5
- R < r < R : Q  Q  Q  0  E  0
Q
- r > R : Q  Q  Q  Q  Q  E 
4 r
0.5
2
1
1
int
2
2
1
i
int
int
0
i
2
2
e
3
0
2
0.5
35
x
0.5
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 3 :(09 points)
1- Equation différentielle :
-
loi des nœuds :
0.5
i1  i2  i3    (1)
et
i3 
dq
dt
 E  R1i1  R2i2  0    (2)

- loi des mailles : 
en
q

R
i

R
i


0



(3)
22
 3 3
C
remplaçant (1) dans (3)
A.N :
E
C
0.5
1
dq
(R1  R2 )
R2E

q
dt (R1R2  R1R3  R2R3 )C
(R1R2  R1R3  R2R3 )
on a :
donc :
0.5
A
R2E
et
(R1R2  R1R3  R2R3 )
A= 1.41 mA

0.5
(R1R2  R1R3  R2R3 )C
(R1  R2 )
et
 = 5.67 ms
2- Equation de la charge q(t) : q (t )  q1 (t )  q2 (t )
dq
R EC
 0 et q1  2
dt
(R1  R2 )
-
Solution particulière :
-
Solution sans second membre :
dq 1
dq
dt
 q 0

 q2 (t )  Ke t /
dt 
q

R2EC
La solution est donc : q (t ) 
 Ke t /
(R1  R2 )
0.5
R2EC
En posant à t = 0 q(0)=0 on a : K  
et
(R1  R2 )
R EC
q (t )  2
(1  e t / )
(R1  R2 )
0.5
E
3- C chargé i3  0 et i1  i2 
 4 mA
R1  R2
Q
CER2
 Q  CR2i2 
 8C
4- Charge de C : R2i2 
C
R1  R2
1 Q2
 32J
5- Energie du condensateur : Econd 
2 C
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5+0.5
1
1
36
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 10
Exercice 1 :
Un ruban métallique de section rectangulaire d’épaisseur a et de
largeur b est parcouru par un courant continu I est placé comme
indiqué sur la figure 1.
1- Les électrons de conduction sont animés d’une vitesse de dérive
v de sens opposé à l’axe ox.
a- Sachant qu’il y a n électrons de conduction par unité de
volume, donner les expressions de la densité de courant j
et l’intensité du courant I.
b- Exprimer la vitesse v en fonction de I, n, e, a et b.
2- Le ruban est maintenant plongé dans un champ
magnétique B  B k .
a- Donner l’expression de la force magnétique Fm à laquelle
est soumis un électron. Représenter cette force.
b- Dans quel sens sont déviés les électrons.
c- Donner l’expression du champ électrique de Hall EH, entre
les deux faces du barreau, en fonction de j, B, e et n.
d- Déduire la différence de potentiel de Hall VH.
e- La
mesure
de
VH
permet
de
déterminer
expérimentalement la valeur de B. Exprimer B en fonction
de VH. Calculer la valeur de B.
.
-6
On donne: VH = 5.2 10 V, n = 6 1028 elect/m3, I = 5 A, a = 0.1 mm
37
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2:
Le circuit électrique de la figure suivante comprend un
générateur de f.e.m E, une résistance R, une capacité C et un
récepteur (e, r) dont le rendement maximum est de 60%.
R
r
E
C
On donne :
R = 8 , r = 2 , e = 6 V et C = 0.5 F
e
K
I-
Le récepteur fonctionne avec son rendement maximum et le
condensateur complètement chargé :
1- Calculer l’intensité du courant débité par le générateur
2- Déduire la valeur de la f.e.m E du générateur
II-
On ferme l’interrupteur à t = 0s et le condensateur est
complètement déchargé. Pour simplifier les expressions on
pose R = 4r
1- Donner l’équation différentielle régissant la charge du
condensateur q(t)
2- Déduire l’expression de la charge en fonction du temps en
précisant les valeurs de la charge finale Qf et de la constante
de temps .
38
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé sujet 10
Exercice 1 :(07 points)
1- a – Densité de courant j   nev
Courant I  jS  jab
0.5
0.5
b- Vitesse des électrons
I
I
nev 
v
ab
neab
1
2- a- Force magnétique : Fm  ev  B  Fm  evB (v  B)
0.5
0.5
Fm
1
b- Les électrons sont déviés dans le sens des y négatifs
c- A l’équilibre la force magnétique équilibre la force
électrique donc :
E
Fm  Fe  0  eE H  evB  v  H
B
jB
neEH
j = nev =
alors : EH =
et comme :
B
ne
d- La différence de potentiel de Hall est : VH = EH b =
e- Le champ magnétique B s’écrit alors :
B=
VHne VHnea
=
jb
I
A.N : B = 1T
1
jBb
ne
0.5
0.5
1
39
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 :(13 points)
1- a- Le rendement du récepteur est :
2P
e
e(1-  )
= u =
donc : I1 =
pf e+rI1
r
et
I1 = 2A
0.5
2
b- Le condensateur est complètement chargé ic=0 et I1 = I2 loi
de la maille :
-E +e +(R+r)I1 =0
E=e+(R+r)I1
et
2
E = 26 V
0.5
3- a- Le condensateur est complètement déchargé à t =0 on a
q(0)=0
Loi des Nœuds : i = ic + i2
0.5
Loi des mailles :
-E+Ri +
q
=0
C
q
e + ri2 - = 0
C
I
II
On obtient :
dq
5q
(E+4e)
+
=
dt 4rC
4r
0.5
0.5
3
b- La solution de l’équation est de la forme :
q(t) = Qf ( 1 - exp(-t/ ))
0.5
Avec :
Qf 
(E  4e )
C  5C
5
1
0.5
et

