Cours

PARTIE II : COMPRENDRE
•
•
Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement
planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période.
Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
d’un
satellite,
d’une
Chapitre 7
Lois de Kepler et satellites
I. Mouvement circulaire et uniforme des astres
Rappels :
Le vecteur accélération s’écrit dans la base de Frenet :
a = a N ⋅ N + aT ⋅ T
avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle.
•
Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne.
•
Si aT est nulle, le mouvement est uniforme.
Définition :
L’accélération dans la base de Frenet s’écrit :
dv
= a = a N ⋅ n + aT ⋅ t
dt
v2
Avec a N =
R
I.1
et
aT =
dv
dt
Nature du mouvement
Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse.
Dans certains cas cette ellipse est un cercle ou s’en approche fortement,
comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentiel
héliocentrique.
Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :
Figure 1: Orbite de la Terre
Terre
→
n
R
→
Système étudié : Terre de masse MT
Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen
Inventaire des forces extérieures :
Force de gravité
F exercée par le Soleil sur la Terre.
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de
Newton :
r
r
ΣF = F = M T ⋅ a
1/ 4
F
Soleil
→
t
Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse
F =G⋅
G⋅
Donc, par identification :
aT = 0
Et si
dv
=0
dt
alors
(
)
MT M S
⋅ n = M T a N ⋅ n + aT ⋅ t
R2
M M
G ⋅ T 2 S ⋅ n = M T a N ⋅ n + M T aT ⋅ t
R
r
F = ma
Or si
sur la Terre a pour expression :
F en N
M en kg
R en m
G = 6,67⋅10 –11 S.I.
MT M S
⋅n
R2
G = constante de gravitation universelle
D’où :
MS
MT M S

M T a N = G ⋅
R2

M a = 0
 T T
MS

a N = G ⋅ 2
R

a = 0
 T
dv
dv
= 0 car par définition aT =
dt
dt
cela implique que
v = v = cste.
Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme
Exemples :
-
La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s
La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s)
Question :
Rechercher les unités de la constante de gravitation universelle.
I.2
Détermination de la vitesse
D’après la partie précédente on a :
aN = G ⋅
Or, par définition :
D’où :
2/ 4
MS
R2
aN =
M
v2
= G ⋅ 2S
R
R
v2
R
M
v = G⋅ S
R
v en m/s
MS en kg
R en m
G = 6,67⋅10 –11 S.I.
.
I.3
Période de révolution
La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.
La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L = 2πR
D’où :
v=
d
L 2πR
= =
∆t T
T
En utilisant l’expression du III.2 :
G⋅
MS
2πR
=
R
T
T = 2π
R3
GM S
Question :
Rechercher l’altitude h à laquelle sont placés les satellites géostationnaires.
Figure 2 : orbite géostationnaire
II. Lois de Kepler
Planète
Première loi : loi des orbites (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire
des planètes est une ellipse dont l’un des foyers
est le centre du Soleil.
b
A noter :
•
•
a
Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche
de l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie
Pour la Terre, c’est le périgée.
F’
FSoleil
aphélie
F périhélie
L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de
l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie
Pour la Terre, c’est l’apogée.
Figure 3 : Orbite elliptique
a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe.
P
∆t
Deuxième loi : loi des aires (1609)
Le segment [SP] (ou rayon vecteur) qui relie le
centre du Soleil au centre de la planète balaie des
aires égales pendant des durées égales.
A noter :
A1
∆t
A2
Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil
plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne,
plus sa vitesse diminue.
Figure 4 : Loi des aires : A1 = A2
3/ 4
S
Troisième loi : loi des périodes (1618)
Le carré de la période de révolution d’une planète est
proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.
T2
=k
a3
T 2 = k × a3
D’après la partie I.3 on a :
Figure 5: Johannes Kepler
(1571-1630)
R3
T = 2π
GM S
T 2 = 4π 2
R3
GM S
T2
4π 2
=
R 3 GM S
Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le
rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil.
Ainsi :
TTerre
2
RTerre
3
=
TMars
2
R Mars
3
=
THalley
2
aHalley
3
4π 2
= ... =
GMS
A noter :
Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’appliquent pour tout corps
en orbite elliptique autour d’un astre.
Ainsi :
TLune
2
RLune
3
=
TSatellite
2
RSatellite
3
=
4π 2
GM Terre
Figure 6
Position de 18 000
satellites en orbite autour
de la Terre.
On voit nettement
apparaître l’orbite
géostationnaire.
4/ 4