4rC
 0.8s
5
1
0.5
40
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 11
Question de cours: (02pts)
La figure 1 représente un dipôle électrique
constitué par deux charges ponctuelles (+ q ) et  q  ,
M
séparées par une distance d et de moment dipolaire p .
Déterminer l’expression du potentiel électrique
V crée en un point M situé à une distance r du centre
O de ce dipôle en fonction de r,  et p. On suppose
que d << r.
.

r
p
-q
O

x
+q
Figure 1
Exercice 1: (10pts)
Un conducteur sphérique creux A initialement
neutre de rayon intérieur 2R et rayon extérieur 4R,
entoure un deuxième conducteur sphérique B de
rayon R porté à un potentiel V0 par l’intermédiaire
d’un générateur (figure 2). Le conducteur B porte
une charge Q0.
1) Quelles sont les charges portées par les surfaces
intérieure et extérieure du conducteur A. Justifier.
2) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer
l’expression du champ électrique E dans les quatre
régions suivantes :
r  R , R  r  2R , 2R  r  4R et r  4R .
R
2R
4R
(B)
V0
(A)
Figure 2
3) Sachant que le potentiel électrique est nul à l’infini, déterminer l’expression
du potentiel électrique dans les quatre régions.
4) Déduire la charge Q0 en fonction de R, V0 et la permittivité du vide  0 .
5) On relie, maintenant, le conducteur A au sol.
a- Déterminer la différence de potentiel entre les deux conducteurs A et
B.
b- Déduire l’expression de la capacité du condensateur sphérique ainsi
constitué.
41
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 : (08 pts)
On considère le montage ci-dessous dans lequel les condensateurs de
capacités C1 et C2 sont initialement déchargés.
K
R1
E
1
2
R3
R2
C2
C1
E = 12 V, R1= 1 kR2 = 2k R3 = 5 k
C1 = 1 µF, C2 = 3 µF
I- On place l’interrupteur K sur la position (1)
1) Etablir l’équation différentielle régissant l’évolution de la charge
q1 (t ) du condensateur C1 en fonction du temps. Montrer que l’on peut la mettre
sous la forme :
dq1 q1
 A
dt

2) Donner les expressions de A et de 
numériques.
3) Déterminer l’expression de q1 (t ) .
et préciser leurs valeurs
4) Quelle est la charge finale de ce condensateur.
II-
Le condensateur de capacité C1 étant entièrement chargé. On place
K sur la position (2).
1) Déterminer l’expression de la charge q2 (t ) du condensateur de capacité
C2.
2) Calculer, à l’équilibre, la charge finale de chaque condensateur.
42
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé Sujet 11
Question de cours : (02 pts)
Le potentiel créé par le dipôle au point M :
M
1 1
r r 
V  V q  V q  Kq     Kq  1 2 
 r2 r1 
 r1 r2 
0.5
Soit H la projection de B sur AM (avec d << r1 et r2):
AH  d cos  r1  r2
0.5
D’autre part, on peut faire l’approximation :
r1  r2  r
L’angle
r1
r2
r
H
0.5
 est pratiquement égal aux angles 1 et 2 .
1 p cos
V
0.5
4 0 r 2
A
-q
θ
d
q
B
Exercice 1 : (10 pts)
1)– Le champ étant nul à l’intérieur du conducteur A (équilibre électrostatique)
Q
Q  QAint
0.5
   Eint . dS  int  0
 0 ,  QAint  Q0
0
0.5
-
0
Conservation de la charge du conducteur A  QAext  QAint  0  QAext  QAint  Q0
2)– Calcul du champ
 E . dS  E.4 r
2
- r  R,  Qi  0 E1  0 .
2

Q
i
0.5
0
0.5
- R  r  2R,  Qi  Q0  E2 
- 2R  r  4R,  Qi  0 E3  0.
- r  4R,  Qi  Q0  E4 
Q0
0.5
4 0 r 2
0.5
Q0
4 0 r 2
0.5
3)- Expression du potentiel : dV   E.dl   Edr
Conditions de continuité:
V1 ( R)  V2 ( R)  V0 , V2 (2R)  V3 (4R)
- r  R,
V1 (r )  V0
0.5
0.5
0.5
Q0  1 1 
    V0
4 0  r R 
1 Q0
 V0
- 2 R  r  4 R, V3 (r )  VA 
4 0 2 R
- R  r  2R,  V2 (r ) 
0.5
1
1
43
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Q0  1 3 
 
  V0
4 0  r 4 R 
3Q
1
4)-En posant, V4 ()  0 on a : V0 
 0
4 0 4 R
- r  4R,  V4 (r ) 
1
1
 Q0 
16
 0 RV0
3
0.5
Exercice 2 : (08 pts)
I)- Interrupteur sur la position (1)
0.25
1) Loi des nœuds : I  I 2  I1
0.25
 E  R1 I  R2 I 2  0
dq
Loi des mailles :
et I1  1
q1
R2 I 2   R3 I1  0
dt
C1
0.25
R1
I1
0.25
2
En éliminant les courants I et I2 on a :
q
R2
E
0.5
 R1R2  R3 ( R1  R2 ) I1  R2 E  (R1  R2 ) 1
C1
dq
En remplaçant I1  1 on obtient l’équation
dt
différentielle régissant l’évolution de la charge q1 (t ) du condensateur de C1
I
dq1
( R1  R2 )
R2 E

q1 
dt ( R1R2  R1R3  R2 R3 )C1
( R1R2  R1R3  R2 R3 )
I
R3
C1
1
dq1 q1
  S avec :
0.25
dt 
( R R  R R  R2 R3 )C1
R2 E
 1 2 1 3
et S 
( R1  R2 )
( R1R2  R1R3  R2 R3 )
2) Elle est sous la forme :
0.25
AN   5,67 ms et S  1, 41 mA
2*0.25
t

dq1 q1
  0  q1  Ae 
dt 
ste
Solution particulière : q1  C  q1   S
3) Solution sans second membre :
t
 


Solution générale : avec q1 (0)  0  q1 (t )  Q0 1  e 


4) La charge finale : Q0   S , AN Q0  8C
0.5
5
0.5
44
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
II)- Le condensateur de capacité C1 étant entièrement chargé. On place
l’interrupteur sur la position (2).
q
q
1) Loi de la maille :  1  R3 I  2  0
0.5
C1
C2
0.5
dq dq
avec I   1  2 et q1 (t )  q2 (t )  Q0   S
dt
dt
L’équation différentielle de q2 est :
dq2
1
1
S
(

)q2 
dt
R3C1 R3C2
R3C1
I
0.5
R3
C2
C1
0.5
La solution est donnée par :
( C1  C2 )

t
C S
q2 (t )  2
(1  e R3C1C2 )
C1  C2
0.5
2) A l’équilibre
Q2  q2 () 
C2Q0
C1  C2
or q1  q2  Q0   S  Q1  Q0 
0.25
0.25
AN Q1  2C
0.25
C2Q0
CQ
 1 0
C1  C2 C1  C2
et Q2  6C
0.25
45
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 12
Exercice 1 :(04 points)
Soient trois charges ponctuelles QA, QB et QC placées aux sommets d’un
triangle équilatérale ABC de côté a (Figure 1).
6- Déterminer et représenter le vecteur champ électrique crée par ces trois
charges au centre de gravité O du triangle. (02 points)
7- Calculer le potentiel crée par ces trois charges au point O (01 point)
8- Calculer l’énergie interne du système des trois charges. (01 point)
A Q
A
On donne : K=
a
a
1
4 0
=9 109 M.K.S.A, a =
3
cm.
QA = -2q , QB = q, QC = q et q = 1 nC
O
QC
C
a
Figure 1
QB
B
Exercice 2 :(08 points)
On considère un fil de longueur L, de densité linéique  positive, qui porte une
charge totale Q. Il est placé suivant l’axe des y tel que montré sur la figure 2.
9- Donner l’expression des composantes du champ électrique, Ex et Ey, crée
par ce fil au point M situé sur l’axe des x, tel que OM = x, en fonction de
K, , x, 1 et 2. (4 pts)
1

10-Montrer que ce champ s’écrit E  2 x i lorsque le fil devient infini(1 pt)
0
11- Au point M situé à une distance d du fil, on place un dipôle p , mobile
autour de son milieu et faisant un angle  avec l’horizontale (figure 3).
a- Donner l’expression du moment du couple du dipôle placé dans le
champ électrique du fil au point M.(1 pt)
b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle (1 pt)
c- Quel est le travail nécessaire pour que ce dipôle arrive à sa position
d’équilibre stable. (1 pt)
46
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
y
L

1
2
M
d
x
O
p
x
M
Figure 3
Figure 2
Exercice 3 :(08 points)
On considère deux sphères concentriques de même centre O et de rayons
respectifs R1 et R2 = 2.5 R1, portant des charges telles que :
- La sphère interne (O, R1) porte une densité de charges volumique  
2, 5
(C / m 3 )
r
- La sphère externe (O, R2) porte une densité de charge surfacique =-0.5 C/m2.


r
R1
R2
1- Calculer les charges totales portées par chaque sphère. (2 pts)
2- Déterminer le champ électrique en tout point de l’espace (0  r  ) (3pts)
3- Déduire le potentiel électrique en tout point de l’espace.(3pts)
47
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Corrigé sujet 12
Exercice 1 :
3
= 1 cm
3
6- Champ électrique au point O : OA = OB = OC = a
E0  E A  EB  EC
KQA 6 Kq
 2  18 104 V / m  2 EB  2 EC (Echelle : 1 cm ----- 9 104 V/m)
OA2
a
E

E
cos 30  EB cos 30  0 V / m

0.5
C
 0x
E0  
4
1

 E0 y  E A  EC sin 30  EB sin 30  E A  EC  3 EC  27 10 V / m
EA 
A Q
A
E0  (27 10 j ) V / m
4
EO
0.5
EA
a
a
EB
QC
C
O
EC
QB
B
a
K
(QA  QB  QC )  0 V
1
OA
KQAQB KQAQC KQBQC K
3 Kq 2
2
2
2
8- Energie interne : U 


 (2q  2q  q ) 
AB
AC
BC
a
a
-7
U= 5.2 10 Joules
1
7- Potentiel au point 0 : V0 = VA + VB + VC =
Exercice 2 :
6- Champ crée par le fil au point M :
 dE x  dE cos 
Kdq
K  dy

dE  2 u 
u
2
r
r

 dE y   dE sin 
On exprime tout en fonction de alpha
x
x
cos    r 
et
0.5
r
cos 
y
x
tg   y  xtg  dy 
d donc :
x
cos 2 
y
L
r
0.5
1
2
M
O
dE x

dE y
48
dE
x
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
K  dy
K

 dE x  dE cos   r 2 cos   x cos 

 dE   dE sin    K  dy sin    K  sin  en intégrant entre 1 et 2 on a :
 y
r2
x
1.5
Ex 
K
(sin  2  sin 1 ) et
x
7- Si le fil est infini donc 1   
et enfin : E x 
2K 


x
2 0 x
et
2
Ey 
et 1  
K
(cos  2  cos 1 )
x
2
Ey  0
1
8- a – moment du couple :
  p  EM    pEM sin(   )  pEM sin
1
p

b- Energie potentielle :
E p   EM  p  E p   pEM cos(   )  pEM cos 
1
c-Travail entre position initiale et finale :
W  E p  E pi  E pf  pEM (1  cos )
1
Exercice 3 :
1- Charges des deux sphères :
R1
R1 2.5
- Sphère 1 : Q1 =
 dV 
4 r 2 dr  10
0
0
r

- Sphère 2 : Q2 =


R2
0
1.5
x
M
EM
Figure 3
1

R1
0
rdr 5 R12
1
 dS   S   4 R22   0.5 4 ( 2.5 R1 )2  5 R12
2- Les équipotentielles sont des sphères donc le champ est radial,
Qint
E dS 
Théorème de Gauss :


0
Le champ est constant sur la surface de Gauss :
 E dS   EdS E  dS  ES  E 4 r
0.25
0 r  R   Q    dV  
4 r dr  5 r
r
2
5
0
0
4 0
R1
Q1
5 R12
Qint 
 dV Q1  5 R12  E2 

0
4 0 r 2 4 0 r 2
r
1
2
int
R1  r  R2 
r  R2 
r

Q
int
2
 E1 

Q1  Q2  0  E3  0
1
1
1
3- Potentiel électrique :

0 r  R1  dV   E dl   Edr  V (r )   Edr  V1  
5
r  C1
4 0
0.5
49
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
5 R12
R1  r  R2  V2 
 C2
4 0 r
0.5
et
Détermination des constantes :
V3 ()  0  C3  0
0.5
2
5 R1
V2 ( R2 )  V3 ( R2 )  C2  
4 0 R2
5R
R
V1 ( R1 )  V2 ( R1 )  C1   1 (2  1 )
4 0
R2
r  R2  V3  C3
0.5
0.5
0.5
50
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Sujet 14
Exercice 1 :
Le circuit électrique suivant est constitué d’un générateur de force
électromotrice E, de résistance interne r, de trois résistances d’un interrupteur
K et d’un condensateur de capacité C (voir figure)
K
r
R1
R2
C
Rf
E
Figure 2
L’interrupteur K est fermé :
I- Régime permanent :
Le condensateur est complètement chargé.
a. Déterminer le courant circulant dans chaque branche du circuit
b. Donner l’expression de la puissance fournie par le générateur
c. Quelle est la puissance dissipée par effet joule dans le circuit
d. Donner le tension aux bornes du condensateur C.
II- Régime transitoire :
Le condensateur étant initialement déchargé:
a- Ecrire les équations de Kirchhoff
b- Déduire l’équation différentielle régissant la charge du
condensateur C
c- Déduire l’expression de la charge en fonction du temps.
Préciser les expressions de la charge finale et de la constante temps.
d- Quelle est l’énergie totale emmagasinée dans le condensateur C
51
FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST
Exercice 2 :
Dans le spectromètre de Dempster, les ions
79
Br-
pénètrent en O dans un champ électrique uniforme E 0
crée par une difference de potentiel U = 2 103 Volts.
Arrivés en A ces ions sortent avec une vitesse v
et sont soumis à un champ magnétique B perpendiculaire
à la vitesse (voir figure 3).
O
E0
B
A
O
v
Région I
Région II
Figure 3
1- Quelle est la nature du mouvement des ions dans les régions I et II
2- Déduire leur vitesse au point A sachant que la vitesse en O est nulle.
3- Quelle intensité faut – il donner à B pour que ces ions décrivent une
trajectoire circulaire de rayon R = 57.24 cm.
4- Quelle est la variation du rayon R de la trajectoire circulaire lorsque les
ions 79Br- sont remplacés par des ions 81Br-. On donne :
B =0.1 Tesla m79 = 1.3104 10-25 kg et m81 = 1.3436 10-25 kg
52